Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1902] Lóczi Lajos

2007-02-19 11:30:24

A kerdeses y_n sorozat konvergens:

lathato, hogy minden indexre 0<x_n<1. Ezt es a rekurziv definiciot hasznalva adodik, hogy

$0<1-x_{n+1}=\frac{(1-x_n)^2}{(1+x_n)(1+\sqrt{x_n})^2}< (1-x_n)^2<(1-x_0)^{2^{n+1}}<(1-x_0)^n,$

s igy n $\ge$ 1 eseten

$y_n=\sum_{k=0}^{n-1}(1-x_k)\le \sum_{k=0}^{n-1}(1-x_0)^n< \sum_{k=0}^{\infty}(1-x_0)^n=\frac{1}{x_0},$

vagyis y_n monoton no es felulrol korlatos.

A feladat kituzesehez a motivaciot nyilvan a (gyokvonasra szolgalo) Newton-iteracio adta, hiszen a megadott rekurzio nagyon hasonlit hozza, es a konvergenciasebesseg is olyan ("a helyes tizedesjegyek szama minden lepesben megduplazodik").

Előzmény: [1896] Cckek, 2007-02-16 08:26:44

[1903] Cckek	2007-02-19 19:35:39
Nagyon szép. Gratulálok.

[1904] tim20	2007-02-22 07:16:52
Egy furcsa fa első nap 1,1/2-szeresére nőtt. Másnap az előző nap 1,1/3-szorosára, harmadnap az előző nap 1,1/4-szeresére és így tovább. Hány nap alatt nőtt meg az eredeti magasságának 100-szorosára?

[1905] teomo

2007-02-22 08:27:55

3/2*4/3*5/4*6/5*.....x/x-1=100

Egyszerűsítve: x/2=100

x=200

Tehát 200-3 = 197

Szóval 197 nap alatt nő a 100-szorosára

Előzmény: [1904] tim20, 2007-02-22 07:16:52

[1906] teomo	2007-02-22 08:28:55
vagyis inkább 198, mert a 200-ból 2-t vonok le (bocs, siettem)
Előzmény: [1905] teomo, 2007-02-22 08:27:55

[1908] Cckek

2007-02-22 15:09:59

Megint egy határérték:

$\lim_{n\to \infty}\left(n-\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\right)$

[1909] Lóczi Lajos

2007-02-22 19:41:12

Valaki azt állította, hogy a

$t\mapsto \frac{(1+2x)(1-tx)}{(1+2tx)(1+tx)}$

függvény (t-szerinti) határozott integrálja 0 és 1 között minden pozitív x esetén kisebb 1-nél. Igaza van-e neki?

[1910] Cckek

2007-02-22 21:17:15

Ez egyenértékű a

$e^{\frac{2x}{1+2x}}>\frac{(1+2x)^3}{(1+x)^4}, \forall x>0$ egyenlőtlenséggel.

Előzmény: [1909] Lóczi Lajos, 2007-02-22 19:41:12

[1911] Cckek

2007-02-22 21:43:46

Vezessük be a következő jelölést:

$\frac{2x}{2x+1}=y\in(0,1)$ .

Ekkor a következő egyenlőtlenséget kell igazolni:

$e^y>\frac{\left(\frac{1}{1-y}\right)^3}{\left(\frac{2-y}{2(1-y)}\right)^4}=\frac{16(1-y)}{(2-y)^4}$ .

Ugyanakkor e^y>1+y illetve $\frac{1+(1-y)}{2}>\sqrt{1\cdot(1-y)}$ tehát $\left(\frac{2}{2-y}\right)^4<\frac{1}{(1-y)^2}$ tehát $\frac{16(1-y)}{(2-y)^4}<\frac{1}{1-y}$ .

Írhatjuk $e^y>1+y>\frac{1}{1-y}>\frac{16(1-y)}{(2-y)^4}$

Előzmény: [1910] Cckek, 2007-02-22 21:17:15

[1912] Cckek	2007-02-22 22:06:24
mea culpa $y+1>\frac{1}{1-y}$ egyenlőtlenség hamis:(
Előzmény: [1911] Cckek, 2007-02-22 21:43:46

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?