Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3365] stray dog

2010-11-23 12:56:09

Sziasztok!

Igazából nem tudom hogy ebbe a topicba való-e, de ezt találtam a megfelelőbbnek. Szóval anno még középiskolásként a következő feladattal találkoztam:

Igaz-e, hogy ha x₁,x₂,...,x_n tetsz. poz. valós számok, és n $\geq$ 3, akkor mindig fennáll a köv. egyenlőtlenség:

$\frac{x_1}{x_n + x_2} + \frac{x_2}{x_1 + x_3} \dots + \frac{x_{n-1}}{x_{n-2} + x_n} + \frac{x_n}{x_{n-1} + x_1} \geq \frac{n}{2}$

Az igazsághoz hozzátartozik még, hogy akkor nem tudtam megoldani. Most, hoszzú évek után, ismét kedvet kaptam egy kis matekozáshoz, de sajnos már nem rendelkezem a megfelelő ismerettel. Így a segítségeteket kérem. Az is jó, ha vki már látta a feladatot, és megadja, hogy hol érdemes utánanézni. Nekem úgy rémlik hogy a The American Mathematical Monthly-ban szerepelt még nagyon régen (60-as évek?), és akkor még mint megoldatlan probléma. Előre is köszönöm a segítséget! :)

[3366] D. Tamás	2010-11-23 18:11:41
n=3 esetén pont a Nesbitt-egyenlőtlenséget kapjuk, ami nevezetes. Egyébként a feladat igazolható a Titu-lemmával és a Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával.
Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09

[3367] Tóbi

2010-11-23 21:44:13

Ez pontosan az egyik kedvenc feladatom, pár éve magamtól vetettem fel, és hosszú agyalás után sikerült megoldani. Egy kis segítség a megoldáshoz:

$\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+3}+\frac{3}{2+2}+\frac{2}{3+1}+\frac{1}{2+1}=\frac{29}{12}<\frac{5}{2}$

Próbálj ellenpéldát találni minden n $\geq$ 5-re és bizonyítani n=3,4-re. Végül határozd meg a kifejezés lehetséges legkisebb értékét (infimum). (Itt nem írok végeredményt, hadd gondolkodjon más is.)

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09

[3368] jonas

2010-11-23 22:19:07

Ez a feladatcsokor a kedvencem, gonosz módon föladva. Ha így nehéz, kérhettek segítséget, mert tudok olyat mondani, ami még nem lő le mindent.

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre ha n és k paritása azonos, akkor

$c_{n,k} := \left(\binom{n}{(n-k)/2}-\binom{n}{(n-k-2)/2}\right),$

ha viszont n és k paritása különböző, akkor c_n,k:=0. Épüljön fel a C négyzetes mátrix ezekből az elemekből, vagyis valamilyen N méretre legyen

${\bf C} = \left(\matrix{ c_{0,0} & c_{0,1} & c_{0,2} & \dots & c_{0,N-1}\cr c_{1,0} & c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,N-1}\cr :\cr c_{N-1,0} & c_{N-1,1} & c_{N-1,2} & \dots & c_{N-1,N-1}\cr }\right)$

Legyen H=CC^T, azaz a H mátrix elemei

$h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}$

511. feladat Lássuk be, hogy a H visszafele csíkozott, azaz h_m,n függvénye m-n-nek. Például h_7,5=h_8,4=h_9,3=132.

512. feladat Mennyi H determinánsa?

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre U_n(x) az x-nek az az n-edfokú polinomja, amire U_n(cos $\theta$ )=sin ((n+1) $\theta$ )/sin $\theta$ (ezeket másodfajú Csebisev-polinomnak hívják), és legyen u_n,k az x^k együtthatója ebben a polinomban. Képezzük az u_n,k számokból is egy N méretű négyzetes U mátrixot.

513. feladat Számítsuk ki a CU szorzatot.

[3369] stray dog

2010-11-26 16:18:14

Köszönöm szépen!

Amúgy anno kihoztam hogy ha létezik vmelyik n-re ellenpélda, akkor minden m>n-re sem lehet igaz az állítás. Jelen esetben n=5, így minden 5-nél nagyobb értékre már nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [3367] Tóbi, 2010-11-23 21:44:13

[3370] Róbert Gida	2010-11-28 16:59:50
514. feladat Véletlenszerűen kitöltünk $\binom {90}{5}$ db ötöslottó szelvényt. Mennyi a valószínűsége, hogy lesz legalább egy öttalálatosunk?

[3371] Füge	2010-11-28 19:55:48
$p=1-\left(\frac{\binom{90}{5}-1}{\binom{90}{5}}\right)^\binom{90}{5}\approx 0,632$
Előzmény: [3370] Róbert Gida, 2010-11-28 16:59:50

[3372] Róbert Gida	2010-11-28 20:21:04
Helyes. Szép matematikai konstanssal mihez van közel a valószínűség?
Előzmény: [3371] Füge, 2010-11-28 19:55:48

[3373] R.R King	2010-11-28 21:23:52
1-1/e
Előzmény: [3372] Róbert Gida, 2010-11-28 20:21:04

[3374] Füge	2010-11-29 12:43:49
És ez miért van?

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?