Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3737] aaaa2013-06-11 19:02:07

valóban igazad van, butaság, amit írtam. Újra nekifutva: Tegyük be a hálót egy koordinátarendszerbe, (0;0) legyen az egyik csúcs, egység hosszú oldala legyen a négyzeteknek, legyen a rács tengelypárhuzamos n*n-es háló, ahol n>5, az (x,y), (x,y+1) szakaszt jelölje (x,y+0.5) s (x,y), (x+1,y)-t (x+0.5,y). Az L-betűt a 2 szakasz 3 végpontjával adjuk meg, a négyzetet meg (x+0.5,y+0.5) alakban.

Na most nézzük a (0;0) sarkot. Ha L-betű van itt, akkor az (2,0)-(0,0)-(0,2), mert különben (0,0)-(0,2)-(2,2)-t és (0,0)-(2,0)-(2,2)-t használjuk, de ekkor (1,0.5) és (0.5,1) nem fedhető le átfedés nélkül. Így leraktuk a (2,0)-(0,0)-(0-2) L-betűt. Ekkor (1,0.5) és (0.5,1) csak egyféleképp fedhetők, (1,0)-(1,2)-(3,2)-vel és (0,1)-(2,1)-(2,3)-al. Ezután (2,0.5) és (0.5,2) csak (2.5,0.5)-el és (0.5,2.5)-el fedhető. Ezután (0,3.5) és (3.5,0) fedéséhez kell (0,3)-(0,5)-(2,5) és (3,0)-(5,0)-(5,2). Most ha ránézünk (4,0.5), (0.5,4)-re, akkor muszáj (4,0)-(4,2)-(6,2)-t és (0,4)-(2,4)-(2,6)-t lerakni, de ekkor (1,3.5) és (3.5,1) nem fedhető semmivel.

Konklúzió: a sarokban négyzet van, ha legalább 6*6-os négyzetről van szó, vagyis (0.5,0.5)-t fel kell használni. De ekkor (0,1.5)-t és (1.5,0)-t csak (0,1)-(0,3)-(2,3) és (1,0)-(3,0)-(3,2) fedheti, és ettől fogva (0,2n+1.5)-t és (2n+1.5,0)-t csak (0,2n+1)-(0,2n+3)-(2,2n+3) és (2n+1,0)-(2n+3,0)-(2n+3,2) fedheti.

Összefoglalva: egy legalább 6*6-os négyzet jó lefedésénél minden sarokban négyzet van, és a határszakaszokat egyértelműen fedik az L-betűk. De ekkor 2 eset van: ha n=2k+1, akkor lesz egy szakasz minden határon, amit nem tudunk lefedni, ha n=2k, akkor meg a négyzetektől induló L-betűk egymást fogják fedni, ahol a két sarokhoz tartozó L-betűk találkoznak.

A kimaradó kérdések: n=2,3,4,5-re van-e lefedés

n=2-re trivi, hogy nincs

n=3-ra (0.5,2.5), (2.5,0.5), (2.5,2.5), (2,0)-(0,0)-(0,2), (1,0)-(1,2)-(3,2) és (0,1)-(2,1)-(2,3) jó fedés

n=4-re L-betűs sarkos érvelés megakad (0,3.5) és (3.5,0)-nál, a négyzetes igaz rá, nincs fedés

n=5-re L-betűs sarkos érvelés megakad (4,0.5) és (0.5,4)-nél, a négyzetes igaz rá, nincs fedés

Összefoglalva: csak és kizárólag n=3-ra rakható ki.

Előzmény: [3736] w, 2013-06-10 22:22:03
[3738] uborkalekvar2013-06-12 17:19:31

Sziasztok!

Valaki tudna segíteni ebben a 2 feladatban?

1. a.Hányféleképpen juthatunk el a koordináta-rendszerben az origóból a (7,6) pontba, ha egy lépés során csak jobbra, illetve felfelé léphetünk 1 egységet? b.Hány esetben haladunk át a (3,4) ponton?

2.Hány olyan valódi hatjegyű páros szám van, amely nagyobb 400000-nél és van benne ismétlődő számjegy?

Köszönöm előre is a segítséget!

[3739] aaaa2013-06-12 18:16:21

1.a) \binom{13}{6} b) \binom{7}{3}\binom{6}{3}

2. Legyen adott a következő p permutáció: (0123)(456789) Ekkor p(x) legyen p x számjegyeire egyenként alkalmazva. Ekkor p(x) egyértelmű, x pároshoz páratlant rendel, 400000-nél nem kisebbhez 400000-nél nem kisebbet, ismétlődédes számhoz ismétlődéseset. De így ismétlődéses páros és páratlan számból ugyanannyi van a 400000-nél nem kisebbek között. Vagyis megfelelő számból \frac{10^7-4*10^6-6*9*8*7*6*5}{2}-1 van, mert 400000 is megfelelő lenne.

Előzmény: [3738] uborkalekvar, 2013-06-12 17:19:31
[3740] jonas2013-06-12 18:21:59

Az 1. feladatodhoz lásd a tesztverseny 2007. január 4. - 2007. február 3. forduló matematika feladatok, 7-8 osztály 5. feladatát.

A 2. feladathoz lásd a tesztverseny 2008. október 20. - 2008. november 19. forduló matematika feladatok, 7-8 osztály 4. feladatát.

