|
[2124] jonas | 2007-07-02 15:11:54 |
Na nézzük. Ha a=1-a, akkor a=1/2 és a gyökök 1/2,2,-1. Ha a=1/a akkor vagy a=-1 ami az előző eset, vagy a=1 jönne ki, de az nem jó, mert akkor az 1/0 is gyöke lenne a polinomnak.
Ha a=1/(1-a), akkor és ilyenkor csak két gyök van, mert a=1/(1-a)=(a-1)/a és 1-a=1/a=a/(a-1).
Ezzel ki is merítettük az összes lehetőséget a gyökökre nézve, de a polinomokat nem adtuk meg.
|
Előzmény: [2122] Csimby, 2007-07-02 13:53:58 |
|
[2125] jonas | 2007-07-02 15:19:18 |
Egyébként a feladat azért trükkös, mert elindulhat valaki a rossz irányba is, hogy felteszi, hogy az öt gyök különönböző, és nem jut eszedbe, hogy 1-1/(1-1/(1-1/a))=a.
Ekkor gondolhat arra, hogy párba állítja a gyököket úgy, hogy a párja 1-a legyen, és mivel az öt páratlan, ezért biztosan gyök az 1/2 mert csak az párja önmagának, vagy hogy párba állítjuk a-t 1/a-val, és akkor biztosan gyök 1 és -1 közül az egyik.
Vagy arra is gondolhat (szintén ha az összes gyök különböző), hogy ha minden a gyökhöz 1-a is gyök, akkor a gyökök összege 5/2 így az x4 együtthatója -5/2, valamint hasonlóan a gyökök szorzata 1 így a konstans tag 1.
|
|
|
|
|
[2129] HoA | 2007-07-02 16:53:25 |
Szerintem nem kell túlbonyolítani. Odáig világos, hogy a 6 gyökhely . Mivel a polinom csak ötödfokú, szükségképpen vannak köztük egyenlőek. Szépen végig kell nézni, mi adódik ha az egyes párokat egyenlővé tesszük. Például a = 1-a -ból a=1/2 és És itt nem baj, hogy további egybeeső gyökök vannak. A megoldás így írható: , ahol u és v egymástól függetlenül felveheti az 1/2, 2 és -1 értékeket. A további polinomokat a többi pár egyenlővé tételével keressük, és elhagyjuk az ismétléseket. Az választással adódik a már szerepelt páros, ekkor valóban csak ez a két gyök van, jelöljük őket x1ésx2 vel, a polinom így P(x)=(x-x1).(x-x2).(x-u).(x-v).(x-z), ahol megintcsak u,v, és z x1vagyx2. És így tovább, ha van még...
|
Előzmény: [2125] jonas, 2007-07-02 15:19:18 |
|
|
[2131] HoA | 2007-07-03 11:24:07 |
Igazad van. Sőt még abban is tévedtem, hogy x1,x2 tetszőleges multiplicitással szerepelhet. A valós együtthatós kikötés miatt ez nem igaz, csak párokban léphetnek fel.
Este végignéztem a hat gyök össszes párosításából adódó megoldásokat. Szerintem csak a már ismert 1/2, 2, -1, x1 és x2 értékeket kapjuk. Így aztán könnyen lehet, hogy csak az általad mondottakból adódó (x-x1)(x-x2)(x-1/2)(x-2)(x+1) polinom és a [2129] -beli P(x) a megoldás.
|
Előzmény: [2130] Csimby, 2007-07-02 22:59:08 |
|
|