Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2921] jenei.attila2009-04-19 17:14:21

Sajnos még mindig nem értem. Amikor ezt írod "{floor(np)} sűrű a [0..1] intervallumon"; itt a floor mit jelent? Az alsó egészrész? Ez ugye nem kell. Az állítás szerintem: tetszőleges adott p irracionális számra az {np} alakú számokból álló halmaz (ahol n végig fut az egész számokon) sűrű [0,1]-ben. "Vegyük most a p első 1/\varepsilon többszörösét, vagyis a p,2p,3p,...,ceil(1/\varepsilon)p számokat. Ezek mindegyike 0 és 1 közé esik" ezt szintén nem értem. Ha pl p=\sqrt{2}, akkor p többszörösei nem esnek 0 és 1 közé. Itt valószínűleg a többszörösök törtrészére gondoltál. "Az np törtrész többszöröseiről nem azt mondom, hogy sűrűek, hanem csak azt, hogy legfeljebb \varepsilon távolságra vannak egymástól". Itt szerintem az np többszörösök törtrészeire gondoltál. Azt nem értem, hogy ezekről mi alapján állítod, hogy "legfeljebb \varepsilon távolságra vannak egymástól". Mert az OK, hogy van olyan \varepsilon hosszú intervallum, amelybe p legalább két többszörösének törtrésze esik, de miből tudjuk, hogy nem marad ki valamely \varepsilon hosszú intervallum? Nem akarlak megsérteni, de szerintem ez a bizonyításod így nem jó. Esetleg ha agy numerikus példán mutatnád be...

Előzmény: [2920] jonas, 2009-04-19 16:08:39
[2922] jenei.attila2009-04-20 09:15:07

Először én is a skatulya elvvel hasonló módon próbáltam bizonyítani mint te, mert intuitíve elég nyilvánvalónak tűnik, hogy az {nx} (x rögzített irracionális, n végigfut az egészeken) sűrű [0,1] intervallumban és nem maradnak rések. Egy kicsit tovább gondolva azért rendbe lehet tenni ezt a bizonyítást: osszuk a [0,1] intervallumot N egyenlő részre, ahol 1/N<\varepsilon. Akkor a skatulya elv szerint ahogy írtad, léteznek i és j természetes számok, hogy {ix} és {jx} ugyanabba az 1/N hosszúságú részintervallumba esnek és különbözőek (mivel x irracionális). Ezért {ix}-{jx}<\varepsilon, amiből {(i-j)x}<\varepsilon következik (feltehető hogy i>j). Definíció szerint legyen h:={(i-j)x}. Mivel h<\varepsilon, ezért [0,1] minden 1/N hosszúságú részintervallumában megtalálható lesz h-nak valamelyik többszöröse. Tehát tetszőlegesen kiválasztva egy részintervallumot, valamely k természetes számmal kh eleme lesz ennek a részintervallumnak. Azonban kh=k{(i-j)x}={k(i-j)x}, azaz ha m-et k(i-j) -nek definiáljuk, x-nek olyan mx többszörösét kapjuk, amelynek törtésze az előre kiválasztott 1/N hosszú részintervallumban van. Ez pedig már tényleg azt jelenti, hogy {nx} sűrű [0,1]-ben. Visszatérve az irracionális számok másodrendű racionális közelíthetőségére: úgy tűnik, hogy ez és a most skatulyaelvvel bizonyított állítás ekvivalensek. Tehát próbáljuk meg skatulyaelvvel bizonyítani, hogy tetszőleges x irracionális számra végtelen sok a,b természetes szám létezik, hogy |x-\frac{a}{b}|<\frac{1}{b^2}

Előzmény: [2920] jonas, 2009-04-19 16:08:39
[2923] sakkmath2009-04-21 11:19:02

EV-tételnek hívják és itt található.

