Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3248] bily712010-02-14 23:10:38

Tehát, ha jól értem azt állítod, hogy az

x1\equivm(mod p1)

x2\equivm(mod p2)

...

xn\equivm(mod pn)

végtelen kongruenciarendszer lefedőrendszer?

Szerintem nem.

Bármelyik számot fedem le az összes kongruenciával, az ugyanaz, mintha a 0-át fedném le. Az eratoszthenészi szita működik akkor is, ha nem a 0-ról indítjuk a lépéseket, hanem m-ről, hiszen minden modulus prím, csak ebben az esetben nem a pl. 5-tel osztható számokat húzzuk le, hanem m-től minden 5k-adik számot.

Ha pedig arra gondoltál, hogy minden kongruenciával másik számot fedünk le, azt egy esetként írtam le, vagyis a végtelen sok megoldást egy típusba soroltam.

De mi a helyzet akkor, ha minden 3-nál nagyobb prímet kétszer használunk fel, és ha a lefedett szám függ a modulustól, mint a következő rendszerben:

x1\equiv1(mod 5)

x2\equiv-1(mod 5)

x3\equiv1(mod 7)

x4\equiv-1(mod 7)

x5\equiv2(mod 11)

...

x_n\equiv\left[\frac{p_n}{6}\right](\mod{p_n})

x_{n+1}\equiv-\left[\frac{p_n}{6}\right](\mod{p_n}),

ahol ha pn=6k+1, akkor \left[\frac{p_n}{6}\right] az alsó egészrészt jelöli, ha pn=6k-1, akkor pedig a felsőt? Lehet-e ez a rendszer részleges lefedőrendszer, tehát létezik-e olyan természetes szám, hogy minden nála nagyobbat lefed a rendszer?

Előzmény: [3246] jonas, 2010-02-14 17:18:58
[3249] bily712010-02-14 23:19:10

Ez megoldható, legyen x1\equiv0(mod p1).

Előzmény: [3245] Róbert Gida, 2010-02-14 16:09:01
[3250] bily712010-02-14 23:27:08

Bocsánat, elírtam a második esetnél, tehát mégegyszer, helyesen: ha a2\equiv-1(mod p),

akkor (p-a)2\equiv-1(mod p).

Előzmény: [3247] bily71, 2010-02-14 22:12:36
[3251] Fálesz Mihály2010-02-15 10:16:11

Én pontosan fordítva szervezném a számolást:

1. eset: a -1 nem kvadradikus maradék mod p, azaz minden pár két különböző maradékból áll. A párok száma (p-1)/2. A Wilson-tételt is alkalmazva,


-1 \equiv (p-1)! = 
\bigg(1\cdot(p-1)\bigg)\cdot\bigg(2\cdot\frac{p-1}2\bigg)\cdot\dots
\equiv (-1)^{(p-1)/2}.~ ~(\mod p)
(1)

Mivel p>2, a +1 és -1 maradékok különbözőek, a -1\equiv(-1)(p-1)/2 (mod p) kongruencia akkor teljesül, ha (p-1)/2 páratlan, azaz p 4k+3 alakú.

2. eset: a -1 kvadradikus maradék mod p, azaz létezik egy a maradék, amire a2\equiv-1(mod p). Ilyen maradék a -a is, a két maradék külöböző, mert p páratlan, és több nincs.

Az (1)-beli szorzatból hagyjuk el a (a,a) és a (-a,-a) párokat, és helyettük vegyük hozzá a szorzathoz az (a,-a) párt (ahol a.(-a)=-a2\equiv+1(mod p)):

-1\equiv(p-1)!=(a.(-a)).(1.(p-1))....\equiv(-1)(p-3)/2.  (mod p)(2)

A -1\equiv(-1)(p-3)/2 (mod p) kongruencia akkor teljesül, ha (p-3)/2 páratlan, azaz p 4k+1 alakú.

Összességében az derült ki, hogy a -1 akkor és csak akkor kvadradikus maradék mod p, ha p 4k+1 alakú.

Előzmény: [3250] bily71, 2010-02-14 23:27:08
[3252] Fálesz Mihály2010-02-15 10:16:52

Következő gondolkodnivaló: Legyen most a egy 0-tól különböző maradék modulo p, és párosítsuk össze a modulo p maradékokat úgy, hogy minden párban a legyen a szorzat.

