Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3698] Fálesz Mihály

2013-02-21 18:45:00

Bocs, a [3686]-ra akartam regálni, a [3688] elkerülte a figyelmemet.

A [3688]/a esetében valóban az a legegyszerűbb, ha új változókat vezetünk be, és ettől kezdve nincs háromszög, csak nemnegatív számok. (Btw, lehet egy lépéssel rövidebben, nincs szükség az xyz-vel való osztásra.)

A [3688]/b a (Neuberg-)Pedoe egyenlőtlenség egy változata, ami a KöMaL-ban is szerepelt (A. 468.). Ha két háromszög oldalai a,b,c, illetve A,B,C, a területük t, illetve T, akkor

a²(B²+C²-A²)+b²(C²+A²-B²)+c²(A²+B²-C²) $\ge$ 16tT.

Egyenlőség akkor van, ha a két háromszög hasonló.

Abban a háromszögben, aminek az oldalai $A=\frac{\sqrt{q+r}}2$ , $B=\frac{\sqrt{r+p}}2$ és $C=\frac{\sqrt{p+q}}2$ , azaz B²+C²-A²=p, C²+A²-B²=q és A²+B²-C²=r, a terület éppen $T=\frac{\sqrt{pq+qr+rp}}4$ .

(Mivel nem csak triviális esetekben van egyenlőség, ez elég nehézzé teszi a feladatot.)

* * *

Az érdekesség kérdéséről annyit, hogy sokezer háromváltozós szimmetrikus vagy ciklikus egyenlőtlenséget lehet találni az interneten, és ezeknek lényegében semmi üzenete vagy értelme nincsen. Egy időben voltak ilyenek az olimpián is, de miután egy csomó diák ráállt arra, hogy ilyeneket gyakoroljon tömegével, a háromváltozós egyenlőtlenségek háttérbe szorultak.

Előzmény: [3691] w, 2013-02-21 15:26:54

[3692] w

2013-02-21 22:08:17

Köszönöm a hozzászólást, a Pedoe-egyenlőtlenséget nem ismertem, csak a Weitzenböck-öt és a Hadwiger-Finsler-t.

Egyetértek, a háromváltozós egyenlőtlenségek nem túl izgalmasak, leginkább a (még) több változós egyenlőtlenségekre való gyakorlásra vagy módszerek megismerésére. (Manapság még a KöMaL A-ban néha szerepel ilyen, pl. A.571, de mint láttuk, azt is végig lehet tolni akár AM-GM-mel is :-). )

Ha már egyenlőtlenségeknél tartunk, mutatok sajátot is (szokásos jelölésekkel):

$\frac{r}R\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2}\le\sum_{cyc}\Big(\frac{a\cdot sin\alpha}2\Big)^2$ .

Nem valami szép, sok minden bele van erőltetve, de azért van benne némi gondolkodás is.

Ezenkívül kitűznék egy nehezebb feladatot is, aki tud, mondjon megoldást.

Előzmény: [3698] Fálesz Mihály, 2013-02-21 18:45:00

[3693] sakkmath	2013-02-22 00:03:20
A hozzászólásod végén említett A. 536. feladat két megoldással is szerepel a Fórumon. Lásd Tibixe megoldását itt: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról - [657]
Előzmény: [3692] w, 2013-02-21 22:08:17

[3694] sakkmath	2013-02-23 15:16:28
A saját egyenlőtlenséged két oldala mértékegység szempontjából nem egyezik. Valamit elírhattál.
Előzmény: [3692] w, 2013-02-21 22:08:17

[3695] w

2013-02-23 16:53:45

Igen, el van bonyolítva. Helyette inkább:

$\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2}\le\frac{\sqrt{a^4+b^4+c^4}}{4r}$ .

Előzmény: [3694] sakkmath, 2013-02-23 15:16:28

[3696] sakkmath	2013-02-28 14:45:49
Használjuk fel Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről című cikkének eredményeit: először az rr_a = (s-b)(s-c), rr_b = (s-c)(s-a), rr_c = (s-a)(s-b) összefüggéseket, később pedig a jól ismert, következő helyettesítéseket: s-a = x, s-b = y, s-c = z, illetve: a = y+z, b = z+x, c = x+y .

Előzmény: [3695] w, 2013-02-23 16:53:45

[3697] w

2013-02-28 20:48:10

Kicsit elbonyolítottad*: az

16(((s-b)(s-c))²+((s-c)(s-a))²+((s-a)(s-b))²) $\le$ a⁴+b⁴+c⁴

egyenlőtlenség AM-GM miatt nyilván igaz: pl.

$((s-b)(s-c))^2\le \Big(\frac{s-b+s-c}2\Big)^4$ , ahol s-b+s-c=a. Innen egyenlőség esete is adódik.

*Persze ízlés kérdése, hogy teljes négyzetes alakra hozod-e.

Előzmény: [3696] sakkmath, 2013-02-28 14:45:49

[3699] w	2013-03-13 21:21:57
Lehet a feladatot általánosítani, lényegében ugyanazok a mozzanatok lesznek benne, mint az A.561-ben.
Előzmény: [3670] w, 2013-02-05 16:59:02

[3700] gyula60

2013-04-06 22:05:08

Szeretnék egy számelméleti problémát ismertetni:

Van-e kapcsolat a következő $\frac{1}{3\root3\of36-6\root3\of6+1}$ tört nevezőjének gyöktelenítése és a 36x³+6y(y²-3xz)+z³=1 háromismeretlenes diofantoszi egyenlet megoldása között, ha tudjuk, hogy a tört nevezőjének együtthatói adják az egyenlet egyik megoldását?

[3701] gyula60	2013-04-06 23:09:43
Ha segít valamit az, hogy a számítógépem megnézte az összes 4^5k+(5k)⁴, (k=1,2,...,109) alakú számokat és false választ adott. Ebből talán felállítható egy sejtés, de a válasz nálam is meghaladja jelenlegi tudásomat.
Előzmény: [3646] w, 2012-12-08 20:48:35

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?