Fórum: Érdekes matekfeladatok

Ez a kongruenciarendszer minden természetes számot lefed a 0-án kívül, tehát részleges lefedőrendszer. Változtassunk egy kicsit a szabályokon. Legyen az kongruenciáknak megfelelő számtani sorozatok első eleme , az kongruenciáknak megfelelőeknek pedig változatlanul .

Nevezzük az ilyen rendszereket, ahol a kongruenciáknak megfelelő számok sorozata nem a maradékosztályt reprezentáló legkisebb elemtől indul, számtani sorozatok lefedőrendszerének, ha minden természetes szám tagja legalább egy sorozatnak. Számtani sorozatok részleges lefedőrendszerének pedig akkor, ha létezik k>0 természetes szám, úgy, hogy a rendszer minden k-nál nagyobb számot lefed.

Utolsó kérdésem e témában: 1. Az így kapott számtani sorozatok rendszere részleges lefedőrendszer-e, vagyis a le nem fedett számok halmaza véges, avagy végtelen?

Mégegyszer elnézést kérek a témakör érdektelenségéért.

Erre majd később válaszolok, most nincs időm.

Nem, én azt állítom, hogy a következő egy lefedő rendszer:

x₀0(mod p₀)

x₁1(mod p₁)

x₂-1(mod p₂)

x₃2(mod p₃)

x₄-2(mod p₄)

x₅3(mod p₅)

stb, ahol p_i mondjuk a prímszámok sorozata.

Ez akkor is működik, ha mondjuk p_i=10ⁱ⁺¹: ilyenkor a kongruenciák közül bármelyik véges sok együtt csak a természetes számok legfeljebb egy kilenced részét fedi le, mégis az összes kongruencia együtt már lefedi az összes egész számot.

Két eset lehetséges:

1. a nem kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

ebből

a^p-11 (mod p),

ebből

a^pa (mod p).

2. a kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

ebből

ebből ugyancsak a kis Fermat-tételt kapjuk.

(Az előző megoldásom második része részben hibás).

Én arra jutottam, hogy a le nem fedett számok halmaza végtelen. Gondoltmenetem a következő:

Vonjuk össze az egy modulushoz tartozó számtani sorozatokat, így minden 3-nál nagyobb prímhez kapunk egy olyan számsorozatot, amelyben két differencia váltja egymást. Írjuk fel a sorokat egymás után képzeletben. A sorok táblázatba rendezhetőek, a táblázatban a számok a prímek szorzata egyhatodának alsó, vagy felső egészrészének felelnek meg. Ezt a táblázatot azt hiszem már jól ismerjük.

Ha a le nem fedett számok halmaza véges lenne, akkor létezne k természetes szám, hogy e szám nem, de minden nála nagyobb fedett. Ez csak úgy lehetséges, ha minden új sorozat legkisebb olyan tagja, amely eddig egyik sorozatnak sem volt tagja fedi a k után következő olyan számot, amelyet az előző sorozatok nem fedtek le, (remélem eddig érthetően fogalmaztam).

Jelölje a_n az n-edik le nem fedett számot, b_n pedig az n-edik sorozat azon legkisebb tagját, amely nem szerepelt egyik eddigi sorozatban sem. Mivel a táblázat a főátlóra szimmetrikus, ezért , ebből következik, hogy a_n<b_n, így soha nem fedheti, mert az a_n=b_n soha nem teljesül.

Jól következtettem? Eléggé tömören fogalmaztam, ha nem érthető, bővebben kifejtem.

A nem fedett számok egy nevezetes számsorozat tagjaival egyértelműen megfeleltethetőek .

Számomra inkább az érdekes, hogy ezzel a módszerrel primitív gyökök felhasználása nélkül is ilyen röviden be lehet bizonyítani azt, hogy a akkor és csak akkor kvadradikus maradék mod p, ha a^(p-1)/21(mod p), különben a^(p-1)/2-1.

(A kis Fermat-tétel párosítgatás és Wilson-tétel nélkül is kijön a szokásos bizonyítással: összeszorozzuk az a,2a,...,(p-1)a maradékokat.)

Újabb gondolkodnivaló. Legyen p egy 3k+1 alakú prím.

Használhatjuk-e a párosítgatás módszerét annak bizonyítására, hogy 1ap-1 akkor és csak akkor teljes köb -- kubikus maradék :-) --, azaz létezik olyan x egész, amire ax³ (mod p), ha a^(p-1)/31 (mod p)?

Sajnos a párosítgatás módszerével nem, de más úton sikerült belátnom, hogy ha p=3k-1 és aZ és 1ap-1, akkor minden a-hoz létezik x egész, hogy ax³ (mod p), ha pedig p=3k+1, a akkor, és csak akkor kubikus maradék, ha a^(p-1)/31 (mod p).

Lenne egy valószínűségszámítási probléma, amit a napokban kérdeztek tőlem, de még nem tudtam megoldani. Szeretném, ha valaki segítene.

Egy dobókockával n-szer dobunk, majd a dobások eredményét leírjuk egymás mellé. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokból képezett, adott elem k-as (k<n) pontosan egyszer előfordul az n hosszúságú számsorban?

Szerintem függ, hogy melyik az az adott elem k-as. Vegyük például azt a leegyszerűsített esetet, hogy a kockának két oldala van: 1,2 és n=3szor dobunk.

Azok a számsorok, melyekben az 11 elemkettes pontosan egyszer fordul elő: 112 és 211.

Azok a számsorok, melyekben a 12 elemkettes pontosan egyszer fordul elő: 112, 121, 122, 212.

A két eseménynek nem egyenlő a valószínűsége.