Fórum: Érdekes matekfeladatok

Segítség a biliárdgolyós feladathoz: 3 csoportra osztjuk a 12 golyót. Összemérjük az első két csoportot. Ha egyenlő akkor innen már 2 méréssel a könnyű a dolgunk, ha felhasználjuk, hogy az első 8 golyó biztosan "jó". Ha az első mérésnél nem egyenlő a két csoport akkor figyelembe véve, hogy a mérleg merre billent le egy különleges mérést kell összeállítanunk, ahol a mérleg kibillenésének irányából is információkat tudunk szerezni. Na erre kell neked rájönni!

Azt javaslom, hogy a megoldásokat is ide írjuk, ne tördeljük szét a témát többfelé. Én az emberevős feladatra kaptam egy megoldást e-mailben, mindjárt ide másolom.

Megkértem az e-mailben küldött megoldás szerzőit, hogy másolják be ide a megoldásukat és itt vitassuk meg. (Szerencsésebb, ha nem én másolgatok be ide e-maileket.)

Az feladatot én eredetileg úgy ismertem, hogy azt is meg kell mondani, hogy a kakukktojás könnyebb vagy nehezebb a többinél. Ez ugyan nehezítés, de segít abban, hogy az első mérést kitaláljuk.

Ha n mérésünk van hátra, akkor azoknak összesen 3ⁿ lehetséges kimenetele lehet, ezért legfeljebb ennyi lehetséges esetet tudunk a mérések által megkülönböztetni. (Ez akkor is igaz, ha az egyes mérések összeállítása függ a korábbi mérések eredményétől.)

Kezdetben 24 eset van, mert 12 golyó lehet a kakukktojás, és a kakukktojás könnyű és nehéz is lehet. A 3 mérés legfeljebb 3³=27 esetet különböztethet meg, a becslés itt (még) stimmel.

Az első mérésnél ugyanannyi golyót, mondjuk k darabot kell tennünk a két serpenyőbe. Az első kérdés, hogy mennyi legyen a k.

Ha a mérleg egyensúlyban marad, akkor a többi 12-2k golyó között van a kakkukktojás, ami összesen 2(12-2k) esetet jelent. Ha k3, akkor ez legalább 12 eset, amit nem lehet 2 mérésből megkülönböztetni. Ha k4, akkor legfeljebb 8 eset. A k-t tehát nem szabad 4-nél kisebbnek választanunk.

Ha a mérleg nincs egyensúlyban, akkor 2k ,,gyanús'' golyónk van. Ebből k darab ,,nehéz-gyanús'', a másik k darab pedig ,,könnyű-gyanús'', ez összesen 2k eset. A hátralevő két mérés legfeljebb 9 esetet különböztethet meg, tehát k-t nem szabad 4-nél nagyobbnak választani.

Összefoglalva, az első mérésnél csak négy-négy golyót tehetünk a két mérlegserpenyőbe. Már csak a további méréseket kell kitalálni. :-)

* * *

Aki ismeri vagy már megoldotta a feladatot, gondolkodhat két változaton.

Első változat: van 13, látszólag egyforma golyó, az egyik könnyebb vagy nehezebb a többinél. Három mérésből mondjuk meg, melyik az. (Nem kell megmondani, hogy könnyebb, vagy nehezebb.)

Második változat: van 12, látszólag egyforma golyó, az egyik könnyebb vagy nehezebb a többinél. Három mérésből mondjuk meg, melyik az, és azt is, hogy könnyebb, vagy nehezebb. (Eddig ugyanaz a feladat.) A nehezítés: a mérések összeállítása nem függhet a korábbi mérések eredményétől, előre meg kell mondanunk, hogy az egyes mérésekben mely golyókat tesszük a két serpenyőbe.

