Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[312] lorantfy2004-04-15 14:41:17

Kedves Károly!

Ügyes ki példa ez, csak kevés az időm.

Megoldások száma a 70. feladatnál:

a) esetben 10=4+2+2+2. Nézzük először a 4-es sorok és oszlopok helyzetét. Bármelyik sor bármelyik oszloppal párosítható. Ez 16 lehetőséget jelent, de minden elrendezésnél még 3 korong helyét variálhatjuk. A megmaradó 3x3-as négyzetrácsban kell elhelyeznünk a 3 korongot, úgy, hogy minden sorban és oszlopban csak 1 lehet. Ez 6 féleképpen lehetséges. Így a megoldások száma 6x16=96.

b) esetben, csak a 10=3+3+3+1 felbontás lehetséges, így azokat a megoldásokat könnyen összeszámolhatjuk, ahol a sorban és oszlopban egyedülálló ugyanaz a korong, ami bármelyik mezőben állhat, ez 16 megoldást jelent.

De sajnos vannak olyan esetek is mikor a sorban egyedülálló koron egy oszlopban álló 3-as része és az oszlopban egyedül alló egy sorban álló 3-as része. Ezek az egyedülálló korongok bármelyik sor és oszlop párban állhatnak, ha jól gondolom akkor ez is 16 eset. Összesen 32 megoldás.

Azért jó lenne, ha utánnagondolnátok, mert ez nagyon kapkodva született! Vannak asszimmetrikus megoldások.

Előzmény: [311] Hajba Károly, 2004-04-15 13:05:26
[313] nadorp2004-04-15 14:42:46

Sziasztok !

Egyelőre csak a konkrét esettel foglalkoztam, a szimmetrikus,elforgatott megoldásokat különbözőnek tekintettem.

a) Legyen minden sorban és oszlopban páros sok korong. Ez csak úgy lehet, ha 2 sorban 4 korong és 1 sorban 2 van vagy 1 sorban 4 korong és háromban kettő. Az első eset nem fordulhat elő, mert ekkor két oszlopban is három korong lenne.Ezért marad a második lehetőség, de ekkor ugyanígy egy oszlopban 4 korong és 3 oszlopban 2 korong van. Válasszunk ki egy sort és egy oszlopot, ahol 4 korong lesz. Ezt megtehetjük 16-féleképpen.Tekintsünk egy, a kiválasztott sortól különböző sort. Ide 3 helyre tehetünk korongot.Ezek után még egy, az előzőektől különböző sort tekintve már csak két lehetőség közül választhatunk.Így az összes esetek száma 16.3.2=96.

b)Legyen minden sorban és oszlopban páratlan sok korong. Ez csak úgy lehet, ha 3 sorban és oszlopban 3 korong van, és egy sorban és egy oszlopban egy korong van.Válasszunk ki egy sort és egy oszlopot, ahol 1 korong lesz. Két eset lehetséges. Ha a kiválasztott sorban és oszlopban összesen csak 1 korong van, akkor a maradék összes, nem kizárt 9 mezőre kerül korong. Ez összesen 16 eset.Ha a kiválasztott sorban és oszlopban összesen 2 korong van, akkor könnyen látható,hogy a két korong által meghatározott sorok és oszlopok másik két kereszteződésében nem lehet korong.Így 8 mezőre kell 8 korongot elhelyezni, azaz a kiválasztott 2 korong egyértelműen meghatározza a többi helyzetét. Az esetek száma annyi, ahányféleképpen el lehet helyezni két bástyát egy 4x4 sakktáblán úgy, hogy ne üssék egymást.Egy bástyához 9-féleképpen lehet másikat feltenni, ez összesen 9.16=144 eset, de mindegyiket kétszer számoltuk. Azt kaptuk tehát, hogy páratlan esetek száma 16+72=88.

Remélem nem bonyolítottam ( és nem számoltam) el.

N.P.

Előzmény: [310] lorantfy, 2004-04-15 12:54:58
[314] nadorp2004-04-15 14:45:01

Kedves László !

Most láttam, hogy Te is válaszoltál. A páratlan esetben különbözünk, majd én átgondolom a megoldást.

N.P.

[315] lorantfy2004-04-15 22:24:35

Kedves NádorP!

A b) rész 2. felében Neked van igazad. Én elkapkodtam. Nem elég a sort és az oszlopot kiválasztani... A bástyás példa szemléletesen mutatja, hogy itt még 72 megoldás van, tehát a páratlan esetben összesen 88.

