Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[122] Gyuri2003-12-01 14:12:49

Kedves Laszlo!

Ismet akadekoskodnek a 25. feladatra tett megjegyzese kapcsan. Az egyenletrendszer szimmetriaja meg nem biztositek a megoldas szimmetriajara. Legyen

f(x)=\frac{1-x-2x^2}{1+x^2}

ekkor az

f(x)=y,f(y)=z,f(z)=x

egyenletrendszernek megoldasa a (0,1,-1) szamharmas. De megoldas az

x=y=z=\frac{kif}6-\frac{4}{3}\frac1{kif}-\frac23\approx0.3532\quad ahol\quad kif=\root3\of{188+12\cdot\sqrt{249}}

szamharmas is. Udv: Gyuri

Előzmény: [119] lorantfy, 2003-12-01 09:05:35
[123] Gyuri2003-12-01 14:32:15

Ha mar ugyis Erdekes matekfeladatok a topic, akkor talan megfelelo helyre irom le a kovetkezot.

30. feladat: Ket teljesen intelligens, es egymas eme tulajdonsagat ismero ember beszelgetnek. Egy harmadik szemely meg a tarsalgasuk elott elhelyezett ket cedulat a homlokukon. Mindket emberunk csak a masik fejen levo cedulat latja. A cedulak egyiken ket pozitiv egesz szam osszege, a masikan ugyanannak a ket szamnak a szorzata szerepel. Szerencsere annyit legalabb elarult nekik a harmadik szemely, hogy melyikuk fejen van az osszeg illetve a szorzat. Ezek utan a kovetkezokeppen tarsalognak.

-Nem tudom, mi a ket szam.

-Nem tudom, mi a ket szam.

-Nem tudom, mi a ket szam.

-Nem tudom, mi a ket szam.

-Mar tudom, mi a ket szam.

-Mar en is tudom, mi a ket szam.

Termeszetesen mas informacio nem jut el hozzajuk. Pl. nem allnak tukor elott, nem irjak le egymas szamait papirra, nem irnak emailt, stb.

Remelem mar mindenki tudja, mi a ket szam!

Udv: Gyuri

[124] Gyuri2003-12-01 16:52:49

28. feladat megoldasa

Tekintsuk a lenti abrat. Az AMB ill. az ACB \Delta-ek B-hez tartozo magassaga ill. alapegyenese kozos. Hasonloan szemlelve az AMD es ACD \Delta-eket:

\frac{T_{ACB}}{T_{AMB}}=\frac{AC}{AM}=\frac{T_{ACD}}{T_{AMD}}

Az AB=AD=a jelolessel:

T=T_{ACB}+T_{ACD}=\frac{AC}{AM}\cdot(T_{AMB}+T_{AMD})=\frac{AC}{AM}\cdot T_{ABD}=\frac{AC}{AM}\cdot \frac{a^2\sin\alpha}2

A 'gamma'-val jelolt szogek valoban egyenloek, hisz azonos hosszusagu hurokhoz tartozo keruleti szogek (megfelelo iven). Igy (az implikacio jele nem akar mukodni):

AMD_{\Delta}\sim ADC_{\Delta}\to \frac{AM}{AD}=\frac{AD}{AC}\to a^2=AM\cdot AC

Az a2-re kapott erteket a T-re levezetett kifejezesbe irva a bizanyitando egyenloseget kapjuk.

[125] jenei.attila2003-12-01 16:59:22

Kedves László!

Csatlakozok Gyuri megjegyzéséhez, hozzátéve, hogy az egyenletrendszer szimmetriáját nyilván úgy értetted, hogy adott gyökök mellett ezek bizonyos permutációi is megoldást adnak. A feladatban jól látszik, hogy összesen három (az identitást is belevéve) megfelelő permutáció létezik. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyökök egyenlők.

Előzmény: [119] lorantfy, 2003-12-01 09:05:35
[126] lorantfy2003-12-01 18:23:54

Kedves Gyuri és Attila!

Igazatok van!

Ez megjegyzés nem volt átgondolt. Bocs!

Előzmény: [122] Gyuri, 2003-12-01 14:12:49
[127] Hajba Károly2003-12-02 01:19:59

Kedves Gyuri!

Ez egy igazi érdekes matekfeladat, gratula! Legyen \Pi, aki a szorzatot látja, és \Sigma, aki az összeget látja. S úgy tűnik, a végeredmény attól függ, ki kezdte a párbeszédet, mivel erről nincs infónk.

1)

\Pi: [Többféleképpen tudom a számot szorzattá bontani,] nem tudom.

\Sigma: [Mivel nem tudja, \Pi\ne 1 v. prím; többféleképpen tudom a számot összeggé bontani,] nem tudom.

\Pi: [Mivel nem tudja, \Sigma\ne 2, 3, 4; még mindig többféleképpen tudom a számot szorzattá bontani,] nem tudom.

\Sigma: [Mivel nem tudja, továbbá \Pi\ne 4; még mindig többféleképpen tudom a számot összeggé bontani,] nem tudom.

\Pi: [Mivel nem tudja, továbbá \Sigma\ne 5; s mivel \Pi=6 egyik tagjához tartozó összeget kizártuk,] tudom.

\Sigma: [Mivel tudja, \Pi=6, s mivel \Sigma=7,] tudom.

A=1, B=6

2)

\Sigma: [Többféleképpen tudom a számot összeggé bontani,] nem tudom.

\Pi: [Mivel nem tudja, \Sigma\ne 2, 3; többféleképpen tudom a számot szorzattá bontani,] nem tudom.

\Sigma: [Mivel nem tudja, \Pi\ne 1 v. prím; még mindig többféleképpen tudom a számot összeggé bontani,] nem tudom.

