Fórum: Érdekes matekfeladatok

Szerintem, ha ennyire lemegyünk, az alapokig, hogy 1>0, akkor tisztáznunk kell a definíciókat, hogy tudjuk mit használhatunk a bizonyítás során. Nem gondoltam utána, de nem vagyok benne biztos, hogy pl. CCkek bizonyítása nem használja-e fel valahol, hogy 1>0.

Azt, hogy a fv. hol vesz fel racionális értékeket, szerintem se érdemes túlzottan vizsgálni. Annyi bizonyos, hogy a folytonosság miatt a minimuma és maximuma között felveszi az összeset.

Már az x³-x fv.-ről se látom kapásból, hogy milyen irracionális értékekra racionális (ehhez az x³-x-p/q=0 harmadfokú egyenletet kell megoldani mindenféle p,q értékekre).

Hasonló kérdés: bizonyítsuk be, hogy 1+1=2.

Szerintem is teljesen attól függ, hogy definiáljuk a természetes számokat.

Ha az eredeti kérdés a valós számok szokásos axiómarendszerére vonatkozik, akkor egy lehetséges válasz a következő.

Az 1/6-os axióma szerint létezik egy (-1)-gyel jelölt elem, ami az 1 additív inverze. Nézzük, mennyi (-1)(-1). Azt állítom, hogy 1. Az additív inverz egyértelműsége miatt (tessék igazolni az axiómákból!) ehhez elég megmutatni, hogy (-1)(-1)+(-1)=0. Az 1/5-ös axióma miatt a bal oldal= (-1)(-1)+(-1)^.1, az 1/3-as axióma miatt viszont ez =(-1)[(-1)+1]=(-1)^.0, a (-1) definíciója miatt. Most igazolom, hogy minden valós x-re x^.0=0. Nézzük az x^.0+x^.0 kifejezést. Az 1/3-as axióma miatt ez utóbbi = x^.(0+0)=x^.0, az 1/4-es axióma miatt. Tehát x^.0+x^.0=x^.0. Most adjuk hozzá mindkét oldalhoz a -(x^.0) számot, azaz az 1/6-os miatt létező additív inverzét x^.0-nak. Azt kapjuk, hogy x^.0=0, az additív inverz definíciója miatt. Speciálisan: (-1)^.0=0 és ezzel beláttam, hogy (-1)(-1)=1.

Most érdemes belátni (tessék igazolni az axiómákból!), hogy egy x elem (-x) additív inverze ugyanaz, mint (-1)^.x. Ezután az 1/2-es miatt kapjuk, hogy x^.x=(-x)^.(-x).

Most lássuk be azt, ha x0, akkor az additív inverzre fordított reláció áll fenn. Valóban: 0=x+(-x)(-x) a 3/1-es és a tranzitivitása miatt.

Most megmutatom, hogy akármilyen x valós elemre x^.x0. Két eset van (melyik axióma miatt?). Ha x0, akkor x^.x0 igaz a 3/2-es miatt. Ha x0, akkor a fentiek alapján x^.x=(-x)(-x) és most 3/2-es axióma.

Viszont ekkor 1^.10 is teljesül. De 1/5-ös szerint 1=1^.1, tehát 10. Viszont tudjuk 1/5 alapján, hogy 10, így a > definíciója miatt 1>0.

Jó játék, nem? :-)

Esetleg tudna valaki lényeges rövidítést adni a fenti axiómaszámozást használva?

Hogy mi "szokásos" és mi nem, az sztem attól függ, hogy hol vagyunk :-). Gimnáziumban például amikor elkezdtünk arról beszélni, hogy Q és akkor ez test és két művelet +, * stb. Akkor "a>b"-t úgy definiáltuk, hogy "a>b" acsa. ha a-b Pozitív. (Nincsen akkor-és-csak-akkor nyíl?) Ahol a Pozitív halmaz halmaz definíciójára már nem emlékszem, de talán lehet azon Q-beliek halmaza melyek előállnak (1+1+...+1)/(1+1+...+1) alakban. Ez nyilván működik Z-ben is. Hogy R-ben ezt hogy lehetne megoldani, azt nem tudom, lehet hogy nem is lehet. És ha így definiáltuk, akkor 1>0-n nincs mit bizonyítani. Persze elegánsabb és számomra nagyon tanulságos volt amit te írtál, hogy, felvesszük a rendezés axiómáit is és azt mondjuk, hogy a>b acsa. ab és ab, de pl. a gimiben, noha a többi axióma szerepelt nálunk (igaz, talán csak Z-re) a rendezés axiómái kimaradtak és ezt a fent leírt módon oldottuk meg.

Sziasztok!

Két halmaz ekvivalens akkor és csak akkor, ha létezik közöttük bijekció. Bizonyítható hogy ez tényleg ekvivalenciareláció. Egy f operációt kompatibilisnek mondunk egy ekvivalenciarelációval ha

f(A) = f(B) <=> A ekvivalens B - vel

Adjunk meg olyan operációt amely kompatibilis a halmazokon értelmezett ekvivalenciával, azaz tegyük lehetővé a számosság matematikai értelmezését!

Várom az ötleteket üdv.Zoli

Ezt gonosz dolog feladatként feladni. Szerintem csak az tudja megoldani, aki hallotta már a megoldást.

Szia!

Én kreatív ötleteket várok.Egyébként egy normális halmazelmélet könyvben le van írva a válasz: Egy A halmaz számossága a legkisebb A-val ekvivalens rendszám. A kérdés az lenne inkább hogy találunk-e ilyen operációkat ami az előzőből nem triviálisan keletkezik.

Bizonyitsuk be, hogy

Sziasztok! Tudtok valami érdekes feladatot rekurzív sorozatokkal kapcsolatban? Órai előadáshoz kéne.