Fórum: Érdekes matekfeladatok

Nemrég eszembe jutott az alábbi feladat. Sajnos még bizonyítani és cáfolni sem tudom.

531. Adott egy valós, periodikus függvény, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete nem korlátos alulról és felülről sem. Bizonyítsuk (vagy cáfoljuk), hogy van olyan szám, mely nem eleme az értelmezési tartománynak.

Kifelejtettem valamit. A második mondat helyesen: Bizonyítsuk vagy cáfoljuk, hogy van olyan valós szám, mely nem eleme az értelmezési tartománynak.

Legyen f(x)=tg x ahol az utóbbi értelmes, 0 egyébként.

A feladatot elég félreérthetően fogalmaztam meg sajnos. A lényege az lenne, hogy azt bizonyítsuk vagy cáfoljuk, hogy minden valós, periodikus függvény esetén, ahol az értelmezési tartomány és az értékkészlet nem korlátos sem alulról, sem felülről van olyan valós szám, amely nem eleme az értelmezési tartománynak.

Erre többek között lentebbi f függvény cáfolat, mert értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza, továbbá 2-periodikus és mindenhol értelmezett.

A kérdésednek akkor van matematikai tartalma, ha megköveteled, hogy a függvény folytonos legyen.

Tibixe példája tökéletes ellenpélda, megcáfolja az állítást, azaz "létezik olyan periodikus függvény, amely mindenhol értelmezett, értékkészlete R".

Ha esetleg a folytonosságot is ki akarod kötni, akkor "olyan periodikus folytonos függvény nem létezik, amely mindenhol értelmezett, értékkészlete pedig R". Indirekten ugyanis ha lenne ilyen p periódusú f függvény, akkor annak az értékkészlete ugyanaz lenne, mint a [0,p] intervallumon (kompakt halmazon) felvett értékkészlete, ami folytonos függvény esetén szintén kompakt (korlátos és zárt), ezért nem lehet az a teljes R.

Biztosak vagytok benne, hogy tg(x) /2-ben értelmezett ?

Már vissza is vontam, a "0 egyébként" elkerülte a figyelmemet.

Sziasztok!

Tegnap jött egy ötlet, nem lett még belőle egzakt feladat. Azért leírom, hátha másnak is megindítja a fantáziáját.

Szóval induljunk ki egy 1 egység átmérőjű körből. Ebben van egy pontszerű hangya, és percenként véletlenszerűen (vagy direkt szívatós helyen) megjelenik egy-egy morzsa.

Ha a hangya sebessége legalább 1 egység/perc, akkor minden morzsát össze tud szedni, mielőtt a következő megjelenne.

Viszont mi van, ha a hangya lassabb? Tehát mennyire lehet kicsi a maximális sebessége, hogy egyszerre legfeljebb 2, 3 stb. morzsát engedhet meg a körön (minden darabszámra lehetne mondani egy korlátot).

Nem tudom, hogy van-e egyáltalán értelme az egésznek, sokat még nem gondolkodtam rajta, de hátha kijön belőle valami érdekes.

Megjegyzés: az ötletet a Plants vs. Zombies játék adta, amiben van egy Zen garden nevű rész, ahol a virágok pénzeket potyogtatnak, és egy csiga próbálja őket összeszedni (és a csiga csokival gyorsítható). Ha a csiga lassú, a pénzek elszaporodnak... Ezen kezdtem agyalni, hogy mennyire számít a csiga sebessége, és próbáltam "lecsupaszítani" a problémát.

Olyan Tom és Jerry tipusú feladat. igaz, ez pont a szabályos (n+1) szögben egy oldal hosszának a reciproka. Ezen pontokban jelenjenek meg a morzsák (egy csúcsban legfeljebb egy). Ha a fenti egyenlőtlenség nem teljesül, akkor 1 morzsa gyorsabban jelenik meg, mint ahogyan azt meg tudná enni a hangya (hiszen a szabályos sokszögben csúcsok közti legrövidebb távolság az oldal hossza). Így ekkor véges időn belül olyan helyzet lesz, hogy a hangya egy csúcsban van (éppen megette a morzsát), és a többi n csúcsban morzsa van. 1 percen belül morzsát teszünk le, de ne abba a csúcsba ahol a hangya éppen volt. Így egy morzsát sem tud elérni, és n+1 morzsa lesz a csúcsokban. (egyikben most kivételesen kettő).

n=1-re még pontos is a formula.