Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[182] Pach Péter Pál2003-12-08 20:18:19

Két újabb feladat:

41. feladat

Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a5+b5+c5+d5+e5-5abcde is osztható p-vel.

42. feladat

Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy

\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}+\sum_{0<y<\frac{P}{2}}{\left[\frac{Qy}{P}\right]}=\frac{(P-1)(Q-1)}{4}.

[183] lorantfy2003-12-09 01:07:25

Kedves Éva!

Egy újabb próbálkozás:

34.b feladat

n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.

1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.

2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.

Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:

1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)

2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.

Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2n. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.

Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:

k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100

Előzmény: [181] Ratkó Éva, 2003-12-08 17:17:54
[184] lorantfy2003-12-09 12:37:33

Pontosítás az előzőhöz:

A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)

Előzmény: [183] lorantfy, 2003-12-09 01:07:25
[185] Kós Géza2003-12-10 13:16:34

Egy kis érdekesség.

Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.

a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p1-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.

b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p2-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.

34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p1=2p2.

(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)

Előzmény: [138] Ratkó Éva, 2003-12-03 14:33:47
[186] lorantfy2003-12-10 13:41:47

Kedves Fórumosok!

Reméltem, hogy valakinek megtetszik ez a bináris fa, de még nem késő! Felírtam a csúcsokhoz az eladások számát. A táblázatban az első oszlopban az n értéke, a következő oszlopokban az áll, hogy adott n esetén hány esetben volt 0,1,2,3,4,5 füzet eladás.

n 0 1 2 3 4 5
1 1 1  
2 1 1 2
3 1 1 3 3
4 1 1 4 4 6
5 1 1 5 5 10 10

Ezek a számsorok mindenkinek ismerősek (Pascal hrsz. Binomiális tétel) A sorrend kicsit más. Remélhetőleg valaki be is bizonyítja, én most csak ebből a pár értékből általánosítok: Legyen  \frac n2 egész része: m. Ekkor a 2n esetből  \binom nm esetben fogunk n db füzetet eladni k=0 befektettéssel. Következik k értékének 1-el való növelése. Ekkor ennek a fának a jobb oldali (fél) részfájára kell áttérni.

Előzmény: [184] lorantfy, 2003-12-09 12:37:33
[187] Hajba Károly2003-12-11 01:03:40

35. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

[188] Hajba Károly2003-12-11 01:06:29

Elnézést, pontosítok:

43. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

Előzmény: [187] Hajba Károly, 2003-12-11 01:03:40
[189] lorantfy2003-12-11 22:40:16

Megoldás a 43. feladatra:

A háromszög körülírt körének O középpontja csak akkor van a háromszög kerületén, ha az derékszögű. Ekkor viszont az M magasságpont a derékszögű csúcsba esik. Így OM = R= AB/2, OM csak a rövidebbik befogóval egyezhet meg. Tehát a háromszög szögei 30-60-90 fok. Szerkesztése: 2OM=AB fölé Thálesz kört, aztán A-ból OM=R-el körözve kimetszük a C pontot. (A feladat szövegében ez áll:„tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is” - ez csak annyit jelent, hogy azt még nem tudjuk, hogy a másik végpontja is (De mostmár tudjuk!), nem pedig azt, hogy a másik végpontja nem lehet a háromszög pontja)

Euler egyenes: A háromszög O, S, M ponjai erre az egyenesre esnek. Ráadásul MS=2OS.

Aki kíváncsi az Euler egyenes nevezetes pontjai és a beírt kör K középpontjának kapcsolatára, nézze meg a „Nehezebb matematikai problémák” témában Rácz Béla 7. feladatát.

Előzmény: [188] Hajba Károly, 2003-12-11 01:06:29
[190] Hajba Károly2003-12-12 00:23:33

Kedves László!

Gratula!

HK

Előzmény: [189] lorantfy, 2003-12-11 22:40:16
[191] lorantfy2003-12-12 00:48:45

Kedves Fórumosok!

Egy rövid folytatásra futotta ma az időmből, remélve, hogy lesz aki bekapcsolódik.

Ha k értékét 1-el növeljük akkor azon esetekben, ahol eddig 0 db-ot adtunk el, most 1-et fogunk, ahol eddig 1-et, most 2 db-ot adunk el... Az esetek száma 1-el nagyobb db-számra tolódik el. n= 5 esetében ezt mutatja a táblázat. Az 5-ös eladás oszlopában összegződnek a jobbra tolódó értékek. Jobb oldalon annak a valószínüsége \phi, hogy minden (5db) könyvet eladtunk. (Az esetek számával (25=32) osztottam az 5 db-os eladások számát.)Annak valószinüsége, hogy a néni valamikor nem tudott visszaadni 1-\phi, hiszen akkor nem adott el minden könyvet. Tehát csak ezt kell n-re megfogalmazni és megvan Géza 34.c) feladatának a) része!

k 0 1 2 3 4 5 \phi
0 1 1 5 5 10 10 \frac{10}{32}
1 0 1 1 5 5 20 \frac{20}{32}
2 0 0 1 1 5 25 \frac{25}{32}
3 0 0 0 1 1 30 \frac{30}{32}
4 0 0 0 0 1 31 \frac{31}{32}
5 0 0 0 0 0 32 1
Előzmény: [186] lorantfy, 2003-12-10 13:41:47

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]