Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[397] lorantfy2004-06-28 09:19:12

Kedves Péter!

Az a gondom, hogy x=4, y=1 ránézésből megoldás. Ez megoldása is az egyenletrendszerednek, de az x=8, y=-1 pár már nem, pedig ezek is jók.

Előzmény: [396] nadorp, 2004-06-28 08:35:24
[398] nadorp2004-06-28 09:55:12

Kedves László !

Teljesen igazad van, de mire ezt észrevettem, már Te is. A megoldásom teljesen rossz, elkapkodtam és elszámoltam. De vam másik, mindjárt leírom, ha még nem késő.

Előzmény: [397] lorantfy, 2004-06-28 09:19:12
[399] Hajba Károly2004-06-28 09:57:14

Kedves László és Péter!

Első ránézésre nem tűnt olyan érdekesnek, mint menet közben kiderült. :o)

Megoldás a 85. feladatra:

(1) (x+y)2-4(x-y)=13

Rendezzük y-ra az (1) egyenletet:

y2+2(x+2)y+x2-4x-13=0

azaz

y1,2=-(x+2)\pmGYÖK(8x+17)

Akkor kapunk egész megoldást, ha a gyök alatti érték négyzetszám. S itt meglepő fordulat következik. :o) Legyen

8x+17=(2n+1)2

\forall(n>1)\inN+-re\existsx. Azaz végtelen sok megoldás létezik. (Remélem jól írtam be a leírást. :o)

Innen a képleteket (x=..., y=...) nem tudom beírni, mivel nem jó jelenleg a TeX értelmezője. :o(

x=\frac{(2n+1)^2-17}{8}

Később folytatom.

HK

Előzmény: [395] lorantfy, 2004-06-27 12:54:37
[400] nadorp2004-06-28 10:18:27

Újabb kísérlet a 85. feladatra.

Alakítsuk át az egyelet bal oldalát.

(x+y)2-4(x+y)+8y=13

(x+y-2)2=17-8y

Ha bevezetjük a z=x+y-2 jelölést, akkor (sajnos a frac nem működik)

y=(17-z2)/8 és

x=(z2+8z-1)/8.

Most már csak z-re kell kikötés. Látszik, hogy ha z páros, akkor y nem lehet egész, viszont ha z páratlan, akkor y - és így x is - egész lesz. Az egyenlet összes megoldása tehát a fenti két képlettel definiált x,y számok, ahol z tetszőleges páratlan szám.( pld x=8 y=-1 a z=5 esetén adódik)

Előzmény: [397] lorantfy, 2004-06-28 09:19:12
[401] Hajba Károly2004-06-28 10:22:24

Kedves Péter!

Így már jó. Gratulálok. Egyszerűbben oldottad meg, mint én. :o)

HK

Előzmény: [400] nadorp, 2004-06-28 10:18:27
[402] lorantfy2004-06-28 10:40:04

Szép volt Fiúk!

Gratulálok!

(2000 évi versenyfeladat volt 9.osztályosoknak) Kár, hogy a TECH nem működik rendesen!

Előzmény: [400] nadorp, 2004-06-28 10:18:27
[403] lorantfy2004-06-30 06:50:07

86. feladat: Oldjuk meg a köv. egyenletet a valós számok halmazán:

log3(2x+1)=log2(3x-1)

(Hegyi Lajos Emlékverseny 1999. 10.oszt.)

[404] Sirpi2004-07-02 11:50:23

Nos, mivel eddig senki nem reagált senki a példára, beírom ide a ronda, favágós megoldásomat. Ha valaki tud szebbet, szóljon.

Legyen f(x)=log3(2x+1), g(x)=log2(3x-1). Olyan x-ek kellenek, amire f(x)=g(x).

Könnyű látni, hogy az x=1 megoldás, továbbá g(x) csak pozitív x-ekre van értelmezve. Ha ezek után megmutatjuk, hogy a közös értelmezési tartományon g(x) "gyorsabban nő", mint f(x), akkor készen is vagyunk, hiszen ebben az esetben az x=1-en kívül nem létezhet más megoldás.

Egyszerú átalakítással, felhasználva a logab=logcb/logca azonosságot, kapjuk, hogy f(x) = \frac1{\ln 3} \cdot (2^x+1) és g(x) = \frac1{\ln 2} \cdot (3^x-1).

f'(x) = \frac 1{\ln 3} \cdot \frac 1{2^x+1} \cdot \ln 2 \cdot 2^x

g'(x) = \frac 1{\ln 2} \cdot \frac 1{3^x-1} \cdot \ln 3 \cdot 3^x

Mindkét derivált pozitív x>0 esetén, továbbá \frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{\ln^2 3}{\ln^2 2} \cdot \frac{3^x}{3^x - 1} \cdot \frac{2^x}{2^x+1}. Itt mindhárom tényező nagyobb, mint 1, vagyis minden x>0-ra g'(x)>f'(x), vagyis a g(x)-f(x) függvény szigorúan monoton nő.

Előzmény: [403] lorantfy, 2004-06-30 06:50:07
[405] nadorp2004-07-02 12:36:16

Nem tudom,hogy szebb-e, de kicsit rövidebb.

Csináljunk az egyenletből egyenletrendszert:

log3(2x+1)=y és log2(3x-1)=y

azaz,

2x+1=3y

3x-1=2y

összeadva a két egyenletet 2x+3x=2y+3y. Mivel az f(x)=2x+3x függvény szigorúan monoton nő, ezért az előző egyenlőség csak x=y esetén teljesül, azaz

log3(2x+1)=x

2x+1=3x

\left(\frac23\right)^x+\left(\frac13\right)^x=1

A fenti egyenletnek az x=1 megoldása,és másik nincs is, mert a bal oldalon egy szigorúan monoton csökkenő függvény áll.

Előzmény: [404] Sirpi, 2004-07-02 11:50:23
[406] Sirpi2004-07-02 14:25:59

Szebb.

Előzmény: [405] nadorp, 2004-07-02 12:36:16

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]