Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1018] xviktor2005-08-15 23:37:22

Tenyleg nem kukacoskodni szeretnek, de lehet kicsit egyszerubben is irni:

T=3\bigg(\frac{5-4cos\alpha}{\sqrt3}+4sin\alpha\bigg)

Előzmény: [1017] xviktor, 2005-08-15 23:32:05
[1019] Lóczi Lajos2005-08-16 14:48:19

Aki szeret térfogatot számolni, annak álljon itt a

188. feladat. Legyen a>0 adott szám és tekintsük a közönséges térbeli x-y-z koordinátarendszert.

Mekkora a térfogata annak a testnek, amely az x2+y2+z2\le4a2 egyenlőtlenséggel meghatározott gömb és az (x-a)2+y2\lea2 (végtelen) henger metszeteként áll elő?

[1020] Lóczi Lajos2005-08-16 15:00:38

A különböző gyökkitevők egy összegben felcserélhetők?

189. feladat. Jelölje

A=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\left(\frac{21}{8}\right)^{\sqrt{2}}+\left(\frac{35}{8}\right)^{\sqrt{2}}}

és

B=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{\sqrt{2}}+\left(\frac{5}{2}\right)^{\sqrt{2}}} \cdot \left(\sqrt{\frac{21}{8}}+\sqrt{\frac{35}{8}}\right)^{\sqrt{2}}

Döntsük el (majd bizonyítsuk be), hogy kettejük közül melyik a nagyobb szám.

[1021] xviktor2005-08-16 17:17:14

A 189. feladat megoldasa szerintem:

\frac{A}{B}=\frac{{\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac{21}8\right)^{\sqrt2}+\left(\frac{35}8\right)^{\sqrt2}}}}{{\left(\sqrt{\frac{21}8}+\sqrt{\frac{35}8}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}}}}=\frac{{\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\cdot \frac74\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\cdot \frac 74\right)^{\sqrt2}}}}{{\left(\sqrt{\frac32\cdot \frac74}+\sqrt{\frac52\cdot \frac 74}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}}}}=

=\frac{{\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac74\right)^{\sqrt2}\cdot \left[\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}\right]}}}{{\left[\sqrt{\frac74}\cdot\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)\right]^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}}}}=\frac{{\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}}}\cdot\sqrt{\left(\frac74\right)^{\sqrt2}}}{{\left(\sqrt{\frac74}\right)^{\sqrt2}\cdot\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac52}\right)^{\sqrt2}\cdot \sqrt{\left(\frac32\right)^{\sqrt2}+\left(\frac52\right)^{\sqrt2}}}}=1

Eszreveheto, hogy az egyszerusitesek utan 1et kapunk. Igy A=B.

Amennyiben valamit elirtam legyszives szoljatok, es kijavitom.

Remelem jo a megoldasom: Viktor

Előzmény: [1020] Lóczi Lajos, 2005-08-16 15:00:38
[1022] Yegreg2005-08-16 17:36:10

A hatszöges feladatra írt képlet így jött ki: Vagyünk 3 szomszédos csúcsot, és a két szélsőt kössük össze a 120°-os forgásszimmetria középpontjával. Ekkor a forgásszimmetria miatt(bármelyik 3 egymás melletti csúcsot választjuk) a hatszög területének 3-ada lesz a kapott négyszög területe. Ez eddig a külső 3-as szorzó, a zárójelben a négyszög területe van. A négyszög oldalai: 2, 4, a, a. Az első kettő a hatszög két oldala a másik kettő a szimmetria miatt egyenlő. Kössük össze egymással a két szélső pontot, ekkor a négyszög egy átlóját kapjuk, ami két háromszögre bontja a négyszöget, a külső egyértelműen meghatározott adott \alpha belső szögnél, hiszen két oldal és a közbezárt szög ismert, és ebből a belső háromszög is meg lett határozva, hiszen az egyik oldala a külsővel közös, a rajta fekvő szögek pedig nyilván 30°-osak. A külső háromszög területe ekkor

