Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[22] Fizban2003-11-05 17:53:20

Üdv mindenkinek!

Az én feladatomat biztosan sokan ismerik, de azért leírom, hátha valakinek új:

Van egy medve a Földön egy P pontban. Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba. A kérdés: Milyen színű a medve?

[23] Csimby2003-11-05 18:21:35

MEGOLDÁS A SZIGETES FELADATHOZ:

Akkor esznek meg egy papot amikor a legközelebbi olyan faluba ér ahonnan egy társa indult (ha egyedül van akkor amikor az indulási faluba visszaér). Tehát ha kezdetben P pap indult, amikorra mindet megeszik, P falu lesz pogány méghozzá az a P amelyből indultak (hiszen egészen addig nyugodtan téríthet egy pap amíg indulási helyre nem ér, ahol is hívő falut talál: -> megeszik, az indulási falu pogány lesz. -> az addig útbaeső falvakat megtéríti*. Az utánuk indulók, mivel nem indulhatnak a meglévő pogány falukból (hiszen ezek induló faluk voltak és mindenki más faluból indul) biztosan olyan faluból kell, hogy induljanak amelyeket már megtérítettek, tehát amint elindulnak, rögtön megeszik őket. Mindenki máshonnan indul, tehát mindenkit máshol esznek meg, tehát mindegyik falu pogány lesz. * probléma akkor lehet, ha a P db pap indulása után még indulnak valamikor pap(ok), de ez még az előtt történik, hogy kialakulna az a helyzet amikor már csak a P db indulási falu pogány (azaz amikor még lehet olyan helyekről indulni amelyet még senki sem térített meg). Ekkor két eset lehet: - az induló már megtérített faluból indul -> meghal rögtön, és a falu pogány lesz - pogány faluból indul (amelyben előtte még senki sem járt) , ekkor felfoghatjuk úgy mintha P+1 pap indult volna, és ugyanaz a megoldás mint P-re.

Kiss Gábor és Csajbók Bence

[24] Rácz Béla2003-11-05 19:04:54

Ha valakit szétvetne a kíváncsiság, közölhetem, hogy az összes eddigi kétkarú mérleges feladat megtalálható a Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. gyűjteményben (I. kötet, rögtön az eleje.)

Igazából ezt a könyvajánlóba kellett volna írnom, mert a Skljarszikij messze a legjobb matekkönyv, ami valaha is a kezembe került. Szovjet minőség!!! ;-)

Előzmény: [20] Kós Géza, 2003-11-05 12:21:41
[25] Kritya32003-11-05 20:47:52

Most egy kicsit offolok, remélem nem orrol meg rám a Moderátor: olyat hallottam, hogy OKTV napján a versenyig még egy számot sem szabad összeadni.

Előzmény: [21] Frenky, 2003-11-05 15:56:04
[26] lorantfy2003-11-05 21:34:18

Valamikor régen amikor a Scientific American még Tudomány néven magyarul is megjelent olvastam benne egy matek feladványt. De sajnos ez olyan régen volt, hogy a pontos számokat már elfelejtettem, így kénytelen vagyok a feladatot általánosan megfogalmazni: 7. feladat: A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta 3 fiát és elmondta nekik, hogy rájuk hagyja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és M-ed részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak mert az N szám K, L, M egyikével sem volt osztható. Szerencsére éppen egy tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt egy ötlete. Kölcsönkért egy tevét a karavánból. Így az N+1 tevét el tudták osztani egymás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is 1 teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milyen K,L,M,N számokra teljesíthető a fenti felosztás ? ( K<L<M<N pozitív egész számok!)

[27] Lóczi Lajos2003-11-05 22:15:39

A már említetteken kívül pár egyéb "ötlet" a tréfás kérdés megválaszolásához.

Az ex függvényen kívül a (konstans.ex) függvény, mint általános megoldás is szóba jöhet (abban az értelemben, hogy a függvény és deriváltja megegyezik).

Speciálisan a kuncogó függvény lehet az azonosan nulla függvény is.

