Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3772] aaaa2013-08-07 20:19:50

a) ez ekvivalens n2 darab eredeti feladatbeli (kezdőhelyzet)->(véghelyzet) lehet-e kérdés megválaszolásával.

b) pl. (1;1)-re raksz, erre nem tudod az operációt alkalmazni.

Előzmény: [3770] w, 2013-08-03 14:03:32
[3773] aaaa2013-08-07 21:04:37

b)-re butaság, az pozitív egészekre igaz.

Előzmény: [3772] aaaa, 2013-08-07 20:19:50
[3774] w2013-08-11 16:48:19

Igen. Sok, az előbbihez hasonló feladat generálható. Olyan \alpha szám kell nekünk, melyre az

S=\sum_{(x,y)\in P} \alpha^{x+y} (*)

összeg a lépések során invariáns marad, ahol P jelöli a zsetonok helyeinek halmazát. Az előbbi feladatban \alphax+y=\alpha(x+1)+y+\alphax+(y+1)-ra redukálódik a (*) egyenlet, ahol \alpha=\frac12 megfelel célunknak. Miért is? Úgy általában, olyan \alpha számra van szükségünk, melyre

W=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty \alpha^{x+y}\in(-\infty;+\infty),

azaz az első síknegyed súlya véges. Ez éppen \alpha\in(-1;+1) esetén következik be, és ekkor

W=\sum_{x=0}^\infty\sum_{y=0}^\infty \alpha^x\cdot \alpha^y=\sum_{x=0}^\infty \alpha^x\cdot\left(\sum_{y=0}^\infty \alpha^y\right)=\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)^2

a mértani sor összegzőképlete szerint. A feladatokhoz pedig a P(x) polinomot rendelhetjük, amiről tudjuk, hogy van -1 és +1 között nemnulla gyöke, és tükrözi a zsetonok változását, azaz erre redukálódik a (*) egyenlet egy lépésnyi változás során. A VV-s példában ez a polinom P(x)=2x1-1 volt.

Aki ismer további alkalmazásokat erre a módszerre, örömmel olvasnám azokat.

Előzmény: [3771] Micimackó, 2013-08-07 13:22:20
[3775] juantheron2013-09-02 21:15:26

Minimum value of \left|z-1-i\right| + \left|z+2-3i\right| + \left|z+3+2i\right|,

where z=x+iy and i=sqrt-1

[3777] w2013-09-02 22:15:48

A következő függvényegyenlet leginkább a megoldási módszere miatt hasznos/érdekes (f:{\bf R}_{\ge0}\to{\bf R}_{\ge0}):

f(f(x)-x)=2x.

[3779] HoA2013-09-04 10:54:29

 f(z) = \left|z-1-i \right| + \left| z+2-3i\right| + \left|z+3+2i \right| = \left| z-(1+i)\right| + \left| z-(-2+3i))\right|+ \left|z-(-3-2i) \right| = \left| z-t\right| +\left| z-u\right|+ \left| z-v\right| , ahol t=1+i,u=-2+3i,v=-3-2i Legyen továbbá z'=z-u,t'=t-u,v'=v-u .  f(z) = \left| z'-t'\right| +\left| z'\right|+ \left| z'- v'\right| . Felhasználjuk, hogy \left|e^{i\phi}  \right|= 1 és \left|1 -e^{i\pi /3}\right|  = 1 ( ujjgyakorlat ) . Legyen z'' = z' e^{i\pi /3} t'' = t' e^{i\pi /3} Ekkor

 \left| z'-t'\right| = \left| (z'-t') e^{i\pi /3} \right| = \left| z''-t''\right| = \left| t''-z''\right|

 \left| z' \right| = \left| z' (1 -e^{i\pi /3})\right| = \left| z'-z''\right|= \left| z''-z'\right|

és innen a sokszög egyenlőtlenség miatt

 f(z) = \left| t''-z''\right| + \left| z''-z'\right|  + \left| z'- v'\right| \ge \left| t''- v'\right|

Numerikusan t' = 3-2i , v' = -1 -5i , t'' = (3-2i)(cos \pi/3 + i sin \pi/3) = (3-2i)(1/2 + i \sqrt{3}/2) = (3 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}-2)/2  t'' - v' = (5 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}+8)/2 . \left| t''-v'\right| ~ 7,84

Feladatnak hagyom annak bzonyítását, hogy létezik is olyan z' - és innen z - érték, melyre f(z) felveszi minimális értékét – például a megfelelő z kiszámításával.

Előzmény: [3775] juantheron, 2013-09-02 21:15:26
[3780] Fálesz Mihály2013-09-04 18:44:31

Azért én szívesen látnék egy elemi megoldást izogonális ponttal... :-)

Előzmény: [3779] HoA, 2013-09-04 10:54:29
[3781] HoA2013-09-04 23:31:16

A :-) -ból sejtem, észrevetted, hogy ez valójában a közismert izogonális pontos megoldás átírva komplexre.

A feladat talán éppen ezért érdekes: Hogyan derül ki a komplex megközelítésből, hogy a módszer csak 120o -nál kisebb szögű háromszögre működik?

Előzmény: [3780] Fálesz Mihály, 2013-09-04 18:44:31
[3782] juantheron2013-09-10 05:54:02

Solution for real a,b,c in

a[a]+c{c}-b{b}=0.16

b[b]+a{a}-c{c}=0.25

c[c]+b{b}-a{a}=0.49

Where [x]= Integer part of x

and {x}= fractional part of x

[3783] juantheron2013-09-10 05:57:06

Thanks HoA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]