Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[112] SchZol2003-11-29 21:46:42

26.feladat (A verseny 2. feladata)

Legfeljebb hány részre oszthatja fel a síkot, a sík egy rögzített pontján áthaladó k darab kör és n darab egyenes, ha k és n pozitív egész szám? Határozza meg a részek maximális számát megadó R(k;n) függvényt!

[113] SchZol2003-11-29 21:55:34

27.feladat: (A verseny 3. feladata)

Az egész együtthatós ax2+bx+c=0 másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van a (0;1) nyílt intervallumban. Bizonyítsa be, hogy akkor |a|\ge5

[114] SchZol2003-11-29 22:07:26

28.feladat: (A verseny 4. feladata)

Az ABCD húrnégyszögben AB=AD és az A csúcsnál lévő belső szög \alpha. Bizonyítsa be, hogy ha a húrnégyszög terültetét T jelöli, akkor

T=\frac{AC^2\cdot\sin\alpha}2

[115] Hajba Károly2003-11-30 01:41:05

Kedves Attila!

Abban igazad van, hogy mind 20. mind a 21. feladat megoldása a \sqrt{2} szerkesztése, de a két feladat végeredménye más. Nevezhetjük édestestvéreknek is. Az alábbi ábra mutatja a különbséget és egyben a szerkesztés egyszerűségét is. Nem kell invertálni sem.

HK

Előzmény: [93] jenei.attila, 2003-11-19 13:00:17
[116] Gyuri2003-12-01 00:12:04

Kedves Zoli!

A 25. feladat megoldasa:

ha valamelyik valtozo 0, akkor a tobbi is az. tehat ha valamelyik nem 0, akkor a tobbi sem lehet az. ekkor nyilvan mindegyik pozitiv kell legyen. az egyenletek osszeszorzasabol:

2\cdot2\cdot2=(x+\frac1x)\cdot(y+\frac1y)\cdot(z+\frac1z)

de ez csak x=y=z=1 eseten lehet, hisz a>0 eseten a+\frac1a\ge2 es egyenloseg csak a=1 eseten all fenn.

igy pontosan ket megoldas van.

udv: Gyuri

Előzmény: [111] SchZol, 2003-11-29 21:44:23
[117] lorantfy2003-12-01 00:24:24

Kedves Nádor P.!

Jó példát adtál. Remélem jó lesz a megoldás is!

Megoldás a 24.c feladatra: Eredeti szövege: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.

Az A-ból képezett „duplázott” szám: AA=k2. Legyen A „n” jegyű szám a 10-es számrendszerben, ekkor

AA=10nA+A=(10n+1)A=k2

A (10n+1)A minden prímtényezője páros (második) hatványon van és (10n+1)\geA.

Ebből az következik, hogy 10n+1-nek tartalmaznia kell legalább egy prímtényezőt második hatványon: p12, a többi páratlan (1) kitevőjű prímtényezőt pedig az A szám is tartalmazza, igy lesz a szorzat négyzetszám. Gondolnunk kell arra is, hogy A szám n jegyű.

Gyakorlatilag: \frac{10^n+1}{p_1^2}= A vagy 10n+1=p12A

Nézzük mi lehet ez a p1 prímtényező: 2 és 5 nyilván nem lehet, 3 és 9 nem lehet, mert a számjegyek összege 2.

Lehet 7 és 11. Többet nem is keresünk, ugyanis már ezek is túl nagyok.

Hiszen 10n+1-et 49-el vagy 121-el osztva, az A szám csak (n-1) illetve (n-2) jegyű lesz. Ami azt jelenti, hogy egy vagy két 0-t kéne elé írni, hogy „duplázáskor” a négyzetszám létrejöjjön. Ezt a feladat szövege nem engedi meg.

Így NINCS ilyen A szám!

Érthetőbbé válik a dolog, ha megnézünk egy-két példát, amikor a 0 számjegy segítségével teljesül a feltétel.

1.példa:

1011+1=112  23  4093  8779  \implies  A=23  4093  8779  

Szorzatuk:

  112  232  40932  87792

négyzetszám. A=826446281 - 9 jegyű szám, igy a szorzat: 82644628100826446281 – négyzetszám.

2.példa:

1021+1=72  11  13  127  2689  459691  909091

A=11  13  127  2689  459691  909091

Szorzatuk:

72  112  132  1272  26892  4596912  9090912

A=20408163265306122449 – 20 jegyű szám, kell elé egy 0-számjegy:

A négyzetszám: 20408163265306122449020408163265306122449

Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24
[118] Gyuri2003-12-01 04:26:07

Kedves Laszlo!