De kuncoghat azért is, mert ő mondjuk a Dirichlet-függvény (amely tehát racionális pontokban 1, irracionálisokban 0, s így sehol sem folytonos, sehol sem deriválható).

Sőt, kuncoghat azért is, mert ő pl. az x2 függvény, s így deriválás után az értékkészlete nagyobb lesz.

Előzmény: [11] enel, 2003-11-04 14:32:31
[28] Lóczi Lajos2003-11-05 22:56:02

Ha szabad integrálokat használni, akkor következzen egy megoldás az 1. feladatra.

Mivel az összegzendő kifejezések szigorúan monoton fogyóak, ezért felfoghatók integrálok alsó (téglalapos) közelítőösszegeiként -- csak arra kell vigyáznunk, hogy az integrálás határát 1-gyel hamarabb kezdjük, mint a szummázásét. (A szumma első két tagját külön kell kezelnünk, mert különben felső becslésünk túl durva lenne.) Tehát


\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)=
\sum_{n=2}^{3}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)+
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)\le


\frac{944905}{1679616}+\int_{3}^{\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}
+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^8}\right)dx=


\frac{944905}{1679616}+\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}
-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{7x^7} \right]_3^\infty=
\frac{944905}{1679616}+\left( 0+\frac{24007}{61236}\right)=


\frac{11223679}{11757312}<1.

Előzmény: [1] Sirpi, 2003-10-30 10:07:33
[29] Lóczi Lajos2003-11-05 23:20:59

Az 1. feladattal kapcsolatban a következő érdekes általánosítás tűnik igaznak: nevezetesen nem számít, hogy mely hatványfüggvények reciprokait szerepeltetjük a szummákban (ami ott 2, 3, 5, illetve 8 volt). A rövidség kedvéért vezessük be a következő (szokásos) jelölést: ha s>1 valós szám, akkor legyen


\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

a híres-nevezetes dzeta-függvény. (Mint ismeretes, ennek a függvénynek komplex s-ekre történő kiterjesztése szerepel az egyik leghíresebb, mindmáig megoldatlan matematikai sejtésben, a Riemann-hipotézisben.)

Ezzel a jelöléssel az előző hozzászólásban beláttuk tehát, hogy


\left(\zeta(2)-1\right)+\left(\zeta(3)-1\right)+\left(\zeta(5)-1\right)+\left(\zeta(8)-1\right)<1.

Sejtésem a következő: 2-től kezdve akárhány ilyen tagot adunk össze, az összeg mindig kisebb lesz 1-nél, azaz, ha N\ge2 tetszőleges természetes szám, akkor


\sum_{k=2}^N \left(\zeta(k)-1\right)<1.

A sejtést alátámasztják a Mathematica programmal végzett numerikus kísérletek (például ha N=50, akkor a fenti összeg körülbelül 0,99999999999999911...), valamint a Mathematica azon állítása, hogy


\sum_{k=2}^{\infty} \left(\zeta(k)-1\right)=1.

(Ha a program ezt állítja, akkor valószínűleg ezt már bebizonyította valaki, a sejtéshez nyilván "elég" lenne ez utóbbi állítást megmutatni, hiszen a szumma N-ben monoton nő.)

A sejtéssel kapcsolatos bármely észrevételt szívesen veszek.

[30] Lóczi Lajos2003-11-05 23:59:16

Mivel közben sikerült tisztáznom az előző hozzászólásban megfogalmazott sejtésem (a bizonyítás nem nehéz, teljesen elemi, csak két apró ötlet kell, és minden szükséges információ megtalálható a hozzászólásban), ezért

8. feladat: Mutassuk meg, hogy tetszőleges N\ge2 természetes számra


\sum_{k=2}^N \left(\zeta(k)-1\right)<1.

Előzmény: [29] Lóczi Lajos, 2003-11-05 23:20:59
[31] Rizsa2003-11-06 12:27:26

A tevel szama 17, es 2, 3, 6 reszre kell bontani a majdani 18at.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]