Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[770] Atosz2005-02-04 09:52:18

145. feladat Vegyünk egy tetszőleges A0B0C0 háromszöget, majd ennek A0B0 oldalán véletlenszerűen válasszunk ki egy pontot, legyen ez A1. Amilyen arányban felosztja A1 az A0B0 oldalt, ugyanilyen arányban (és megfelelő sorrendben) vegyük fel a B1 és C1 pontokat a megfelelő oldalakon. Így kapjuk az A1B1C1 háromszöget. Az eljárást kezdjük előlről (már az új háromszögön - újra véletlenszerű választással) és folytassuk a végtelenségig. A kérdés az, hogy a háromszögeknek ez a végtelen sorozata az eredeti háromszög mely belső pontjához konvergál?

[771] Kemény Legény2005-02-06 19:48:18

Legyenek az A0B0C0 csúcsaiba mutató helyvektorok:a,b,és c.Ekkor az A1 pont helyvektora kifejezhető a és b lin.komb.jaként,mégpedig ax+by alakban ahol x+y=1.Ekkor B1,C1 pontok helyvektorai: bx+cy ill.cx+ay lesznek. Az eredeti 3-szög súlypontja (a+b+c)/3,mig az új 3-szögé: (ax+by+bx+cy+cx+ay)/3=(a+b+c)(x+y)/3=(a+b+c)/3 lesz. Igy a müvelet során a háromszögek súlypontjai változatlanul maradnak,és mivel a háromszög súlypontja általában a belsejébe szokott esni,ezért ha a 3-szögek végtelen sorozata egyáltalán konvergál vmely ponthoz(elég ha a területük tart 0-hoz,mivel egymásba skatulyázott zárt halmazok),akkor az a háromszög súlypontja lesz.Az már persze nem geometriai kérdés hogy végtelen sok véletlenszerüen választott 0 és 1 közti szám szorzata milyen eséllyel tart 0-hoz,hiszen csak ekkor konvergálhat a 3-szögsorozat vhová.

Előzmény: [770] Atosz, 2005-02-04 09:52:18
[772] Atosz2005-02-06 23:27:49

Kedves Kemény Legény!

Gratulálok a megoldáshoz! Ez tulajdonképpen egy ujjgyakorlat volt "szörnyűnek" tűnő megfogalmazásban. Szerintem azért ez egy érdekes tulajdonsága a súlypontnak. Azt viszont furcsálnám, ha 1-nél kisebb számok szorzata nem tartana a nullához.

Előzmény: [771] Kemény Legény, 2005-02-06 19:48:18
[773] Sirpi2005-02-07 01:19:36

Azt viszont furcsálnám, ha 1-nél kisebb számok szorzata nem tartana a nullához.

Miért is? Legyen mondjuk a_n = \frac{n^2+n-2}{n^2+n}, ami szemlátomást szigorúan 0 és 1 közé esik, ha n legalább 2. Ekkor az an-ek szorzatának határértéke nem nulla lesz. Gyakorlásképpen, akinek van kedve, számolja ki a szorzat határértékét, mondjuk a 2. tagtól kezdve (n=1-re an=0, tehát úgy nem lenne túl nehéz szorzatot számolni).

Előzmény: [772] Atosz, 2005-02-06 23:27:49
[774] Atosz2005-02-07 09:01:53

Teljesen igazad van, becsapott az an sorozat, ami minden 0 és 1 közötti a esetén 0-hoz tart. Így viszont, jogosnak tűnik Kemény Legény felvetése, miszerint ha véletlenszerűen választunk számokat a (0,1) intervallumból, akkor milyen valséggel lesz a szorzat 0-tól különböző.

Előzmény: [773] Sirpi, 2005-02-07 01:19:36
[775] Kemény Legény2005-02-07 10:44:47

Végtelen sok véletlenszerüen választott 0..1 közti szám között 1 val.szinüséggel lesz végtelen sok a 0..1/2 intervallumban,ekkor pedig a szorzat csak 0-hoz tarthat.Igy 1 a val.szine annak hogy 0 lesz a szorzat.

Előzmény: [774] Atosz, 2005-02-07 09:01:53
[776] jenei.attila2005-02-07 12:07:01

Szia Atosz!

A gyógyszeres feladattal hogy állunk? A rekurzió megoldása elég reménytelennek tűnik. Lehetséges egyáltalán szép zárt alakot adni rá? Vagy esetleg valami ügyes trükkel (ld. őrült légi utasok) egyszerűbben megoldható? Egyébként honnan származik a feladat?

[777] Atosz2005-02-07 18:21:40

Kedves jenei.attila!

A gyógyszeres feladat jelenleg pihen, bár lehet, hogy néhányan törik rajta a fejüket. Annyi eredményünk van, amennyi eddig a fórumon elhangzott, azaz p2,k kivételével csak egy általános rekurzív alak. Könnyen lehetséges, hogy nincs zárt alakban megoldás. A feladatot én találtam ki évekkel ezelőtt egy unalmas matekórán, s néha-néha előszedtem egy kicsit. Azért tettem fel ide a fórumra, hátha valakinek bevillan valami okos ötlet. Egyelőre úgy tűnik, hogy kifog rajtunk, de sosem szabad feladni, mint ahogy Wiles sem engedte ki a markából a Fermat tétel bizonyítását. A kettő között mindössze annyi különbség van, hogy annak megoldása a matematika sok területét kapcsolta össze, míg ez valószínűleg csak egy jelentéktelen zsákutca. Én már annak is örülnék, ha pl. közelítő megoldás, vagy valami ügyes rekurziós átalakításunk lenne, vagy a spec esetek száma bővülne (pl. zárt alak pk,k-ra.)

Minden jót!

Előzmény: [776] jenei.attila, 2005-02-07 12:07:01
[778] Káli gúla2005-02-07 23:05:16

Folytatva a súlypont körüli asszociációs játékot :

146. feladat. Bizonyítsuk be, hogy minden konvex sokszög belsejében van olyan P pont, hogy minden, P-n átmenő AB húrra

AP/BP\le2

.

[779] Kemény Legény2005-02-08 15:07:01

Elnézést mindenkitől,de sajnos tévesen irtam azt,hogy a 3szögek sorozata akkor konvergál egy ponthoz,ha a végtelen sok véletlenszerüen választott 0..1 közti szám szorzata 0-hoz tart.Ugyanis ha az oldalon az arány x,akkor az új 3szög területe 1-3x(1-x) szerese lesz az elözönek.Igy az kell,hogy ha az x-eket véletlenszerüen választjuk,milyen eséllyel tart az 1-3x(1-x) számok szorzata 0-hoz.ezek pedig nem véletlenszerüen vannak kivál.va 0..1röl,hiszen pl.mindegyikük legalább 1/4.Szerencsére azonban itt is az 1/4..1/2 int.vallumba 1 val.szinüséggel esik végtelen sok,mert ehhez az kell hogy 1/4<1-3x(1-x)<1/2 teljesüljön az x-re.Ez a feltétel x-re nézve 2 int.vallumot ad,azokba pedig 1 val.szin.gel végtelen sok x fog esni,igy az 1-3x(1-x) ek közt 1 val.szin.gel végtelen sok lesz az 1/4..1/2 int.vall.ban,igy a szorzatuk 0-hoz tart 1 val.szin.gel.

Előzmény: [771] Kemény Legény, 2005-02-06 19:48:18

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]