Bizonyara az ejszakazasnak tudhato be a tevesztese.

A 24.c feladathoz pont az 1. pelda szolgaltat egy megoldast:

A=(1011+1).11-2.102=82644628100.

Hasonloan megoldas meg: (1011+1).11-2.i2 a kovetkezokre: i=4,5,6,7,8,9

A teljes megoldast ilyen koran mar nincs erom leirni...

Udv: Gyuri

Előzmény: [117] lorantfy, 2003-12-01 00:24:24
[119] lorantfy2003-12-01 09:05:35

Kedves Gyuri!

Kösz a segítséget!

Ha nem tudunk a szám elejére 0-kat tenni, hát tegyünk a végére. Mig a TeX-el vacakoltam, elfelejtettem, hogy A tartalmazhat még páros kitevőjű prímtényezőket és ezzel "n" jegyűvé növelhető.

Mostmár mindegy. Lényeg az, hogy összejött a megoldás.

Ügyes a 25. feladatra adott megoldásod is. Én ott arra gondoltam, hogy mivel szimmetrikus az egyenletrendszer, a megoldás nyilván x=y=z=a. Így elegendő, ha megoldjuk a

 \frac {2x^2}{1+x^2}=x

egyenletet. Amiből x(x-1)2=0 és így x=y=z=0 vagy x=y=z=1.

Előzmény: [118] Gyuri, 2003-12-01 04:26:07
[120] nadorp2003-12-01 10:45:34

Kedves László !

Vázolok egy megoldást a 24.b feladatra.

Legyen X=AB…BC=10^{n+1}A+\frac{10^{n+1}-10}9B+C és

Y=CB…BA=10^{n+1}C+\frac{10^{n+1}-10}9B+A

A 7-tel való oszthatóságot elég a 9X és 9Y számokra nézni. Felhasználva még azt, hogy 10 hatványai ugyanazt a maradékot adják 7-tel osztva, mint 3 hatványai, kapjuk:

7 | 2.3n+1A+3(3n-1)B+2C és 7 | 2.3n+1C+3(3n-1)B+2A

3 hatványai rendre a következő maradékokat adják 7-tel osztva: 3,2,6,4,5,1. Ezt felhasználva három esetet különböztetünk meg.

1.eset: n=6k alakú

Ekkor 7 | 3n-1 és 3n+1 7-es maradéka 3, ezért 7 | 6A+2C és 7 | 6C+2A teljesül. De ekkor véve a két szám összegét és különbségét: 7 | 4(A-C) és 7 | 8(A+C), azaz 7 | A-C és 7 | A+C. Ez csak úgy lehet, ha A és C közül az egyik 0, amit kizártunk. Ekkor tehát nincs megoldás.

2.eset: n=6k+5 alakú

Ekkor 3n 7-es maradéka 5 és 3n+1 7-es maradéka 1, ezért 7 | 2A+5B+2C vagy másképpen 7 | 2A+5B+2C-7B=2(A-B+C). Ez teljesül,ha például A=8 B=2 C=1.

3.eset: n\ne6k és n\ne6k+5 alakú

Mivel 7 | 9X-9Y, ezért 7 | 2(3n+1-1)(A-C) . Ez most csak úgy lehet ha 7 | A-C, azaz A=9 C=2 vagy A=8 C=1 ( vagy ha felcseréljük A és C szerepét, de az most mindegy). Látszik, hogy A C és n ismeretében B egyértelműen meghatározható mod 7. A számolást nem részletezve az alábbi két táblázatot kapjuk:

n 1 2 3 4
A 9 9 9 9
C 2 2 2 2
B 5 0 1 2
n 1 2 3 4
A 8 8 8 8
C 1 1 1 1
B 6 0 4 1

Látszik, hogy n=6k+4 esetén B megegyik A-val vagy C-vel, ami nem lehet. A feladatnak tehát n=6k vagy n=6k+4 esetén nincs megoldása, máskor mindig van.

Előzmény: [110] lorantfy, 2003-11-29 00:33:28
[121] Hajba Károly2003-12-01 11:35:26

A következő feladaton csak annyit lehet gondolkodni, mint amennyi időt Örkény egyperceseire fordítunk. Ha valaki tovább gondokozik rajta, csal, mint Rodolfó a bűvész.

29. feladat: A) Kik vannak többen? Nagymamáink dédapjai vagy Dédmamáink nagyapjai? B) Hányan vannak összesen?

HK

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]