Üdv! nos igen szóval addig eljutottam hogy csoportok kellenek aztán elkezdtem nézni hogy mlyen csoportok néztem 2 erre rájöttem hamar hogy rossz néztem a 3-at ezzel sokat szenvedtem meg persze a 4gyel és ezzel is jutottam elgtovább valahogy úgy próbáltam hogy a régebbi mérés golyóit is belevonoma dologba , pl a régi mérésből két golyót kicserélek a bizonytalan golyók valamelyikére , és akkor ugye ha megint eldől a serpenyő akkor még mindig köztük van a gyanús ha meg nem dől el akkor azok közül az egyik amit elvettem , de végül mindig úgy lett hogy van két gyanús golyóm és nincs több mérés...vagy estetleg 3 bizonytalan golyó és egy mérés.

holnap matek OKTV:-) úgyhogy holnap délelőtt lesz időm letisztázni és föladni a kömalt:-) hozzá is kezdek még most(annál többet alhatok)

Üdv mindenkinek!

Az én feladatomat biztosan sokan ismerik, de azért leírom, hátha valakinek új:

Van egy medve a Földön egy P pontban. Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba. A kérdés: Milyen színű a medve?

MEGOLDÁS A SZIGETES FELADATHOZ:

Akkor esznek meg egy papot amikor a legközelebbi olyan faluba ér ahonnan egy társa indult (ha egyedül van akkor amikor az indulási faluba visszaér). Tehát ha kezdetben P pap indult, amikorra mindet megeszik, P falu lesz pogány méghozzá az a P amelyből indultak (hiszen egészen addig nyugodtan téríthet egy pap amíg indulási helyre nem ér, ahol is hívő falut talál: -> megeszik, az indulási falu pogány lesz. -> az addig útbaeső falvakat megtéríti*. Az utánuk indulók, mivel nem indulhatnak a meglévő pogány falukból (hiszen ezek induló faluk voltak és mindenki más faluból indul) biztosan olyan faluból kell, hogy induljanak amelyeket már megtérítettek, tehát amint elindulnak, rögtön megeszik őket. Mindenki máshonnan indul, tehát mindenkit máshol esznek meg, tehát mindegyik falu pogány lesz. * probléma akkor lehet, ha a P db pap indulása után még indulnak valamikor pap(ok), de ez még az előtt történik, hogy kialakulna az a helyzet amikor már csak a P db indulási falu pogány (azaz amikor még lehet olyan helyekről indulni amelyet még senki sem térített meg). Ekkor két eset lehet: - az induló már megtérített faluból indul -> meghal rögtön, és a falu pogány lesz - pogány faluból indul (amelyben előtte még senki sem járt) , ekkor felfoghatjuk úgy mintha P+1 pap indult volna, és ugyanaz a megoldás mint P-re.

Kiss Gábor és Csajbók Bence

Ha valakit szétvetne a kíváncsiság, közölhetem, hogy az összes eddigi kétkarú mérleges feladat megtalálható a Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. gyűjteményben (I. kötet, rögtön az eleje.)

Igazából ezt a könyvajánlóba kellett volna írnom, mert a Skljarszikij messze a legjobb matekkönyv, ami valaha is a kezembe került. Szovjet minőség!!! ;-)

Most egy kicsit offolok, remélem nem orrol meg rám a Moderátor: olyat hallottam, hogy OKTV napján a versenyig még egy számot sem szabad összeadni.

Valamikor régen amikor a Scientific American még Tudomány néven magyarul is megjelent olvastam benne egy matek feladványt. De sajnos ez olyan régen volt, hogy a pontos számokat már elfelejtettem, így kénytelen vagyok a feladatot általánosan megfogalmazni: 7. feladat: A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta 3 fiát és elmondta nekik, hogy rájuk hagyja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és M-ed részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak mert az N szám K, L, M egyikével sem volt osztható. Szerencsére éppen egy tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt egy ötlete. Kölcsönkért egy tevét a karavánból. Így az N+1 tevét el tudták osztani egymás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is 1 teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milyen K,L,M,N számokra teljesíthető a fenti felosztás ? ( K<L<M<N pozitív egész számok!)