Előzmény: [2909] Cogito, 2009-04-14 16:28:10
[2924] HoA2009-04-21 12:10:19

500. feladat Nevezzük egy pénztáros csoporthoz tartozó tiltott zárnak (TZ) az olyan zárat, amelyet a csoport tagjai együtt sem tudnak kinyitni. A feltételek értelmében minden egy és kételemű csoportnak van TZ-je, de a három vagy négyelemű csoportoknak nincs. Két kételemű csoportnak – párnak - nem lehet közös TZ-je, hiszen akkor a két pár egyesítéséből adódó legalább 3 elemű csoport nem tudná ezt a zárat kinyitni. Mivel \binom 4 2 = 6 pár van, legalább 6 TZ kell legyen, és mivel éppen 6 zár van, minden párnak pontosan egy TZ-je van. Minden pénztáros 3 pár tagja, így nem lehet nála e három pár TZ –jének kulcsa, vagyis legfeljebb 6-3 = 3 kulcsa lehet. Másrészt 3 olyan pár van, amelyiknek egy kiválasztott pénztáros nem tagja. E 3 pár TZ-jének kulcsa nála kell legyen, különben az egyik ilyen párral hármas csoportot alkotva a pár TZ-jét nem tudnák kinyitni. Ezért legalább 3 kulcsa van. Tehát a feladat kikötése „melynél mindegyik pénztáros ugyanannyi kulccsal rendelkezik” elhagyható, csak ilyen elosztás lehetséges: mindenkinek 3 kulcsa van. A TZ-k párokhoz rendelése a kulcselosztást egyértelműen meghatározza: a fentiek szerint minden pénztáros azzal a 3 kulccsal rendelkezik, amelyik az őt nem tartalmazó párok TZ-jét nyitja. Így a kulcselosztások száma annyi, ahányféleképpen a 6 TZ hozzárendelhető a hat párhoz: 6! = 720.

Előzmény: [2916] lorantfy, 2009-04-19 15:08:06
[2925] MTM2009-04-21 17:25:26

501. feladat:

Adjunk meg végtelen sok pozitív egész c számot, amire

a, 7c2+1

b, 13c2+1

négyzetszám.

[2926] jenei.attila2009-04-21 20:39:45

Ezeket úgy hívják, hogy Pell egyenlet. Sok helyen utána lehet nézni.

Előzmény: [2925] MTM, 2009-04-21 17:25:26
[2927] jenei.attila2009-04-21 20:56:06

Egyébként összefüggésben van az előző néhány hozzászólásban tárgyalt ún. Dirichlet féle approximációs tétellel, ami az irracionális számok másodrendű racionális közelíthetőségéről szól.

Előzmény: [2925] MTM, 2009-04-21 17:25:26
[2928] jenei.attila2009-04-22 13:13:29

Szép megoldás, grat. Én egy kicsit másképp számoltam, persze az eredmény ugyanez. Ahhoz, hogy bármely 3 pénztáros ki tutja nyitni a széfet, minden zárhoz legalább 2 kulcsot kell kiosztani, ugyanis ekkor bármely 3 pénztárost kiválasztva, legalább az egyiknél lesz az adott zárhoz kulcs. A feladat feltétele szerint azonban semmelyik 2 pénztáros sem tudja a széfet kinyitni, ezért egyik zárhoz sem lehet 2-nél több kulcsot kiosztani. Ugyanis ha valamelyik zárhoz 3 pénztárosnál lenne kulcs, akkor ezt a zárat bármely 2 pénztáros tudná nyitni, a maradék 5 zárat pedig legfeljebb 5 pár pénztáros nem tudná nyitni, de 6 lehetséges pénztáros pár van. Mivel így 12 kulcsot osztunk ki, egy pénztároshoz 3 kulcs kerül. Innentől kezdve ugyanúgy gondolkodtam ahogy te, vagyis "A feltételek értelmében minden egy és kételemű csoportnak van TZ-je, de a három vagy négyelemű csoportoknak nincs. Két kételemű csoportnak – párnak - nem lehet közös TZ-je, hiszen akkor a két pár egyesítéséből adódó legalább 3 elemű csoport nem tudná ezt a zárat kinyitni."

Előzmény: [2924] HoA, 2009-04-21 12:10:19
[2929] m2mm2009-04-22 14:48:23

Üdv!

Kijön közelítések nélkül is. a,-ra a c0=0, c1=3, cn=16cn-1-cn-2 sorozat elemei megfelelőek, b,-re pedig a c0=0, c1=180, cn=1298cn-1-cn-2 sorozat elemei megfelelőek, bizonyítható teljes indukcióval.

Előzmény: [2927] jenei.attila, 2009-04-21 20:56:06
[2930] jenei.attila2009-04-22 14:56:14

Persze, hogy kijön. De erre a rekurzióra is valahogy rá kell jönni. A közelítésből is hasonló rekurzió adódik, nem biztos, hogy pont ez (nem számoltam ki), de az kiadja az összes megoldást. Egyébként a 13, illetve 17 lánctört kifejtéséből is kijön.

Előzmény: [2929] m2mm, 2009-04-22 14:48:23

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]