Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[2108] Sirpi

2007-06-21 11:50:54

Szép elemzés!

Azért leírom azt is, hogy én mire jutottam. Talán kicsit egyszerűbb becsléseket használok, valamint semmilyen függvényvizsgálatra nincs szükség.

Legyen y:=n+x

$\left(1 + \frac 1 {n(y-n)} \right)^y = e$

És itt, mikor 1/y-edik hatványra emelem mindkét oldalt:

$n(y-n) = \frac 1 {e^{1/y}-1}$

$n^2 - y n - \frac 1{1-e^{1/y}} = 0$

$n_{1,2}= \frac{y \pm \sqrt{y^2+4 / (1-e^{1/y})}}2$

A két gyök közül az egyik lesz n, a másik x_n. Az egyik gyök (a minuszos) 1 körül van, nézzük meg ezt alaposabban. Feltételezve, hogy y nagy, e^1/y=1+1/y+1/(2y²)+O(1/y³), ahonnan

$x_n = \frac 12 \cdot \left(y - \sqrt{y^2 - 4y + 2 + O(1/y)}\right) =$

$=\frac 12 \cdot \frac{y^2 - (y^2-4y+2+O(1/y))}{y + \sqrt{y^2 - 4y + 2 + O(1/y)}} \approx \frac {2y-1}{y + (y-2)}$

Ez pedig éppen az $x_n \approx 1+\frac {1/2}{y-1}$ becslést adja, ahonnan szintén látszik az 1/2-es határérték. Viszont kihasználtam, hogy ha n $\to$ $\infty$ , akkor y $\to$ $\infty$ , ezt még annyival meg kell támogatni, hogy mivel a két gyök összege y, ezért valamelyik a kettő közül legalább y/2, válasszuk ezt n-nek, a másikat pedig x_n-nek.

* * *

Mindamellett azért is írtam le ezt az egészet, mert az az érdekes dolog látszik belőle, hogy ha nem n és x_n lenne a feladatban, hanem x és f(x), akkor bejönne egy új gyök, hiszen az első lépésnél, a hatványozásnál az alap lehet épp negatív is, ha a kitevő (y) páros egész szám. Ekkor:

$n^2 - y n - \frac 1 {1 + e^{1/y}} = 0$

Ennek pedig egy pozitív (n), és egy negatív (x_n) gyöke van. Viszont az sose fordulhat elő egyszerre, hogy y páros egész és n is egész, de ha n tetszőleges valós szám lehet, ami tart a végtelenbe, akkor valóban kapunk egy új gyököt:

$x_n = \frac 12 \cdot \left( y - \sqrt{y^2 + 4 / (1 + e^{1/y})} \right)$

Itt most e^1/y $\approx$ 1 triviális becslést alkalmazva

$x_n \approx \frac 12 \cdot \frac {y^2-(y^2+2)}{y + \sqrt{y^2+2}} \approx -\frac 1{2y}$

Szóval ha n nem feltétlen egész, akkor van egy másik (negatív) sorozat is x_n-re (ilyenkor az alap -1 közelében van).

Előzmény: [2106] Lóczi Lajos, 2007-06-21 03:16:23

[2109] Cckek	2007-06-22 19:38:21
Felhívnám a tisztelt forumozók figyelmét, hogy a 2089-es hozzászolásomban kitűzött gyönyörűszép feladat még mindig megoldatlan:)

[2110] Sirpi

2007-06-22 23:50:30

Na jó, akkor lecsapom :-)

Pont elolvastam a feladatot, majd a vihar miatt jött egy 2 órás áramszünet, azalatt volt időm (többek közt ezt is) végiggondolni.

Tehát f(f(n))=f(n)+n és f(1)=2.

A Fibonacci-számokon végigugrálva az embernek elég hamar előjön az a sejtése, hogy $f(n) = [\frac{\sqrt 5+1}2 n + \frac 12]$ , vagyis a függvény lineáris $(\sqrt5+1)/2$ -es szorzóval, egészre kerekítve.

És hogy ez miért jó? Legyen $g(n) = \frac{\sqrt 5+1}2 n$ , vagyis a kerekítés nélküli függvény. Erre nyilván $g(g(n)) - g(n) = \left( \frac{\sqrt 5+1}2 \right)^2 n - \frac{\sqrt 5+1}2 n = n$

Másrészt minden n-re |f(n)-g(n)|<1/2, vagyis n-1<f(f(n))-f(n)<n+1, és mivel a különbség egész, ezért csak n lehet. Ezen kívül $g(n+1)-g(n)=(\sqrt 5+1)/2$ , vagyis $f(n+1)-f(n)>(\sqrt 5-1)/2 > 0$ , így f(n+1)-f(n) $\geq$ 1.

Előzmény: [2109] Cckek, 2007-06-22 19:38:21

[2111] rizsesz	2007-06-25 01:39:46
Ajándék: http://www.komal.hu/verseny/2001-05/B.h.shtml B. 3469, asszem :)
Előzmény: [2110] Sirpi, 2007-06-22 23:50:30

[2112] jonas	2007-06-25 08:58:38
Akkor nyertem.
Előzmény: [2093] jonas, 2007-06-18 22:38:23

[2113] Cckek	2007-07-01 19:42:18
Határozzuk meg azokat az f:R $\to$ (0, $\infty$ ) folytonos függvényeket melyekre: $\int{f(x)}dx=\frac{xf(x)}{2}+\lambda \int{\frac{dx}{f(x)}}$ , ahol $\lambda$ >0

[2114] Cckek	2007-07-02 09:19:08
Határozzuk meg az összes morfizmust (Q,+) és (S_n,o) között.

[2115] Lóczi Lajos

2007-07-02 11:04:13

A feladatban határozatlan integrálok szerepelnek: ha a két integrációs állandót különbözőnek választjuk, elég nehéznek tűnik a kérdés. Legyenek tehát egyenlőek.

Az egyenletet f-re rendezve látjuk, hogy f deriválható a pozitív és a negatív félegyenesen. Deriválva az egyenletet egy differenciálegyenletet kapunk, melynek megoldásai

$\pm \sqrt{a x^2+2\lambda}$

alakúak, valamely a $\ge$ 0 állandóval. Most csak a pozitív előjel jön szóba. A feladat megoldásai lesznek tehát az olyan f függvények, amelyek x>0 és x<0 esetén a fenti képlettel vannak megadva, esetleg más-más a állandóval a pozitív és a negatív részen.

Előzmény: [2113] Cckek, 2007-07-01 19:42:18

[2116] Cckek

2007-07-02 12:48:26

Szép:) Amúgy ezek második fokozati vizsgakérdések itt Romániában. Itt van még egy ha érdekel valakit:

Határozzuk meg azokat az ötödfokú valós együtthatós P(X) polinomokat, melyeknek a domináns együtthatójuk 1 és, ha a gyöke P-nek akkor 1-a illetve $\frac1a$ is gyöke P-nek.

[2117] Csimby	2007-07-02 13:31:30
Szerintem az 5 gyök mindig: $a, 1-a, \frac{1}{a}, \frac{1}{1-a}, 1-\frac{1}{a}$ alakú.
Előzmény: [2116] Cckek, 2007-07-02 12:48:26

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?