|
[398] nadorp | 2004-06-28 09:55:12 |
Kedves László !
Teljesen igazad van, de mire ezt észrevettem, már Te is. A megoldásom teljesen rossz, elkapkodtam és elszámoltam. De vam másik, mindjárt leírom, ha még nem késő.
|
Előzmény: [397] lorantfy, 2004-06-28 09:19:12 |
|
[399] Hajba Károly | 2004-06-28 09:57:14 |
Kedves László és Péter!
Első ránézésre nem tűnt olyan érdekesnek, mint menet közben kiderült. :o)
Megoldás a 85. feladatra:
(1) (x+y)2-4(x-y)=13
Rendezzük y-ra az (1) egyenletet:
y2+2(x+2)y+x2-4x-13=0
azaz
y1,2=-(x+2)GYÖK(8x+17)
Akkor kapunk egész megoldást, ha a gyök alatti érték négyzetszám. S itt meglepő fordulat következik. :o) Legyen
8x+17=(2n+1)2
(n>1)N+-rex. Azaz végtelen sok megoldás létezik. (Remélem jól írtam be a leírást. :o)
Innen a képleteket (x=..., y=...) nem tudom beírni, mivel nem jó jelenleg a TeX értelmezője. :o(
Később folytatom.
HK
|
Előzmény: [395] lorantfy, 2004-06-27 12:54:37 |
|
[400] nadorp | 2004-06-28 10:18:27 |
Újabb kísérlet a 85. feladatra.
Alakítsuk át az egyelet bal oldalát.
(x+y)2-4(x+y)+8y=13
(x+y-2)2=17-8y
Ha bevezetjük a z=x+y-2 jelölést, akkor (sajnos a frac nem működik)
y=(17-z2)/8 és
x=(z2+8z-1)/8.
Most már csak z-re kell kikötés. Látszik, hogy ha z páros, akkor y nem lehet egész, viszont ha z páratlan, akkor y - és így x is - egész lesz. Az egyenlet összes megoldása tehát a fenti két képlettel definiált x,y számok, ahol z tetszőleges páratlan szám.( pld x=8 y=-1 a z=5 esetén adódik)
|
Előzmény: [397] lorantfy, 2004-06-28 09:19:12 |
|
|
|
[403] lorantfy | 2004-06-30 06:50:07 |
86. feladat: Oldjuk meg a köv. egyenletet a valós számok halmazán:
log3(2x+1)=log2(3x-1)
(Hegyi Lajos Emlékverseny 1999. 10.oszt.)
|
|
[404] Sirpi | 2004-07-02 11:50:23 |
Nos, mivel eddig senki nem reagált senki a példára, beírom ide a ronda, favágós megoldásomat. Ha valaki tud szebbet, szóljon.
Legyen f(x)=log3(2x+1), g(x)=log2(3x-1). Olyan x-ek kellenek, amire f(x)=g(x).
Könnyű látni, hogy az x=1 megoldás, továbbá g(x) csak pozitív x-ekre van értelmezve. Ha ezek után megmutatjuk, hogy a közös értelmezési tartományon g(x) "gyorsabban nő", mint f(x), akkor készen is vagyunk, hiszen ebben az esetben az x=1-en kívül nem létezhet más megoldás.
Egyszerú átalakítással, felhasználva a logab=logcb/logca azonosságot, kapjuk, hogy és .
Mindkét derivált pozitív x>0 esetén, továbbá . Itt mindhárom tényező nagyobb, mint 1, vagyis minden x>0-ra g'(x)>f'(x), vagyis a g(x)-f(x) függvény szigorúan monoton nő.
|
Előzmény: [403] lorantfy, 2004-06-30 06:50:07 |
|
[405] nadorp | 2004-07-02 12:36:16 |
Nem tudom,hogy szebb-e, de kicsit rövidebb.
Csináljunk az egyenletből egyenletrendszert:
log3(2x+1)=y és log2(3x-1)=y
azaz,
2x+1=3y
3x-1=2y
összeadva a két egyenletet 2x+3x=2y+3y. Mivel az f(x)=2x+3x függvény szigorúan monoton nő, ezért az előző egyenlőség csak x=y esetén teljesül, azaz
log3(2x+1)=x
2x+1=3x
A fenti egyenletnek az x=1 megoldása,és másik nincs is, mert a bal oldalon egy szigorúan monoton csökkenő függvény áll.
|
Előzmény: [404] Sirpi, 2004-07-02 11:50:23 |
|
|