Előzmény: [3738] uborkalekvar, 2013-06-12 17:19:31
[3741] uborkalekvar2013-06-12 18:50:29

Köszönöm, viszont sztem a 2-es feladat megoldása nem jó, mert így nem 6 jegyű számot kapunk.

Előzmény: [3739] aaaa, 2013-06-12 18:16:21
[3742] aaaa2013-06-12 19:04:04

igen, mert 106-4*105 kell, de a többi jó, programmal leellenőriztem.

Előzmény: [3741] uborkalekvar, 2013-06-12 18:50:29
[3743] uborkalekvar2013-06-12 21:26:20

Rendben, köszi szépen! Közbe kijött nekem is ugyanez az eredmény máshogy úgyhogy tényleg jó:)

Előzmény: [3742] aaaa, 2013-06-12 19:04:04
[3744] aaaa2013-06-15 17:10:57

Igazából a következő jutott eszembe, nem tudom mennyire nehéz: Legyen H egy olyan véges halmaz, amelynek elemei olyan szakaszhalmazok, melyek egész koordinátájú, szomszédos pontokat kötnek össze. Legyen S is egy ilyen halmaz, elemei Si. (S megszámlálhatóan végtelen, elemei nem vihetők egymásba tükrözésekkel, forgatásokkal, eltolásokkal). Mérjük H lefedőképességét S-re nézve a következőképpen: fH(si):=1, ha si\inS lefedhető H-beli elemek eltoltja, elforgatottja vagy tükrözött verziójaival, átfedés nélkül, és különben 0, és definiáljuk a Lmax_{(H,S)}=sup \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf_{H}(s_i) 
\right) és Lmin_{(H,S)}=inf\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf_{H}(s_i)\right) értékeket. Legyen H triviális halmaz, ha minden eleme összefüggő, és lefedhető egy elég nagy szakasszal.

Ezek után kellene megadni valami értelmes rendezést S elemeire, hogy kikerüljük azt, hogy bárhogy átrendezhetjük az S halmazt, és ezután lenne értelme a következőknek:

Ezek után kérdések: Van-e olyan S halmaz, amelyre Lmax(H,S)\neqLmin(H,S)?

Lehet-e úgy megadni halmazokat, hogy Lmin(H,S)=Lmax(H,S)=r irracionális legyen?

Ugye itt azt láttuk be, hogy ha H= {négyzet,L-betű}, S={négyzethálók}, akkor Lmin(H,S)=Lmax(H,S)=0

Előzmény: [3737] aaaa, 2013-06-11 19:02:07
[3745] w2013-06-21 14:15:10

Nevezzünk egy (t1,t2,t3,t4) valós számnégyest négyzetesnek, ha léteznek a, b, c valós számok, melyekre t_\ell=a\ell^2+b\ell+c teljesül \ell=1,2,3,4-re. Az alábbi táblázatban (xi1,xi2,xi3,xi4) (i=1,2,3,4) négyzetes számnégyesek. Mutassuk meg, hogyha (x1j,x2j,x3j,x4j) j=1,2,3 esetén négyzetes, akkor j=4-re is. Általánosítsunk.

\matrix{x_{11}&x_{12}&x_{13}&x_{14}\cr
x_{21}&x_{22}&x_{23}&x_{24}\cr
x_{31}&x_{32}&x_{33}&x_{34}\cr
x_{41}&x_{42}&x_{43}&x_{44}\cr}

[3746] jonas2013-06-21 21:08:33

Ez szerintem egy tanulságos feladat, mert lineáris algebrát tanít. Hadd mondjam el, én hogy képzelem el.

Az hogy egy (x1,x2,x3,x4) vektor négyzetes, ekvivalens azzal, hogy felírható (a,b,c)N alakban, ahol N a következő mátrix.


N = \left(\matrix{
1 & 4 & 9 & 16 \cr
1 & 2 & 3 & 4 \cr
1 & 1 & 1 & 1
}\right).

Legyen N első három oszlopa által alkotott V mátrix, és legyen az utolsó oszlop v.


V = \left(\matrix{
1 & 4 & 9 \cr
1 & 2 & 3 \cr
1 & 1 & 1
}\right);
v = \left(\matrix{16 \cr 4 \cr 1}\right).

V egy Vandermonde mátrix, ezért invertálható. Ezért aztán bármely (x1,x2,x3) vektort pontosan egyféleképpen lehet négyzetes (x1,x2,x3,x4) számnégyessé befejezni: úgy, hogy x4=(x1,x2,x3).V-1.v. (A V-1.v vektor pontos (1,-3,3)T értékére nem lesz szükségünk a bizonyításhoz.)

Mármost rakjuk a feladatban adott számokat mátrixokba:


X = \left(\matrix{
x_{11} & x_{12} & x_{13} \cr
x_{21} & x_{22} & x_{23} \cr
x_{31} & x_{32} & x_{33} \cr
}\right); x = \left(\matrix{x_{14} \cr x_{24} \cr x_{34}}\right)

y=(x41,x42,x43)

Az, hogy a sorok négyzetesek, pont azt jelenti, hogy x=X.V-1.v és hogy x4=y.V-1.v. Mivel az első három oszlop is négyzetes, y=vt.(VT)-1.X. Ebből viszont

x4=y.V-1.v=vt.(VT)-1.X.V-1.v=vt.(VT)-1.x,

tehát az utolsó oszlop is négyzetes.

Előzmény: [3745] w, 2013-06-21 14:15:10

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]