Fórum: Érdekes matekfeladatok

Legyen g(x)=f(x)-x, és g_n(x)=g(g(...g(x)...)). Az értelmezési tartományra tett megszorítás miatt g(x)0 x0 esetén.

Megoldva a g_n+2(x)+g_n+1(x)-2g_n(x)=0 másodfokú lineáris rekurziót ( g₀(x):=x, g₁(x)=g(x) ),

g_n(x)=(-2)ⁿ[x-g(x)]/3 +[2x+g(x)]/3, n2

Ha x>g(x), akkor elég nagy páratlan n-re, míg x<g(x) esetén elég nagy páros n-re ellentmondás. Így g(x)=x és f(x)=2x.

Legyen X az ABC háromszög belső pontja, melyre XA^.BC=XB^.AC=XC^.AB. Legyen , , beírt körének középpontja rendre P, Q, R. Mutassuk meg, hogy AP, BQ, CR egy ponton halad át.

Sziasztok, a véleményetekre lennék kíváncsi, szerintem nagyon sokan ismeritek a feladványt:

Ezt a feladatot Einstein írta. Azt mondta, hogy az emberek 98

Tények: 1. 5 ház van, különböző színüek. 2. Minden házban él egy-egy ember, mindegyik más nemzetiségű. 3. Az öt tulajdonos különböző italokat fogyaszt, különféle cigit szív és más-más állatot tart. 4. Nincs két olyan tulajdonos aki ugyanazt az állatot tartaná, ugyanazt a cigit szívná, vagy ugyanazt az italt inná.

1. A brit a piros házban lakik. 2. A svéd kutyát tart. 3. A dán teát iszik. 4. A zöld ház a fehér ház bal oldalán van. 5. A zöld ház tulajdonosa kávét iszik. 6. Az a személy aki Pall Mall-t szív madarat tart. 7. A sárga ház tulajdonosa Dunhill-t szív. 8. Az az ember aki a középső házban lakik tejet iszik. 9. A norvég az első házban lakik. 10. Az ember aki Blend cigit szív amellett lakik aki macskát tart. 11. Az az ember aki lovat tart amellett lakik aki Dunhill cigit szív. 12. A tulaj aki Blue Mastert szív, sört iszik. 13. A német Prince-t szív. 14. A norvég a kék ház mellett lakik. 15. Az ember aki Blend-et szív, a vizet ivó ember szomszédja.

-Én 20-25 perc alatt megoldottam, de nem érzem úgy, hogy a felső 2

-De furán írta ki-, szóval állítólag az emberek két százaléka tudja megoldani, és szerintem azért jóval többen képesek lehetnek rá, ti hogyan vélekedtek?

Azért írta ki furán, mert a százalék jelet megjegyzés kezdetének veszi, és mindent elhagy, amit a sorban utána írsz . Valamelyik témában nemrég volt szó róla. Tehát így kell írni, hogy látható legyen: \%

A feladattípus elég közismert. Nekem van egy egész kis könyvem belőlük. És persze egy táblázatos módszerrel elég automatikusan megoldható.

Az, hogy az emberek hány %-a képes megoldani, kicsit nézőpont kérdése. Készséggel elhiszem, hogy ha 100 embernek feladod, csak 1-2 -től kapsz megoldást. Nem azért, mert képtelen lenne megoldani, de nem érdekli annyira, hogy végigküzdje. Más lenne a helyzet, ha az élete - na jó, a havi fizetése függne tőle.

Szerintem reális a 2% becslés.

Kedves HoA!

Nagyon érdekelne, hogy mitől közismert ez a feladat. Ha megírnád, örülnék.

Csábos

Természetesen a létezés bizonyításánál. Kavics mindig a tanteremben röpködő piros krokodilokkal példálózott. Ha azok léteznek, akkor minden igaz. A konstrukció mindig nehezebb a bizonyításnál. Ha feltesszük, hogy valami van, arról már könnyebb bármit igazolni.

Hát igen, mint a Ludas Matyi mottója mondta. „Nincsenek régi viccek, csak öreg emberek. Egy újszülöttnek minden vicc új” Nem emlékszem, hol láttam először, talán valamelyik Reiman könyvben. Most az interneten rákeresve ezt találtam legelőször:

Nemzetközi matematikai diákolimpiák (1959–2003)books.google.hu/books?isbn=9639548049 610 – 611. old.

http://books.google.hu/books?id=nNihkOMB8qYC&pg=PA610&lpg=PA610&dq=izogon%C3%A1lis+pont&source=bl&ots=ocxjZNxUjz&sig=g6aMbTyKXDcQBRh57RTWfDsgGfM&hl=hu&sa=X&ei=Fa5WUoy9HauX5ATV84HIBw&ved=0CGQQ6AEwCw#v=onepage&q=izogon%C3%A1lis%20pont&f=false

A lényeg: A 120 fokosnál nem nagyobb szögű háromszög síkjának az a pontja, melynek a csúcsoktól mért távolságösszege minimális, az izogonális pont. Bizonyítás: Legyen az ABC háromszög síkjának egy pontja P. Forgassuk el az ABP háromszöget B körül 60 fokal , új helyzete A’BP’ ( A’ az AB egyenes C-t nem tartalmazó oldalán ) . Ekkor A’P’ = AP, BPP’ háromszög szabályos, BP = BP’ = PP’ . A P pont csúcsoktól mért távolságainak összege AP + BP + CP = A’P’ + P’P +PC , vagyis egyenlő az A’P’PC töröttvonal hosszával. Mivel A’ és C helyzete P-től független, ez a hossz akkor a legkisebb, ha ha egybeeseik az A’C szakasszal. A minimális távolságösszeget adó P₀ pont ( és 60 fokos elforgatottja , P₀’ ) rajta van A’C –n, BP₀P₀’ szabályos, így BP₀C=120^o és BP₀’A’=120^o miatt BP₀A is 120^o

[3791]-re: Nézd meg, mi a helyzet, ha ABC>120^o

Kedves HOA!

A probléma Steinerig és Fermat-ig visszavezethető. http://en.wikipedia.org/wiki/Steinertreeproblem Sőt, mér a Gyilkos számok egyik jelenetében is láttam. 2. évad Toxin című rész, 31. perctől. A kérdésem igazából arra vonatkozott, hogy a komplex számos megoldás-felvetés honnan ered. Ami még igazán érdekel: Minél korábbi előfordulása az

x²+xy+y²=a

x²+xz+z²=b

z²+zy+y²=c

típusú feladatnak.

Tud valaki erről valamit?