[3727] w | 2013-06-05 21:12:46 |
Aranyos. Nekem pozitív egészekre van megoldásom, de nem is baj, mert csak poz. egészekre értelmezhetők a kifejezések, vagy teljesül az egyenlőtlenség. (Utóbbi magyarázata: ha n=1 és m<0, akkor a bal oldal 1-1/(-m), a jobb oldal 1+0, ami ellentmondás.) A Bernoulli-egyenlőtlenség szerint
és ebből n-edik gyököt vonva megkapjuk a kívántat.
Már aki nem ismeri a Bernoullit, az kínos helyzetben van, mert vagy eszébe jut a súlyozott hatványközepek közötti egyenlőtlenség (ami bizonyítja a Bernoullit), vagy (nagyobb eséllyel) rájön, hogy itt indukciót lehetne csinálni. Ennek ellenére a feladat legkönnyebb megoldása a binomiális tétellel történik (megint ekvivalens átal. n-edikre hatványozok):
|
Előzmény: [3726] aaaa, 2013-06-05 20:02:28 |
|
[3728] aaaa | 2013-06-05 21:22:05 |
Hú, tényleg, pozitívakra gondoltam. Igen, bernoulliból szépen kijön, vagy még a b) feladat szorzatának felső becsülgetéséből is pont ez adódik.
|
Előzmény: [3727] w, 2013-06-05 21:12:46 |
|
[3729] w | 2013-06-05 21:33:20 |
További algebrai ügyeskedés (ami nagyon tetszik) ennek a topicnak az első hozzászólásaiban található: mennyi lesz az
összeg, ha (k) a híres Riemann-féle zéta-függvény. Riasztóbb, mint amilyen.
Új feladat következik. Egy másik függvényt mondok, pl. g-t, ami ezúttal a pozitív egészek közül a 2-nél nagyobbakra hat, és nem más, mint
lesz. Most nem puccoskodok, csak kérem, hogy mutassuk meg, hogy g felülről és alulról korlátos. Adjunk meg minél jobb korlátot.
|
Előzmény: [3728] aaaa, 2013-06-05 21:22:05 |
|
[3730] aaaa | 2013-06-05 22:45:26 |
Utóbbi alsó korlátja triviálisan a , felsőre meg logaritmálunk, szóval a következőt kéne minél jobban becsülni:
Mivel 2log x<x-1, ha x>4, ezért mehet a következő felső becslés:
Ha meg nem becsülünk így felülről, hanem integrállal becsülgetünk, akkor n=10-től indítva az integrált felső korlátnak 2.76676 adódik pl, de ez nem túl tanulságos.
|
Előzmény: [3729] w, 2013-06-05 21:33:20 |
|
[3731] w | 2013-06-06 08:21:32 |
Lehet tanulságossá tenni. Kezdd azzal, hogy a feladatot megpróbálod szépen megoldani. Van igen szép, integrálos egyenlőtlenség nélküli megoldása, csak ahhoz gondolkodni is kell :-) Segítség: mi indukciót akarunk csinálni, csak n-re nem sikerül. Azt igazold, hogy g(n)<3.
|
Előzmény: [3730] aaaa, 2013-06-05 22:45:26 |
|
[3732] aaaa | 2013-06-06 08:31:09 |
azt a megoldást ismerem máshonnét, és épp ezért nem azt írtam le, meg most már ez a becsléssorozat egy kicsit kézenfekvőbb volt :)
|
Előzmény: [3731] w, 2013-06-06 08:21:32 |
|
[3733] w | 2013-06-06 09:21:45 |
Aha értem. Akkor témát váltok: ki lehet-e rakni egy 8x8-as négyzetrácsot átfedés nélkül a szimmetrikus, négy egységszakaszból álló L-alakú, illetve négyzet alakú drótdarabkákkal?
|
Előzmény: [3732] aaaa, 2013-06-06 08:31:09 |
|
[3734] aaaa | 2013-06-10 00:08:48 |
Nem, L-betűt nem használhatunk a kirakáshoz, ugyanis tekintsük az L-betű "csúcsánál" lévő négyzetet, amelynek 2 oldala az L-betűbe esik. A másik 2 oldal ekkor nem fedhető le egyszerre ezekkel a típusú darabokkal átfedés nélkül. Csak négyzetekkel meg nem lehet lefedni. (megj. ez minimum 2*2-es négyzethálóra is igazolja, hogy nem lehet)
|
Előzmény: [3733] w, 2013-06-06 09:21:45 |
|
[3735] jonas | 2013-06-10 09:55:57 |
Négyzet alakú drótdarabokkal nyilván nem lehet, mert ezek a rács szélét nem tudják lefedni. Azt nem tudom, hogy L alakú darabokkal mi a helyzet.
|
Előzmény: [3733] w, 2013-06-06 09:21:45 |
|
[3736] w | 2013-06-10 22:22:03 |
Nagyon vázlatos. "A másik 2 oldal ekkor nem fedhető le egyszerre ezekkel a típusú darabokkal átfedés nélkül." Átfedés alatt azt értem, hogy két darabnak közös szakasza van. Metszhetik még egymást. (Nem tudom, erre gondoltál-e.)
|
Előzmény: [3734] aaaa, 2013-06-10 00:08:48 |
|