|
[403] lorantfy | 2004-06-30 06:50:07 |
86. feladat: Oldjuk meg a köv. egyenletet a valós számok halmazán:
log3(2x+1)=log2(3x-1)
(Hegyi Lajos Emlékverseny 1999. 10.oszt.)
|
|
[404] Sirpi | 2004-07-02 11:50:23 |
Nos, mivel eddig senki nem reagált senki a példára, beírom ide a ronda, favágós megoldásomat. Ha valaki tud szebbet, szóljon.
Legyen f(x)=log3(2x+1), g(x)=log2(3x-1). Olyan x-ek kellenek, amire f(x)=g(x).
Könnyű látni, hogy az x=1 megoldás, továbbá g(x) csak pozitív x-ekre van értelmezve. Ha ezek után megmutatjuk, hogy a közös értelmezési tartományon g(x) "gyorsabban nő", mint f(x), akkor készen is vagyunk, hiszen ebben az esetben az x=1-en kívül nem létezhet más megoldás.
Egyszerú átalakítással, felhasználva a logab=logcb/logca azonosságot, kapjuk, hogy és .
Mindkét derivált pozitív x>0 esetén, továbbá . Itt mindhárom tényező nagyobb, mint 1, vagyis minden x>0-ra g'(x)>f'(x), vagyis a g(x)-f(x) függvény szigorúan monoton nő.
|
Előzmény: [403] lorantfy, 2004-06-30 06:50:07 |
|
[405] nadorp | 2004-07-02 12:36:16 |
Nem tudom,hogy szebb-e, de kicsit rövidebb.
Csináljunk az egyenletből egyenletrendszert:
log3(2x+1)=y és log2(3x-1)=y
azaz,
2x+1=3y
3x-1=2y
összeadva a két egyenletet 2x+3x=2y+3y. Mivel az f(x)=2x+3x függvény szigorúan monoton nő, ezért az előző egyenlőség csak x=y esetén teljesül, azaz
log3(2x+1)=x
2x+1=3x
A fenti egyenletnek az x=1 megoldása,és másik nincs is, mert a bal oldalon egy szigorúan monoton csökkenő függvény áll.
|
Előzmény: [404] Sirpi, 2004-07-02 11:50:23 |
|
|
|
[408] lorytibi | 2004-07-12 13:15:00 |
Matek táborban az egyik tanárom adta fel ezt a feladatot, szerintem érdemes rajta elgondolkozni:
88. feladat: 10 kalóz szerzett 100 aranyat. Egymás közt el akarják osztani, úgy hogy a legkegyetlenebb kalóz osztja szét az aranyat, és ezt megszavaztatják. Ha a kalózok lagalább fele megszavazza, elosztják az ajánlat szerint. De ha a kalózok kevesebb, mint fele szavazza meg, a legkegyetlenebb kalózt vízbe dobják a nyílt tengeren, és a második legkegyetlenebb kalóz folytatja az elosztást. A kalózok egyformán inteligensek. Nincs köztük két egyformán kegyetlen. (A felosztó kalóz szavazata is beleszámít!)
Hány aranyat adjon magának a legkegyetlenebb kalóz, hogy biztosan ne dobják vízbe?
A feladatot lehet hogy nem fogalmaztam elég pontosan, de emlékezetből írtam le. Ha van valami kérdésetek írjatok!
|
|
[409] Sirpi | 2004-07-14 11:22:59 |
Mivel sokáig nem írt megoldást senki, leírom, mire jutottam.
Nézzük meg először, mi a helyzet 2 kalózra. Nyilván aki oszt, az mind a 100-at magának adja, és a másik hiába szavaz ellene, nem tehet semmit.
Három kalóz esetén ezért, ha az osztó a legutolsónak 1 aranyat ad, akkor már maga mellé állítja, mert ha az utolsó a vízbedobásra szavaz, nem kap semmit. Ilyenkor tehát 99 0 1 jó osztás.
4 kalóz esetén 99 0 1 0 megint megteszi (a 3. kalóz ekkor az első mellett fog szavazni, mert különben 0-t kapna, ezzel megvan az 50%).
Stb... 10 kalóz esetén 96 0 1 0 1 0 1 0 1 0 megfelelő leosztás (az egyeseknek érdemes megszavazni a dolgot, különben 0-t kapnának, azaz megvan az 5 szavazat).
Sirpi
Bár, amikor az első kalóz megteszi az ajánlatát, azért nem árt, ha picit aggódik, hogy nem fogtak-e össze néhányan ellene :-)
|
Előzmény: [408] lorytibi, 2004-07-12 13:15:00 |
|
[410] Hajba Károly | 2004-07-14 15:46:41 |
Kedves Sirpi!
Ha én lennék az 1 aranyas kalóz, bizony az osztó ellen szavaznék ... és zsupsz már a vízben is van.
Szerintem 4 kalóznak meg kell adnia az átlag 10-10 aranyat, hogy mindenképpen mellette szavazzanak, s ekkor már a többi 60 az övé lehet.
HK
|
Előzmény: [409] Sirpi, 2004-07-14 11:22:59 |
|
[411] Sirpi | 2004-07-14 21:35:09 |
Még szerencse, hogy nem az a kérdés, Te mit tennél, hanem hogy a kalózok hogyan cselekednének :-). Nekik pedig, racionálisan gondolkodva, el kell fogadniuk az egy aranyat, ugyanis ellenkező esetben a következő kalóz SEMMIT nem adna nekik, tehát még rosszabbul járnának. Feltéve persze, hogy a kalózok nem játszanak össze, mindegyik csak a saját egyéni érdekeit nézi.
Tehát továbbra is fenntartom, hogy ha én kezdenék, 96 0 1 0 1 0 1 0 1 0-val indítanék.
Sirpi
|
Előzmény: [410] Hajba Károly, 2004-07-14 15:46:41 |
|