t1=4sin\alpha

. A behúzott átló legyen b! Ekkor b2=22+42-16cos\alpha a koszinusz tétel alapján. Ha behúzzuk a belső háromszög magasságát, akkor két egybevágó félszabályos háromszöget kapunk, ahol a nagyobb befogó \frac{b}2, a kisebb pedig így \frac{b}{2\sqrt3}, ami a belső háromszög magassága. A belső háromszög területe tehát

t_2=\frac{am}2=\frac{b^2}{4\sqrt3}=\frac{20-16cos\alpha}{4\sqrt3}=\frac{5+4cos\alpha}{\sqrt3}

(valóban egyszerűsíthetünk). A hatszög területe pedig:

T=3(t_1+t_2)=3\big(\frac{5+4cos\alpha}{\sqrt3}+4sin\alpha\big)

Ennyi. Üdv:

Yegreg

[1023] xviktor2005-08-16 18:22:24

Jo a megoldasod mutatok egy masikat is...

A forgasszimmetria miatt:

1.: A belso haromszog egy szabalyos haromszog, melynek terulete: T=\frac{\sqrt3}4\cdot a^2

2.: A 3 kis haromszog egybevago. Felirtam a cosinus tetelt egy kis haromszogre: a2=22+42-2.2.4.cos\alpha=20-16cos\alpha

1-2bol: T_{"belso"haromszog}=\frac{\sqrt3}4\cdot (20-16cos\alpha)

A kis haromszogek terulete /mindharome osszesen/: T_{"kis"haromszogek}=3\cdot \frac{2\cdot 4\cdot sin\alpha}2

Igy a hatszog terulete: T=\frac{\sqrt3}4\cdot (20-16cos\alpha)+3\cdot \frac{2\cdot 4\cdot sin\alpha}2=3\cdot\left(\frac{5-4cos\alpha}{\sqrt3}+4sin\alpha\right)

Előzmény: [1022] Yegreg, 2005-08-16 17:36:10
[1024] Lóczi Lajos2005-08-16 19:10:57

Szép megoldás!

(Egy TeX-es megjegyzés a környező feladatokhoz: amikor koszinuszt/szinuszt írtok be, használjátok a "backslash"-t előtte, így olyan formátumot kapunk, ahogyan a könyvekben szokás: cos x-et, és nem cosx-et, ami utóbbi a c, o és s változók szorzata szokott lenni. Hasonló igaz a többi beépített függvénynévre is, pl. log x és nem logx.)

Előzmény: [1021] xviktor, 2005-08-16 17:17:14
[1025] Yegreg2005-08-16 22:48:40

Én nem feltétlenül tekinteném különböző megoldásnak, annyi, hogy én felbontottam a szab. háromszöget 3 egyenlószárú háromszögre. Itt egy feladat, ezt nem én találtam ki, csak hallottam, és tetszett, talán azért, mert egész gyorsan megoldottam:)

Bizonyítsuk be, hogy az \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}} kifejezés bármely n (nyilván természetes szám) esetén egész! Több megoldást is lehet adni rá!

Üdv:

Yegreg

[1026] xviktor2005-08-17 18:38:28

191. Feladat: Oldjuk meg a kovetkezo egyenletrendszert a valos szamok halmazan:

1.:x2+y2-xy=225

2.:x2+z2-xz=121

3.:y2+z2-yz=36

Jo gondolkodast: Viktor

U.i.: Hogy lehet megcsinalni, hogy a 3. egyenlet a tobbi alatt legyen?

[1027] Lóczi Lajos2005-08-17 21:33:21

Kiküszöbölve az egyenletekből pl. x-et és y-t, z-re az alábbi egyenletet kapjuk:

4z8+230z6+81297z4+41720z2+71824=0.

Erről az egyenletről viszont világosan látszik, hogy nincs valós megoldása, csak komplex, tehát az eredeti egyenletrendszernek sincs valós megoldása.

Előzmény: [1026] xviktor, 2005-08-17 18:38:28

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]