[277] nadorp | 2004-02-27 11:58:44 |
A Nehezebb matamatikai problémák között Sirpi [75] kitűzött egy példát. Ennek egyik "mellékterméke" az alábbi állítás.
61.feladat: Legyenek m,n tetszőleges pozitív egészek és tekintsünk m+n-1 darab tetszőleges valós számot. Képezzük az összes lehetséges módon n darab szomszédos szám összegét. Jelölje ezen összegek összegét Sn. Definiáljuk hasonlóképpen Sm-et is. Bizonyítsuk be, hogy Sn=Sm
|
|
[278] lorantfy | 2004-02-28 15:02:24 |
61. feladat megoldása: A pozitív egészekből álló sorozat: a1,a2,a3,...am,...an,...am+n-1
Nevezzük az i db egymásutáni tagból álló számsort „i-lánc”-nak. Nekünk m és n láncokat kell összegeznünk. Legyen m<n. Írjuk az összegzendő láncokat 1-el eltolva egymás alá, külön az m és külön az n-láncokat. Így azonos tagok kerülnek egymás alá.
Látható, hogy m-láncból (m+n-1)-m+1= n db van, hasonlóan n-láncból m db.
Az Sn összegben m sor van tehát az összeadott azonos tagok együtthatói 1-től m-ig növekednek a1-től am-ig. Ezután an-ig minden együttható m, majd egyesével csökkennek az együtthatók, am+n-1 együtthatója 1 lesz.
Az Sm összegben n(>m) sor van, de az m-láncok hossza m, így itt is csak m db azonos tag kerülhet egymás alá, hiszen minden m-lánc 1-el el van tolva és m számú eltolás után az első lánc „elfogy”. Így az egymás alá kerülő azonos tagokat összeadva az együtthatók pontosan úgy alakulnak mint az Sn összegben.
Tehát Sn=Sm.
|
|
Előzmény: [277] nadorp, 2004-02-27 11:58:44 |
|
[279] nadorp | 2004-03-02 08:26:12 |
Kedves László !
Gratula,nagyon elegáns a megoldás. Hetedikes fiam hozta a következő példát.
62.feladat: Az ABCD téglalapban AB=5,BC=1. Az AB oldal olyan belső pontja E, melyre AE:EB=2:3. Határozzuk meg szögfüggvények használata nélkül a CED szöget.
|
|
|
|
[282] pragmaP | 2004-03-02 18:13:30 |
62. feladat megoldása
Sajnálom, hogy már volt, de azért, ha már lerajzoltam, elküldöm.
A Pithagorasz-tételből ED= és EC==. Tükrözzük AED háromszöget E pontra! Így ED'=. Ha be tudom bizonyítani, hogy D'C is , akkor ED'C egy egyenlőszárú derékszögű háromszög, ezért 45-°osak az alapon fekvő szögei. Ebből =135°.
A fentinek bizonyítása: BP=1, ha a D'P-t AB-vel párhuzamosan húztam. EA'=2, így A'B=1, ezért D'C=
|
|
Előzmény: [280] lorantfy, 2004-03-02 11:33:04 |
|
[283] lorantfy | 2004-03-02 20:11:49 |
Kedves Tamás!
Örülök, hogy beírtad a megoldást – én nem mondtam, hogy nem kell megoldani, csak, hogy emlékeztet egy másik példára. Különösen a jó ábrákat imádom – és ez is az!
Ha jól megnézed, kiderül, hogy a szög megállapításához nem szükséges kiszámolni az átfogókat, elegendő az 1-2 befogójú derékszügű -ek egybevágóságára hivatkozni. Ezért is szeretik ezt a példát és variációit a 7. osztályos versenyfeladatokba berakni.
|
Előzmény: [282] pragmaP, 2004-03-02 18:13:30 |
|
[284] pragmaP | 2004-03-03 19:46:57 |
Kedves László!
Köszönöm, hogy felhívtad a figyelmem az elegánsabb megoldásra. Én a és a arányából jöttem rá, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszöget kell valahol találnom.
|
|
[285] Gyuri | 2004-03-05 12:16:51 |
Kedves Csimby!
A 60. feladathoz irt kerdesedre a valasz: Lehet jobbat talalni, megpedig 21/36 a legnagyobb nyeresi esely Andris szamara. Hogyan lehet bizonyitani? Most nincs nalam, de egy rovidke C progival vegigneztem a lehetosegeket. Ha erdekel, elkuldhetem emailben.
Udv: Gyuri
|
Előzmény: [275] Csimby, 2004-02-26 21:13:06 |
|
[286] Csimby | 2004-03-05 13:17:08 |
Kedves Gyuri!
Megköszönném!
|
|