[82] jenei.attila | 2003-11-17 15:32:04 |
Kedves László!
Köszönöm a szép ábrát, kicsit reméltem is, hogy lesz türelmed megrajzolni. Maradva a geometriánál, egy nem túl nehéz de érdekes feladat: adva van egy kör, a középpontján átmenő egyenes, és egy pont a körön és egyenesen kívül. Egy egyenes vonalzó használatával szerkesszünk a ponton átmenő, egyenesre merőleges egyenest.
|
Előzmény: [81] lorantfy, 2003-11-17 15:15:00 |
|
[83] lorantfy | 2003-11-17 16:41:14 |
Mivel csak vonalzót használhatunk mást nem is tehetünk csak összekötünk két pontot. PA majd PB. Ezek metszik a kört C és D pontokban. Ezután CB, AD ezek metszik egymást Q-ban.
Bizonyítandó: PQ egyenes merőleges AB-re!
|
|
Előzmény: [82] jenei.attila, 2003-11-17 15:32:04 |
|
[84] SchZol | 2003-11-17 17:14:16 |
PQ azért merőleges AB-re, mert PAQ háromszögben QC és PD magasságvonal, tehát B a PAQ háromszög magasságpontja, ebből következik, hogy AB egyenes is magassága a PAQ háromszögnek, tehát merőleges AB PQ-ra.
20.feladat: Adott két pont. Egyetlen körző segítségével rajzoljunk négyzetet, melynek e két pont két szomszédos csúcsa.
|
Előzmény: [83] lorantfy, 2003-11-17 16:41:14 |
|
[85] BrickTop | 2003-11-17 18:32:42 |
A 20. feladatban a 2 pont nincs véletlenül összekötve? Mert nekem van megoldásom, de csak ha egy szakasz van megadva (tehát 2 pont ami össze van kötve).
|
Előzmény: [84] SchZol, 2003-11-17 17:14:16 |
|
|
[87] BrickTop | 2003-11-17 20:48:41 |
20. feladat, megoldás: Adott A és B pont.
1) A-ból és B-ből körívezünk AB-vel --> C metszéspont.
2) A-ból és C-ből körívezünk AB-vel --> D metszéspont.
3) A-ból és D-ből körívezünk AB-vel --> E metszéspont.
4) E-ből körívezünk BD-vel --> F metszéspont az AB szakaszon.
5) B-ből körívezünk BE-vel, D-ből körívezünk FB-vel --> G a két körív metszéspontja (a két körív valójában érinti egymást).
6) F-ből körívezünk EG-vel --> a keletkezett körív és a B középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet harmadik pontja, H.
7) H-ből körívezünk AB-vel :) --> a keletkezett körív és az A középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet negyedik pontja.
Kicsit több, mint egy éve jöttem rá erre a megoldásra. Most megprobáltam szerkesztéssel ellenőrizni, nem nagyon jött ki, de biztos azért, mert bénán szerkesztek. Elméletileg szerintem jó. Bizonyítást nem írtam, mert ha megvan az ábra, már nagyon egyszerű belátni, hogy a négyzet pontjait kapjuk. Ábrát nem készítettem, mert lusta voltam (órákig tartana egy ilyen ábrát megcsinálni az én programarzenálommal), és mert az ábra lelövi a poént. Így aki meg akarja oldani a feladatot, egyszerűen nem olvassa el a szerkesztés menetét.
Remélem nem néztem el semmit és nem vesztegettem el negyed órát egy hibás szerkesztés leírásával :)
|
Előzmény: [86] SchZol, 2003-11-17 20:07:20 |
|
[88] Pach Péter Pál | 2003-11-17 21:34:00 |
Trükkös a megoldásod, BrickTop. Egyébként nem szükséges, hogy a két ponton átmenő egyenes is adott legyen. Leírok egy megoldást, ami csak a két pont (és természetesen a körző megfelelő használatának) ismeretét feltételezi
A 20. feladat II. megoldása következik: Könnyen bizonyítható, hogy körző segítségével (vonalzó nélkül) tudunk invertálni egy pontot egy olyan körre, aminek a középpontját is ismerjük. (Ezt először külső pontra érdemes belátni.) Aki nem ismeri, gondolkozzon el rajta.
