Fórum: Érdekes matekfeladatok

324.feladat Határozzuk meg azon n-edrendű permutációk számát melyekre |p(i)-i|i

A negyedik egyértelműen egy halászbárka, amelyet egy 200 méter magas hullám épp a csúcsára vett. A másik három vízijármű egy 200 méter oldalhosszúságú egyenlőszárú háromszög három csúcsát alkotja, melyek mindegyike 200 méter távolságra van a halászbárkától.

A "tengeralattjáró" kifogásolható megoldás, mivel nem a szó szoros értelmében a "tengeren" halad, hanem a tenger>ben< (kivéve persze, ha épp felszíni üzemmódban halad. De akkor meg nem a szó szoros értelmében vett tengeralattjáró, hanem tengeralattjáró, amelyet halászbárkának használnak).

Ez az egzakt megoldás.

Ugyanezen okok miatt a "léghajó" még kevésbé egzakt megoldás, hiszen ha a léghajó a tengeren halad, akkor ott valószínűleg valami baj történt :-)).

Ha már kötözködés, akkor a halászbárka nem 200m-es, hanem méteres hullám tetején kell, hogy legyen ;-)

Persze, persze. Volt egy fizkémofő tanárom, aki mindig azt mondta: "ne azt írjátok, amit mondok, hanem amit gondolok" :-)).

Mutassuk meg, hogy tetszőleges n pozitív egészre van n db pithagóraszi számhármas, melyekben az átfogó (vagy az egyik befogó) megegyezik!

Elnézést! A 325. feladat van az előző hozzászólásban.

A 325. feladat megoldásához lásd a "Valaki mondja meg" téma [174] és [176] hozzászólását.

Legyen és

Számítsuk ki illetve döntsük el a következő kijelentések igaz vagy hamis voltát:

a) ||U||=?

b) U kompakt

c) U injektiv

d) 0 sajátértéke U-nak

e) U spektruma=?

f)

g) x-U(x)=y egyenletnek mindig van egy es csakis egy gyöke, bármely lenne yC_[0,1]

h) A egyenletnek van 0-tól különböző gyöke

Tudjuk, hogy a megadott X tér Banach-tér. Az U operátor nyilván lineáris.

a.) Az U operátor korlátos az X téren és ||U||_op. operátornormája éppen 3/2, hiszen az X tér egységgömbjéről vett tetszőleges x függvénnyel

ennek a kifejezésnek a maximuma pedig s[0,1] esetén 3/2, amiből kapjuk, hogy ||U||_op.3/2. Viszont az x(t)1 választás mutatja, hogy ||U(x)||=3/2 elérhető.

b.) Mivel tetszőleges xX függvény esetén U(x) egy sa^.s+b alakú X-beli függvény ( és ), ezért az U operátor ranU értékkészlete részhalmaza az elsőfokú polinomok alterének X-ben, ami véges dimenziós. U tehát véges rangú, emiatt kompakt operátor.

e.) Bármely kompakt operátorra igaz, hogy spektruma csak a sajátértékeiből, illetve legfeljebb a 0 számból állhat. Mivel az X tér most végtelen dimenziós, ismert, hogy a 0 ilyenkor mindig spektrumpont. Megmutatjuk, hogy U-nak csak két nemnulla sajátértéke van.

Ehhez az U(f)=f egyenlet megoldása szükséges: keresendő az összes olyan komplex 0 szám és f nem azonosan nulla folytonos függvény X-ből, amelyre a fenti egyenlőség fennáll. Azonban a bal oldal legfeljebb elsőfokú polinom, ahogyan azt láttuk, f(t) kereshető tehát f(t)=at+b alakban (a, b számok). Mivel ekkor U(f)(s)=s(a/2+b)+(a/3+b/2), ezért a sajátérték-egyenlet megoldása ekvivalens a következő kérdéssel: mely 0 számok esetén van nemtriviális megoldása az

a/3+b/2=b

a/2+b=a

egyenletrendszernek. Egyszerűen látszik, hogy ez csak esetén van így, ezek tehát az U operátor nemnulla sajátértékei.

U spektruma tehát .

c.) U nem injektív, mert a 0 egyúttal sajátérték is.

d.) A legkevésbé nyilvánvaló állítás a feladatból az, hogy a 0 szám sajátértéke is U-nak. Ehhez olyan f:[0,1]R folytonos függvényt kell keresni, ami nem azonosan nulla, mégis és . Ilyet lehet találni, de kíváncsi vagyok, ki milyen példát ad, a végén erre visszatérek.

f.) A kérdés nem a szokásos alakú, de arra nagyon hasonlít: a kitűző véletlenül itt nem a spektrálsugárra gondolt? Az U operátor spektrálsugara nem más, mint a 0-tól legmesszebb lévő pont a kompakt spektrumból, ami jelen esetben . Ismert, hogy ez a szám egyenlő a limesszel -- nem elírás az f.) pont és erre gondoltál? (Az eredeti kérdésre egy lineáris rekurzió megoldása után úgy tűnik, könnyen lehetne válaszolni, de azt még nem néztem meg.)

g.) Jelölje Id az X tér identitásoperátorát. A válasz igen, hiszen az (U-1^.Id) operátor (az XX korlátos lineáris operátorok Banach-terében) invertálható, lévén az 1 nem spektrumpont. (Sőt, emiatt több is igaz: fennáll a kezdeti feltételtől való folytonos függés is.)

h.) Az egyenletnek csak az x azonosan 0 függvény a megoldása, mert nem spektrumpont, innentől pedig l. az előbbi pontot.

Végül visszatérve a fent említett kérdésre, oldjuk meg az alábbi feladatot:

Adjunk példát olyan f:[0,1]R folytonos függvényre, ami nem azonosan nulla, de tetszőleges elsőfokú p polinommal .