Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3577] Róbert Gida2012-05-31 20:26:40

Valóban: legyen g(n)=2^{2^{ceil(\frac {\log n}{\log 2})}}-1, ahol ceil(x)=felső egészrész x. Sőt ez sokkal több, mint egy nagyságrenddel kisebb.

Előzmény: [3576] Sirpi, 2012-05-31 19:13:36
[3578] Sirpi2012-05-31 20:44:02

Akkor állítás: 2n-1 is elég.

Előzmény: [3577] Róbert Gida, 2012-05-31 20:26:40
[3579] Róbert Gida2012-05-31 21:38:00

Igen, bár nagyságrendben nem sokkal jobb.

A Fermat számos viszont tovább javítható, mert h(n)=2^{2^{ceil(1+\frac {\log(n)}{\log(4)})}}-1 is jó lesz.

Ami nagyságrendileg 2^{\sqrt n}, sőt azt sem nehéz látni, hogy tetszőleges \epsilon>0-ra 2^{n^{\epsilon}} is írható nagyságrendileg.

Előzmény: [3578] Sirpi, 2012-05-31 20:44:02
[3580] gyula602012-06-02 17:34:56

Igaz-e a következő sejtés?

A \phi(x)=:\frac{x^5}2-5x^3+10x és az f(x)=:\root5\of{x-\sqrt{x^2-32}}+\root5\of{x+\sqrt{x^2-32}} függvényekre x>2 esetén

\phiof=fo\phi=x

Ha igaz, lehet-e finomítani a becslésen?

(Megjegyzés. Először jelentkezek be ide. Ötletecskéit szeretné egy idősebb úr megosztani a fiatalsággal. Lehet, hogy nem tartozik az érdekes matek feladatok körébe, bármilyen iránymutatást elfogadok. Köszönettel)

[3581] Lóczi Lajos2012-06-02 21:35:40

Szép megoldóképletet találtál. Az egyenleteid a de Moivre-féle ötödfokú egyenletek kétparaméteres családjának speciális esetei (a keresőkben pl. "de Moivre quintic"), amely család gyökképlettel megoldható, és az 5 megoldás egyike az általad felírt egyik képlet.

A több tucat írás közül hadd ajánljak két szép cikket ebből az irányból, amelyek a Galois-elmélet konkrét alkalmazásai:

1.) D. S. Dummit: Solving Solvable Quintics (Mathematics of Computation, Volume 57, Number 195, July 1991, Pages 387-401) -- ebben a szerző belátja, hogy az x5+px3+qx2+rx+s=0 alakú racionális együtthatós ötödfokú egyenlet pontosan akkor oldható meg gyökképlettel, ha a

q8-13pq6r+p5q2r2+65p2q4r2-4p6r3-128p3q2r3+17q4r3+48p4r4-16pq2r4-192p2r5+256r6-4p5q3s-12p2q5s+18p6qrs+12p3q3rs-124q5rs+196p4qr2s+590pq3r2s-160p2qr3s-1600qr4s-27p7s2-150p4q2s2-125pq4s2-99p5rs2-725p2q2rs2+1200p3r2s2+3250q2r2s2-2000pr3s2-1250pqrs3+3125p2s4-9375rs4+

x(-2pq6+19p2q4r-51p3q2r2+3q4r2+32p4r3+76pq2r3-256p2r4+512r5-31p3q3s-58q5s+117p4qrs+105pq3rs+260p2qr2s-2400qr3s-108p5s2-325p2q2s2+525p3rs2+2750q2rs2-500pr2s2+625pqs3-3125s4)+

x2(p2q4-6p3q2r-8q4r+9p4r2+76pq2r2-136p2r3+400r4-50pq3s+90p2qrs-1400qr2s+625q2s2+500prs2)+

x3(-2q4+21pq2r-40p2r2+160r3-15p2qs-400qrs+125ps2)+x4(2pq2-6p2r+40r2-50qs)+x5(8r)+x6=0

hatodfokú egyenletnek van racionális gyöke (amit egyszerű eldönteni a konkrét esetekben).

A te x5/2-5x3+10x-y=0 paraméteres ötödfokú egyenletedre akkor alkalmazható a fenti eredmény, ha y racionális, mert belátható, hogy ekkor a fent definiált hatodfokú egyenletnek az x=40 mindig gyöke.

2.) A de Moivre-egyenletől és sok másról lásd pl. a Spearman--Williams-cikket (http://people.math.carleton.ca/~williams/papers/pdf/185.pdf vagy a sok példát tartalmazó http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function oldalt), ebben valós y-ra is szerepel a megoldóképlet.

Visszatérve arra kérdésedre, hogy "Ha igaz, lehet-e finomítani a[z x>2] becslésen?" -- először pontosan definiálnod kell, hogy a négyzetgyökök és az ötödik gyökök mely komplex értékeit válasszuk meg. De pl. a fenti 2.)-es Spearman--Williams cikkben erre is választ kapunk.

Előzmény: [3580] gyula60, 2012-06-02 17:34:56
[3582] sakkmath2012-06-09 17:02:19

Érdekes összefüggést vélek felfedezni e feladat és egy saját régi (geometriai (!)) feladatom között. Ránézésre úgy tűnik, mintha az általam - egészen más úton - kapott görbét affin zsugorítással az 537. feladatban feltételezett görbébe vihetnénk. Ez még csak egy halvány sejtés, s könnyen lehet, hogy tévedek.

A sejtést erősítené, vagy cáfolná, ha valaki válaszolna a következő kérdésre:

Igaz-e, hogy az 537. feladat görbéje első negyedbe eső ágának maximuma az x\approx3,77464 helyen van?

Előzmény: [3570] Lóczi Lajos, 2012-05-30 10:10:36
[3583] Lóczi Lajos2012-06-09 17:14:40

Véleményem szerint a maximum helye a vízszintes tengelyen kb. 3.7320508075688772935-nél van (amiből rögtön látható, hogy ez melyik algebrai szám akar lenni).

Előzmény: [3582] sakkmath, 2012-06-09 17:02:19
[3584] sakkmath2012-06-09 17:28:26

A 2 + \sqrt3, a sejtésem tehát megdőlt. Köszönöm.

Előzmény: [3583] Lóczi Lajos, 2012-06-09 17:14:40
[3585] Renus882012-06-12 14:17:35

Hányféleképpen irhatók a Paralelepipedon szó betűi???

[3586] Renus882012-06-12 14:24:42

:D

Előzmény: [23] Csimby, 2003-11-05 18:21:35

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]