[1787] epsilon | 2007-01-18 21:50:05 |
Bocs, a pötyögtetéssel elírtam :-( ezeket: x+y>=100, z+t+u+w>=100 helyesen így lenne: x+y<=100, z+t+u+w<=100 na meg nem szándékom nagyágyúval rálőni, mert több változóra, 100 helyett másra is, meg 6 szám helyett szerintem többre is a 100,0,0,0,0,0 illetve az 50,50,50,50,0,0 esetekben érné el a maximumot? De alaposabban indokolva? Vagy van más vélemény?
|
|
|
[1789] Lóczi Lajos | 2007-01-18 23:55:45 |
Le tudnád írni a multiplikátor-elvet ebben a szituációban, amikor egyenlőtlenségek is szerepelnek a feltételi halmaz kijelölésében? Vagy egy online hivatkozást esetleg, hogy szisztematikusan megpróbáljuk kiszámolni a kérdést.
|
Előzmény: [1786] Cckek, 2007-01-18 20:44:15 |
|
|
[1791] Lóczi Lajos | 2007-01-19 01:16:58 |
Felírtam a feltételeket, de nem jött ki csak 7500 a maximum értékére. Valaki tudna segíteni, hogy megértsem, miért nem kaptam meg a 10000-et?
Tehát a link azt mondja, írjam fel a feladat Lagrange-függvényét (az ottani 1 és 2 helyett és betűket használtam):
L(x,y,z,t,u,w,,):=x2+y2+z2+t2+u2+w2+(100-x-y)+(100-z-t-u-w).
Ekkor a lehetséges maximum helyét az alábbi egyenlet-egyenlőtlenségrendszer megoldása adja (az alsó indexek a megfelelő parciális deriváltakat jelöljék, az L függvény argumentumait nem írom ki):
Lx=0,Ly=0,Lz=0,Lt=0,Lu=0,Lw=0,(100-x-y)=0,(100-z-t-u-w)=0,0,0.
Igen ám, de az első két egyenletből az jön ki, hogy x=y, és így rögtön kiesett x=100,y=z=t=u=w=0 megoldás.
Hol van vajon az ellentmondás oka? (A változók nagyság szerinti rendezésére vonatkozó feltételt egyelőre elhagytam az eredeti feladatból.)
|
Előzmény: [1790] Lóczi Lajos, 2007-01-19 00:00:48 |
|
[1792] epsilon | 2007-01-19 07:16:56 |
Egy biztos: a feladatot olyan helyen találtam, hogy elemi eszközökkel gondoltak a megoldására. Ahogy viccese mondják, ezt analízissel megoldani olyen mint a bolhavadászat fejszével :-) Az alapelgondolásom az volt (az y-nál kisebb rendett számok miatt), hogy mivel előtte csak 1 szám van, nála kisebb meg 4 szám, ezért az x maximizálása sokkal gyengébb mint az y maximizálása, ami által a többi 4 szám maximizálható, és ezeket maximizálva jobban közeledünk a négyzetösszeg maximumához. Valahogyan nem illik ebbe a képbe a 100, és a többi 0 megoldás. Persze mindez csak érzés, sejtés, de...???
|
|
[1793] Cckek | 2007-01-19 10:15:30 |
Nos a kérdésem az, hogy ezen feltételek mellett fennáll-e a
(x+y+z+t+u+w)2+(x-y)2+(x-z)2+(x-t)2+(x-u)2+(x-w)2+(y-z)2+(y-t)+(y-u)2+(y-w)2+(z-t)2+(z-u)2+(z-w)2+(t-u)2+(t-w)2+(u-w)26.1002 egyenlőtlenség? Ugyanis ekkor a Lagrange azonosságból következik a maximum.
|
Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58 |
|
[1794] epsilon | 2007-01-19 11:16:20 |
Szerintem nem, mert ennél nem használtuk fel a betűk közötti rendezési sorrendet, és ha annélkül kijönne, akkor...nem stimmel mert a feltételek nélkül más értékekre nagyobb lehet a maximum. Vagyis akár rendezett sorrenddel, akár annélkül, nem jöhet ki ugyanaz.
|
|
[1795] HoA | 2007-01-19 11:20:58 |
Egy elemi eszközöket használó megoldás lépései:
Bontsuk a négyzetösszeget két részre, legyen az első tag x2+y2 , a második z2+t2+u2+w2 . Vizsgáljuk a maximumot rögzített y mellett (0y50). Az első tag nyilván akkor a legnagyobb, ha x = 100 - y. A második tagban keressük négy 0 és y közötti z,t,u,w szám maximális négyzetösszegét, ahol z+t+u+w<=100 .
1) Belátható, hogy ha z+t+u+w<100 és nem mindegyik = y, akkor az y-nál kisebb számok növelésével a négyzetösszeg nő.
2) Belátható, hogy rögzített z+t+u+w mellett a négyzetösszeg nő, ha egy nagyobb számot növelünk és egy kisebbet csökkentünk: Szabatosan : Ha z>td>0, akkor (z+d)2+(t-d)2>z2+t2
1) -ből és 2) -ből következik, hogy a második tag akkor a legnagyobb, ha z,t,u,w ameddig csak lehet = y , egy szám pedig a többiek 100-ból vett maradéka. Vagyis a második tag szerkezete függ y-tól. Szabatosan: Ha , akkor a második tag maximuma 4y2 , a két tag összege
. Ha , akkor a második tag maximuma 3y2+(100-3y)2 , a két tag összege
(100-y)2+4y2+(100-3y)2 | (2) |
. Végül ha , akkor a második tag maximuma 2y2+(100-2y)2 , a két tag összege
(100-y)2+3y2+(100-2y)2 | (3) |
A négyzetösszeg maximumot y függvényében ábrázolva tehát egy három, egymáshoz csatlakozó, alulról konvex parabolaívből álló görbét kapunk. A teljes y tartományra a maximumot ezért csak a széleken és a csatlakozási pontokban kell vizsgálni. természetesen a már ismert eredményt kapjuk: A maximum 10000, amit az x=100, y=z=t=u=w=0 és az x=y=z=t=50, u=w=0 értékrendszerek adnak.
|
|
Előzmény: [1792] epsilon, 2007-01-19 07:16:56 |
|
[1796] epsilon | 2007-01-19 17:09:25 |
Helló HoA! Valóban elemi, logikus, szép. Van néhány kérdöjelem, amit magamban kellene tisztáznom: Az y nem több mint 50 az indulásból feltehető? Továbbá ha általánosítani kellene, a 100 helyett pl. 2a lenne, na meg a tagok száma 6 helyett n, akkor az általad jelzett 3 intervallumba sorolás az y-ra vonatkozóan hogyan alakulna, mindegyiket külön-külön elemezni kellene, vagy belátható-e elég könnyen, hogy a sok lokális maximumból melyik is a globális maximum? Én ezeken tűnődöm, ha vannak megjegyzéseid, szívesen veszem, és kösz, a megoldásodban volt jó pár mentő ötlet! Üdv: epsilon
|
|