A két pont, amihez négyzetet akarunk rajzolni, legyen A és B!(A keresett négyzet ABCD.) AB-hez háromszögrácsot rajzolva megkapjuk A tükörképét B-re: E-t. Most E-t invertáljuk az A középpontú, AB sugarú körre, a képe az AB szakasz felezőpontja, O lesz. Az O középpontú, sugarú kör legyen k. C-t megkaphatjuk a B középpontú, AB sugarú kör, és a B-ben AB egyenesére állított merőleges egyenes (egyik) metszéspontjként. Ha ezt a két alakzatot invertáljuk k-ra, akkor az egyenesből is kör lesz, és így már meg tudjuk szerkeszteni metszéspontjukat. A körünk képe az AE’ átmérőjű kör, ahol E’ az E pont képe, ugyanis O illeszkedik AE-re. (Ezt a kört meg tudjuk rajzolni, hiszen felezőpontját megszerkeszthetjük ugyanúgy, ahogy AB felezőpontját megszerkesztettük. Az egyenesünk képe a BO átmérőjű kör.
A két kapott kör metszéspontjai közül az egyik C’, vagyis C képe. Ha C’-t invertáljuk k-ra, akkor megkapjuk a keresett C pontot. Természetesen D ugyanígy kapható meg.
A 20. feladat speciális esete a Mohr-Mascheroni-tételnek, ami a következő állítást bizonyítja: „Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körző segítségével is.” Erről, és még számos híres matematikai problémáról olvashatunk Heinrich Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvében. (Szóval ez most egyben könyvajánlás is!) A könyvet egyébként az egyik matektanárunk, Hraskó András ajánlotta.
|
|
Előzmény: [87] BrickTop, 2003-11-17 20:48:41 |
|
[89] Pach Péter Pál | 2003-11-17 21:37:15 |
Megoldást írok a 18. feladatra:
1. lépés: Átmegy két kannibál, egyikük a túlparton marad, másikuk visszahozza a csónakot.
2. lépés: Ugyanez még egyszer.
3. lépés: Átmegy két fehérember, egyikük ott marad, másikuk viszont egy kannibál társaságában visszatér.
4. lépés: Átkel a még hátralévő két fehérember, a túlparti kannibál visszaviszi a csónakot.
5-6. lépés: Most már csak az van hátra, hogy a kannibálok is átkeljenek. Először átkelnek ketten, majd egyikük visszmegy a harmadikért.
Könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kannibálok az átkelés során sosem kerültek többségbe. Ez azt jelenti, hogy mindannyiukat sikerült – épségben – átjuttatnunk a túlpartra.
|
Előzmény: [79] lorantfy, 2003-11-16 17:50:10 |
|
[90] lorantfy | 2003-11-18 20:45:43 |
Kedves Péter Pál!
Gratulálok! Jó a megoldás. Annyi vari lehet, hogy az első menetben egy kannibál és egy fehérember megy át és a fehérember hozza vissza a csónakot. Én már előre megcsináltam táblázatban, hogy gyakoroljam a TeX táblát:
3K |
3F |
|
|
|
2K |
2F |
F,K > |
|
|
2K |
2F |
< F |
K |
|
|
3F |
K,K > |
K |
|
|
3F |
< K |
2K |
|
K |
F |
F,F > |
2K |
|
K |
F |
< K,F |
K |
F |
2K |
|
F,F> |
K |
F |
2K |
|
< K |
|
3F |
K |
|
K,K > |
|
3F |
K |
|
< K |
K |
3F |
|
|
K,K > |
K |
3F |
|
|
|
3K |
3F |
|
|
Előzmény: [89] Pach Péter Pál, 2003-11-17 21:37:15 |
|
[91] Kós Géza | 2003-11-18 22:50:54 |
A 18-szöges megoldást is nézzük meg, szerintem nagyon tanulságos.
A szabályos 18-szögnek két nagy előnye van. Az egyik, hogy az átlók és oldalak közötti szögek mindig a 10o többszörösei, ezért esélyünk van megtalálni a feladat ábráját az átlók között. A másik, hogy sok olyan pont van a belsejében, ahol nagyon sok átló megy át. Az ábrán az E egy ilyen pont.
Legyen E először csak az AM átmérő és DJ metszéspontja. A DJ tükörképe az AM egyenesre KG, tehát KG is átmegy E-n. A KG egy nagyon speciális átló, a hozzá tartozó középponti szög éppen 120o. Ebből következik, hogy az O és F pontok egymás tükörképei a KG átlóra. Az OM egyenes tükörképe a KG átlóra éppen FB, mert O tükörképe F, és az irányok is stimmelnek. Tehát FB is átmegy E-n. Végül HL az FB tükörképe az AM átmérőre, tehát ez is átmegy E-n.
|
|
Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51 |
|