Előzmény: [313] nadorp, 2004-04-15 14:42:46
[316] Csimby2004-04-16 21:46:51

71.feladat Színezzük a sakk tábla mezőit tetszőleges módon két különböző színnel. Bizonyítsuk be, hogy az egyik színre színezett mezők bejárhatók egy királynővel (átlósan, vízszintesen és függőlegesen tud mozogni), úgy, hogy a királynő áthaladhat a másik színre színezett mezők felett, de azokon nem állhat meg! Egy mezőn többször is áthaladhat.

[317] lorantfy2004-04-17 16:46:46

72. feladat: Számozzuk meg a 8x8-as sakktábbla mezőit balról jobbra, fenntről lefelé.

Kiválasztunk 8 számot úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból csak egy számot választhatunk.

Mennyi a 8 szám összegének minimuma és maximuma?

[318] Suhanc2004-04-17 22:12:21

Kedves László!

Azt hiszem, van megoldásom a feladatodra... remélem, nem kapkodtam el...

Bárhogyan is választjuk ki a 8 számot /a feladat feltételeinek megfelelően/, mindig azonos lesz a számok összege. Ez az összeg 260.

Jelöljük ugyanis X-szel, ha egy számot kiválasztottunk... Helyezzük el az X-eket, az első oszlopban. Innen az összes kiválasztás elértő, ha a sorokban lévő X-eket /minden sorba 1 van/ 0;1;2;...6;7 mezővel jobbra toltuk, hisz ekkor minden oszlopban pontosan 1 X-lesz. Azaz, minden lehetséges kiválasztásnál az számok összeg kiszámolható úgy, hogy az (1+9+17+25+33+41+49+57)-hez még (0+1+2+3+4+5+6+7)-et adunk. Így tehát a számok összege valóban minden esetben 260 lesz.

[319] Hajba Károly2004-04-18 14:03:32

Kedves László és Suhanc!

Ismerek egy ehhez hasonló kis feladatot én is. Íme a 73. feladat:

Adott egy nagy táblázat, számokkal kitöltve. Vesszük minden sorból a legkisebbet, ezek közül a legnagyobbikat megjelöljük pirossal. Vesszük minden oszlopból a legnagyobbat, ezek legkisebbikét megjelöljük kékkel. Mit mondhatunk a két megjelölt szám viszonyáról?

HK

[320] lorantfy2004-04-18 18:35:16

Kedves Suhanc!

Kösz az egyszerű megoldást! Az összeg tényleg mindig 260 lesz!

Én úgy csináltam, hogy legyen a sorok száma s és számozzunk 0-tól 7ig és legyen az oszlopok száma o, itt 1-től 8-ig számozunk. Ekkor a mezőre írt számok 8s+o alakban írhatók. Mivel minden oszlopból és sorból kell választanunk, minden s és o érték elő fog fordulni, így

S=(0+1+2+3+4+5+6+7)8+(1+2+3+4+5+6+7+8)=260 lesz.

Ha a mezők számozását 0-val kezdjük és a számokat 8-as számrendszerbe írjuk át, akkor mindkét helyiértéken minden számnak elő kell fordulnia. Igy a számok összege:

(0+1+2+3+4+5+6+7)(8+1)=252

De minden számot meg kell növelnünk 1-el. Mivel 8 számot választottunk ki, az összeg: 252+8=260.

nxn-es tábla esetén n alapú számrendszerbe írhatjuk át...

Előzmény: [318] Suhanc, 2004-04-17 22:12:21
[321] lorantfy2004-04-19 00:18:28

Kedves Csimbi!

Remélem jól értem a feladatot és egy adott szinű mezőre a bejáráskor többször is ráléphetünk.

71. feladat megoldása: Színezzük ki a sakktáblánkat két színnel, pl. piros és kék és tegyük fel, hogy mondjuk a piros színű mezők nem járhatók be a királynővel a kívánt módon.

Ez azt jelenti, hogy van legalább egy piros mező, amely nem érhető el másik piros mezőről sem vizszintes, sem függőleges sorból, sem átlósan. Tehát ezen piros mező sorában, oszlopában és átlóiban csak kék mezők állhatnak.

Ez viszont azt jelenti, hogy ezekből a kék mezőkből a tábla minden sorában és oszlopában álló kék mező elérhető, hiszen nincs olyan sor vagy oszlop melyben ne lenne legalább egy kék mező. ( Az ábrán üresen hagyott mezők lehetnek kékek vagy pirosak.)

Előzmény: [316] Csimby, 2004-04-16 21:46:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]