Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[2765] lgdt	2008-11-21 03:34:37
Van olyan f: R $\to$ R folytonos függvény, amely a [0;1]-en minden értéket véges és páros sokszor vesz fel?

[2766] psbalint	2008-11-21 18:44:22
jó és lehetne úgy esetleg hogy elmondod hogy ez itt miért volt használható? ezek ugyanis nem kis számok. köszönöm
Előzmény: [2764] jonas, 2008-11-20 10:57:55

[2767] lgdt	2008-11-22 02:11:48
Kicsit félreérthetőre sikerült. Pontosabban: van-e olyan valós->valós mindenhol folytonos függvény, amelyre teljesül, hogy a [0;1]-re való leszűkítése az értékkészletének minden elemét véges és páros sok helyen veszi fel?
Előzmény: [2765] lgdt, 2008-11-21 03:34:37

[2768] Sirpi	2008-11-22 12:27:55
És mondjuk vegyük bele azt is, hogy a 0-t és az 1-et is felveszi, különben az f(x) $\equiv$ 2 függyvény is jó lenne. Vagy akár azt, hogy a teljes értékkészlete része a [0,1]-nek.
Előzmény: [2767] lgdt, 2008-11-22 02:11:48

[2769] Róbert Gida

2008-11-23 04:26:20

Nem csak a konstans fv. okozza a bajt. Azt kéne beletenni, hogy az f minden értéket véges sokszor vesz fel.

Erre egy megoldás, fűrészfogakból:

Legyen f(x)=-x, ha x $\leq$ 0

f(x)=x, ha 0<x $\leq$ 1

f(x)=2-x, ha 1<x $\leq$ 2

f(3k+2+c)=k+c, ha k $\geq$ 0 egész, 0<c $\leq$ 2 valós.

f(3k+2+c)=k+4-c, ha k $\geq$ 0 egész, 2<c $\leq$ 3 valós.

De f:[0,1]->[0,1] ilyen folyt fv. is megadható, csak az előbbit kell "áttranszformálni".

Előzmény: [2768] Sirpi, 2008-11-22 12:27:55

[2770] Valezius

2008-11-23 14:37:12

A feladat szövegében benne van, hogy véges sokszor, így a konstans fv nyilván nem jó. (Bár szerintem az, hogy páros sokszor már maga után vonja, hogy véges sokszor)

A fűrészfogas függvénnyel szerintem az a baj, hogy az R nyílt intervallumot akarod beletranszformálni, a [0,1] zárt intervallumba. Szerintem ezt nem tudod úgy megtenni, hogy 0-ban és 1-ben is folytonos maradjon a függvény.

Még nem sikerült teljesen belátni, hogy miért nem lehet ilyen fv. [0,1)-en persze azonnal találtam. És azt is elég valószínűnek látom, hogy van olyan megfelelő [0,1)-ről képező fv, aminek az értékkészlete az egész R. Mondjuk egy alkalmas [0, végtelen)-en értelmezett fűrészfog fv transzformációja.

Előzmény: [2769] Róbert Gida, 2008-11-23 04:26:20

[2771] lgdt

2008-11-23 16:03:22

Elnézést kérek, hogy még a második sem sikerült érthetőre. Talán így már jó lesz:

f:R $\to$ R, f $\in$ C_[0,1]

g:=f|_[0,1]

$\forall$ x $\in$ R_g: |g^-1{x}| $\in$ 2N

Előzmény: [2767] lgdt, 2008-11-22 02:11:48

[2772] Róbert Gida	2008-11-23 17:34:40
Nem mondtam semmit a transzformációról, hogy milyen lesz. [0,1]-en is megadható ugyanilyen fűrészfogas folyt. fv., sok fantázia nem kell hozzá. 2 értéket kétszer vesz fel, értékkészletének többi értékét pedig pontosan négyszer.
Előzmény: [2770] Valezius, 2008-11-23 14:37:12

[2773] Valezius	2008-11-23 19:55:11
Ugyanilyen biztos, hogy nem, mivel akkor 0-ban és 1-ben végtelen lenne a határértéke- A helyettesítési értéke meg nem lehet végtelen.
Előzmény: [2772] Róbert Gida, 2008-11-23 17:34:40

[2774] Valezius

2008-11-25 21:47:14

Tegyük fel, hogy létezik ilyen függvény. Toljuk el úgy, hogy f(0)=0 legyen, majd vegyük az abszolút értékét. Az így kapott függvény még mindig olyan tulajdonságú, hogy értékkészletének minden pontját páros sokszor veszi fel.

Mivel minden értéket csak véges sokszor vehet fel, így két szélsőértékhely között szigorúan monoton.

Ha y egy olyan érték, ami a 0kivételével minden lokális szélsőértékénél kisebb, akkor:

0-tól az első szélsőértékhelyig 1-szer veszi fel y-t a függvényt. Ha f(x)=0, akkor az x előtti és x utáni szélsőértékhelyek között pontosan kétszer veszi fel y-t.

Ebből már következik, hogy f(1)=0. Ha f(1)>0, akkor van olyan y', hogy y'<f(1) és mint az előző bekezdésből látszik y'-t páratlan sokszor veszi fel a fv.

Tehát a függvénynek f(0)-ban és f(1)-ben is minimuma van. Amiből az következik, hogy összesen páratlan sok szélsőértékhelye van. (Mert a szélsőértékeket rendre lok. min-lok. max-lok. min-...-lok. min sorrendben veszi fel a fv.)

Márpedig egy ilyen függvénynek minden szélsőértékét páros sokszor kell felvennie.

Ezzel beláttuk, hogy nincs ilyen fv.

Előzmény: [2771] lgdt, 2008-11-23 16:03:22

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?