Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[462] V. Dávid2004-09-02 20:47:19

96. Feladat: a [-1;1] intervallumból véletlenszerűen kiválasztunk három valós számot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ezek négyzetösszege legfeljebb 1?

[463] Sirpi2004-09-02 22:48:28

96.-ra a megoldás: \frac 1{2^3}\cdot \frac 43 1^3 \pi=\frac{\pi}6. Ennél jobban nem akarnám lelőni.

Előzmény: [462] V. Dávid, 2004-09-02 20:47:19
[464] V. Dávid2004-09-03 10:07:10

Aki nem jön rá a trükkjére, és algebrai módszerekkel akarja megoldani, az reménytelennek találja a feladatot. Egyszer fealdtam egy nagyon jó matekos srácnak, aki emiatt nem tudta megoldani.

Előzmény: [463] Sirpi, 2004-09-02 22:48:28
[465] V. Dávid2004-09-03 10:13:45

97. Feladat: Hozzunk létre olyan sík-koordináta-rendszert, amelyben a sík minden pontjának egyetlen koordinátája van.

[466] lorantfy2004-09-03 12:05:45

Hello Fiúk!

Ez tényleg sokat segít. Ha a kiválasztott három számot térbeli koordinátákként fogjuk fel, akkor az összes lehetséges pont egy 2 egység oldalú kockát ad. A négyzetösszegük a pont origótól vett távolságának négyzete. Így a jó pontok egy egység sogarú körben vannak. A térfogatok aránya adja a keresett valószínüséget. Majd otthonról felteszek egy 3D-s ábrát hozzá.

Előzmény: [463] Sirpi, 2004-09-02 22:48:28
[467] Káli gúla2004-09-03 12:33:30

Kedves Károly!

A kettes találathoz nem kell minden párt eltalálni. Például, minden nyerő ötösben van két szám, ami néggyel osztva azonos maradékot ad, így elég az ilyen párokat eltalálni. Leírok egy rendszert, amivel 30 szelvényen mindig lesz 2 találatunk, feltéve, hogy a nyerő ötösben van két 4-gyel osztható szám. Ezt a 30 szelvényt 0-val, 1-gyel, 2-vel és 3-mal eltolva kaphatunk 120 szelvényt, ami garantál 2 találatot. Ez nem optimális, de nincs nagyon messze attól. A pontos szám 100 körül lehet, ahogy írtad.

Az egyszerűség kedvéért 100-ig nézzük a számokat, a 25 néggyel osztható számból alkotható összes párt, másképp mondva a 25 csúcsú teljes gráf éleit akarjuk 30 ötössel lefedni. A 25 számot 5 ötös csoportba osztjuk: (0,4,8,12,16), (20,24,28,32,36), ..., (80,84,88,92,96). Először is a "belső élekhez" ezt az 5 ötöst megjátszuk 1-1 szelvényen.

Ezután, mivel két ötös csoport "között" 25 él lehetséges, a "köztes" élek lefedéséhez azt kell csak megoldani, hogy azok mind előforduljanak valamelyik szelvényünkön. Indexeljünk egy-egy ötös csoporton belül 0, 1, ..., 4 - gyel, és készítsünk egy olyan táblázatot, ahol bármely két oszlopot végignézve (az oszlopok az ötös csoportoknak felelnek meg), minden lehetséges párt megtalálhatunk. Ilyen táblázat 25 sorát az

(i,j,i+j,2i+j,3i+j),  (i,j=0,..,4)

ötösökkel lehet elkészíteni, ezt mutatja az ábra bal oldali része, a jobb oldali részen pedig a nekik megfelelő 25 lottószelvény található (a nem létező lottószámokat tetszőleges másik számmal kell helyettesíteni).

Előzmény: [455] Hajba Károly, 2004-09-01 15:46:40
[468] V. Dávid2004-09-03 21:34:13

A 95. általánosítása: Vegyünk három helyett n darab számot. A keresett P(n) valószínűség az egységsugarú n-dimenziós gömb G(n) és a két egység oldalú n-dimenziós kocka K(n) térfogatának aránya. Nyilván K(n)=2n, de mi a helyzet G(n)-nel?

Nézzük meg, hogyan is számoltuk ki a gömb térfogatát. Adott az origó középpontú, r sugarú k kör. Most x szerint integráljuk azoknak a köröknek a területét, amelyek sugara egyenlő k x-hez tartozó y koordinátájával. 4 dimenzióra analogikusan gondolkodunk: Adott az előző k kör. Most x szerint integráljuk azoknak a gömböknek a térfogatát, amelyek sugara k x-hez tartozó y koordinátája, azaz

G(4)=\int_{-r}^r\frac{4\pi}3\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3dx=\frac{\pi^2}2r^4

Hasonlóan G(5)=\frac{8\pi^2}{15}r^5. Kipróbáltam az első néhány n-re, és az a sejtésem alakult ki, hogy

G(2k)=\frac{\pi^k}{k!}r^{2k}

De semmilyen selytésem nem alakult ki páratlan n-re.

Előzmény: [466] lorantfy, 2004-09-03 12:05:45
[469] Lóczi Lajos2004-09-03 22:00:11

Kedves Dávid,

a "selytésed" :) helyes. Páratlan n-re a sokdimenziós gömbök térfogatának és felszínének elemzése megtalálható a http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html címen.

Előzmény: [468] V. Dávid, 2004-09-03 21:34:13
[470] Lóczi Lajos2004-09-03 22:08:03

Kedves Dávid,

ha jól értem, a 97. feladatot lényegében már tárgyaltuk a "Felmerülő kérdések és problémák topikja" rovatban, kb. a 20-40-es hozzászólások környékén.

Előzmény: [465] V. Dávid, 2004-09-03 10:13:45
[471] V. Dávid2004-09-04 09:40:11

98. Feladat (Remélem, ez még nem volt) Három, egységnyi oldalú négyzetet L-alakban egymáshoz illesztünk (vagy egy 2 oldalú négyzetből levágunk egy 1 oldalút) Fel lehet-e darabolni ezt öt egybevágó részre?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]