\Pi: [Mivel nem tudja, továbbá \Sigma\ne 4; még mindig többféleképpen tudom a számot szorzattá bontani,] nem tudom.

\Sigma: [Mivel nem tudja, \Pi\ne 4, s mivel \Sigma=5 egyik tagjához tartozó összeget kizártuk,] tudom.

\Pi: [Mivel tudja, továbbá \Sigma=5; s mivel \Pi=6 egyik tagjához tartozó összeget kizártuk,] tudom.

A=2, B=3

Remélem, minden esetet figyelembe vettem, mivel nagyon leizzadtam. :o)

HK

Előzmény: [123] Gyuri, 2003-12-01 14:32:15
[128] lorantfy2003-12-02 21:42:13

Kedves Károly!

Nagyon tetszik a megoldás „előadása”. Én is be akartam írni, de így nem sikerült volna.

Mondok inkább egy másik feladatot, ami erről jutott eszembe:

29. feladat:

Karácsonykor a börtönigazgató, aki nagyon szereti a logikai feladatokat magához rendeli a három legdörzsöltebb rabot. Sorba állítja őket egymás után és mutat nekik 5 sapkát, 3 fekete színűt és 2 fehéret és ezt mondja nekik: - Most bekötöm a szemeteket és mindegyikőtök fejére felteszek egy sapkát az 5 közül. A maradék sapkákat elteszem, majd leveszem a kötést a szemetekről. Aki először megmondja milyen sapka van a saját fején, az kiszabadul. Aki viszont rosszat mondana, annak megduplázom a büntetését.

Kérdés: Mennyi az egyes rabok kiszabadulásának valószínűsége? Ha:

a): A rabok nagyon unják már a börtönt, így nem kockáztatják meg a dupla büntetést!

b): A rabok tippelnek, de csak akkor, ha 50 %-nál nagyobb ez esélye, hogy a tipp bejön. Itt a rabok a sorszámuk sorrendjében szólalhatnak meg. A rosszul tippelő rab visszamegy a cellájába, a másik kettő (a tippelés eredményét ismerve) tovább játszik.

(Az első rab nem látja a másik kettőt. A középső látja az első sapkáját. A hátsó látja mindkét előtte álló sapkáját. (A saját sapkáját egyik sem látja!)).

Előzmény: [127] Hajba Károly, 2003-12-02 01:19:59
[129] lorantfy2003-12-02 22:50:07

Kedves Károly!

Most veszem észre, hogy rosszul számoztam az előző feladatot és így „felülírtam” a Te példádat. Most beírok egy megoldást és majd egyezkedünk a 29-es számon.

Egy személynek 2 nagymamája, 2 nagyapja, 4 dédmamája és 4 dédapja van a családfán.

29.a) Nagymamáink dédapjai: 2 nagymamánknak összesen 8 dédapja van.

Dédmamáink nagyapjai: 4 dédmamánknak összesen 8 nagyapja van.

29.b) Összesen persze nem 16-an vannak, mert közöttük van 4 azonos személy.

A nagymamák édesanyjai dédmamák, így a nagymamák anyai ágon vett dédapjai egyben a dédmamák nagyapjai. Ők nagymamánként ketten vannak, összesen négyen.

Tehát a nagymamáink dédapjai és a dédmamáink nagyapjai összesen 12-en vannak

Előzmény: [121] Hajba Károly, 2003-12-01 11:35:26
[130] Hajba Károly2003-12-03 00:07:57

Kedves László!

Nem veszünk össze a 29-es számon, s hogy félreértés se essen belőle, gyorsan megoldom. :o)

a)

Ha (1) és (2) fehér sapkát viselt volna, (3) azonnal szólna: én fekete vagyok.

Mivel (3) nem szól azonnal, így (1) és (2) is tudja, hogy nem lehetnek mindketten fehérek. Mivel (2) látja a fehér sapkát, ő csak fekete lehet és a biztos információ tudatában szól: én fekete vagyok és szabad.

Ha (1) fekete lenne, (2) nem lenne biztos információ tudatában és nem szólna. Mivel mégis szólt és nem vitték vissza a cellába, (1) tudja, hogy ő fehér és szól: én fehér vagyok, de elkéstem.

Mivel (3) nemszólalásából csak (1) és (2) kapott számukra nem ismert információt, így szegény (3) hoppon maradt új információ terén. Az ő esélye \frac23 a feketére és \frac13 a fehérre. Így (3) nem tippel.

b)

(1)-nek \frac35 esélye van a fekete sapkára, így visszaviszik dupla büntetéssel. (2)-nek \frac34 esélye van a feketére és kiszabadul. (3)-nak \frac23 esélye van a fekete sapkára, de későn jutott szóhoz.

Üdv: HK

Előzmény: [128] lorantfy, 2003-12-02 21:42:13
[131] Gyuri2003-12-03 00:29:47

31. feladat: rabok sapkai 2

Bizonyara ez is sokak altal ismert, de igencsak passzol ide.

A bortonorok unalmukban, vagy talan a kozelgo Karacsonyra valo tekintettel egy jatekot eszelnek ki az intezmenyben sinylodo 100 embertarsuk szamara. Igy hangzik a jatekra valo felhivas: Holnap sorba allitunk benneteket, mindenki csak az elotte allokat fogja latni. Mindenki kap a fejere egy-egy sapkat is, mely vagy feher vagy fekete lesz. Mindenki csak egyszer szolalhat meg, es csak e ket szin egyiket mondhatja. Ahanyan eltalajak a fejukon levo szint, szabadok. Mit javasoljunk a szerencsetleneknek, ha a biztosan megszabadulok szamat akarjuk maximalizalni?

Udv: Gyuri

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]