Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[347] lorantfy

2004-04-27 12:33:01

Az 59. feladat így szólt: Oldjuk meg a

$log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+4y+6}$

egyenletet, ha (x,y) $\in$ R² !

Az 59. feladat megoldása: A logaritmus „hasában” álló A kifejezés:

$A=cos^2xy+\frac{1}{cos^2xy} \geq 2$

így log₂A $\geq$ 1.

A jobb oldali B tört nevezője: y²+4y+6=(y+2)²+2 $\geq$ 2, így B $\leq$ 1.

A két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha log₂A=B=1. tehát y = -2. A = 2-ből cos²xy=1. cos²(-2x)=cos²(2x)=1, amiből cos2x=1 vagy cos2x=-1, 2x=k $\pi$ .

Tehát $x=k \frac{\pi}{2}$ , ahol k $\in$ Z.

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48

[348] nadorp

2004-04-27 15:42:14

Megoldás a 77. feladatra.

Legyen legelő középppontja O, sugara 1. A karó helye legyen P, a kötél hossza r ( lásd az ábrát). A P középpontú r sugarú kör messe a legelőt a Q és R pontokban.

Legyen RPQ $\angle$ = $\alpha$ . Nyilván $\alpha$ tompaszög, hiszen ellenkező esetben a két körív közti terület nagyobb a legelő felénél és az is látszik, hogy $r=2\cos\frac{\alpha}2$ . A két körív közti terület egy körcikkre és két egybevágó körszeletre bontható, a területre:

$T=\frac{r^2\alpha}2+2\left(\frac{\pi-\alpha}2-\frac{\sin(\pi-\alpha)}2\right)=\frac{r^2\alpha}2+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2$

Mivel $r^2=4\cos^2\frac{\alpha}2=2(1+\cos\alpha)$ , ezért

$\alpha(1+\cos\alpha)+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2$

$\sin\alpha-\alpha\cos\alpha=\frac{\pi}2$

Ezt az egyenletet csak közelítőleg lehet megoldani, $\alpha$ =109,19^o körül van.Innen r=1,16 egység.

[349] lorantfy

2004-04-27 18:38:18

Kedves Károly!

Én egy ideig próbálgattam a hurokkal való összekötést, de nem jött össze. Szivesen látnám a megoldást!

Előzmény: [345] Hajba Károly, 2004-04-27 12:26:17

[350] Kós Géza	2004-04-27 18:57:29
Még ne, hadd próbálkozzak még egyszer... :-)
Előzmény: [349] lorantfy, 2004-04-27 18:38:18

[351] Kós Géza	2004-05-11 15:15:24
Végül, sok-sok próbálkozás után találtam egy megoldást a 12. feladatra: (A két kis kanyart azért rajzoltam bele, hogy egyértelmű legyen, hogy merre mennek a szakaszok.)

Előzmény: [60] Hajba Károly, 2003-11-13 00:31:47

[352] Hajba Károly	2004-05-11 15:22:35
Kedves Géza! Találtál egy második megoldást! Mindenképpen megérdemled a túró rudit. :o) S íme az én változatom, melyet anno az 1. gimiben fél év firkálgatás után oldottam meg:

Előzmény: [351] Kós Géza, 2004-05-11 15:15:24

[353] lorantfy

2004-05-11 22:03:57

Kedves Géza és Károly!

Gratulálok a szép megoldásokhoz! Most sajnálom, hogy nem volt elég kitartásom.

Előzmény: [352] Hajba Károly, 2004-05-11 15:22:35

[354] skg

2004-05-13 19:49:14

Hi!

Régebben beszéltetek itt a bűvös kockáról (rubik) azt szeretném megkérdezni, hogy tudtok-e olyan lapot, ahol van valami róla?

[355] joe

2004-05-14 18:49:38

Mint új fórumos, egy feladattal kezdeném:

78. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és a B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú "szót". Jelölje pn azon n hosszúságú "szavak" számát, melyek nem tartalmaznak sem négy egymást követő A betűt (AAAA csoportot), sem három egymást követő B betűt (BBB csoportot). Határozzuk meg a következő kifejezés értékét

[356] joe

2004-05-15 19:16:15

A 78. feladathoz hasonló, de talán egy kicsit érdekesebb és elegánsabb megoldású a következő:

79. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú szót. Osszuk e szavakat két halmazba, P_n-be és N_n-be aszerint, hogy egy adott szóban a BA betűcsoport előfordulásainak száma páros vagy páratlan (a nullát páros számnak tekintjük). Például a BABBBBA szó és az AAAAAAB szó a P₇ halmazba, az AABBABB szó és a BABAABA szó az N₇ halmazba tartozik. Határozzuk meg, mely n számokra van a P_n és az N_n halmaznak ugyanannyi eleme.

Hogy őszinte legyek, a 78. feladat megoldása nem túl szép, a 79.-re azonban ismerek egy ritka érdekes bizonyítást, ami eltér a "hivatalos" megoldástól és szerintem sokkal szebb.

Ha valaki tudna valamit mondani az ilyen feladatok eredetéről és mélyebb jelentőségéről, azt megköszönném.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?