Előzmény: [3251] Fálesz Mihály, 2010-02-15 10:16:11
[3253] bily712010-02-16 20:04:32

Ez a kongruenciarendszer minden természetes számot lefed a 0-án kívül, tehát részleges lefedőrendszer. Változtassunk egy kicsit a szabályokon. Legyen az x_n\equiv\left[\frac{p_n}{6}\right]~(\mod{p_n}) kongruenciáknak megfelelő számtani sorozatok első eleme p_n+\left[\frac{p_n}{6}\right], az x_m\equiv-\left[\frac{p_m}{6}\right]~(\mod{p_m}) kongruenciáknak megfelelőeknek pedig változatlanul -\left[\frac{p_m}{6}\right].

Nevezzük az ilyen rendszereket, ahol a kongruenciáknak megfelelő számok sorozata nem a maradékosztályt reprezentáló legkisebb elemtől indul, számtani sorozatok lefedőrendszerének, ha minden természetes szám tagja legalább egy sorozatnak. Számtani sorozatok részleges lefedőrendszerének pedig akkor, ha létezik k>0 természetes szám, úgy, hogy a rendszer minden k-nál nagyobb számot lefed.

Utolsó kérdésem e témában: 1. Az így kapott számtani sorozatok rendszere részleges lefedőrendszer-e, vagyis a le nem fedett számok halmaza véges, avagy végtelen?

Mégegyszer elnézést kérek a témakör érdektelenségéért.

Előzmény: [3248] bily71, 2010-02-14 23:10:38
[3254] bily712010-02-16 20:06:05

Erre majd később válaszolok, most nincs időm.

Előzmény: [3252] Fálesz Mihály, 2010-02-15 10:16:52
[3255] jonas2010-02-16 20:54:36

Nem, én azt állítom, hogy a következő egy lefedő rendszer:

x0\equiv0(mod p0)

x1\equiv1(mod p1)

x2\equiv-1(mod p2)

x3\equiv2(mod p3)

x4\equiv-2(mod p4)

x5\equiv3(mod p5)

stb, ahol pi mondjuk a prímszámok sorozata.

Ez akkor is működik, ha mondjuk pi=10i+1: ilyenkor a kongruenciák közül bármelyik véges sok együtt csak a természetes számok legfeljebb egy kilenced részét fedi le, mégis az összes kongruencia együtt már lefedi az összes egész számot.

Előzmény: [3248] bily71, 2010-02-14 23:10:38
[3256] bily712010-02-17 23:30:28

Két eset lehetséges:

1. a nem kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1~(\mod{p}),

ebből

ap-1\equiv1 (mod p),

ebből

ap\equiva (mod p).

2. a kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

a^{\frac{p-3}{2}}(-a)\equiv-1~(\mod{p}),

ebből

a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1~(\mod{p}),

ebből ugyancsak a kis Fermat-tételt kapjuk.

(Az előző megoldásom második része részben hibás).

Előzmény: [3252] Fálesz Mihály, 2010-02-15 10:16:52
[3257] bily712010-02-18 21:45:01

Én arra jutottam, hogy a le nem fedett számok halmaza végtelen. Gondoltmenetem a következő:

Vonjuk össze az egy modulushoz tartozó számtani sorozatokat, így minden 3-nál nagyobb prímhez kapunk egy olyan számsorozatot, amelyben két differencia váltja egymást. Írjuk fel a sorokat egymás után képzeletben. A sorok táblázatba rendezhetőek, a táblázatban a számok a prímek szorzata egyhatodának alsó, vagy felső egészrészének felelnek meg. Ezt a táblázatot azt hiszem már jól ismerjük.

Ha a le nem fedett számok halmaza véges lenne, akkor létezne k természetes szám, hogy e szám nem, de minden nála nagyobb fedett. Ez csak úgy lehetséges, ha minden új sorozat legkisebb olyan tagja, amely eddig egyik sorozatnak sem volt tagja fedi a k után következő olyan számot, amelyet az előző sorozatok nem fedtek le, (remélem eddig érthetően fogalmaztam).

Jelölje an az n-edik le nem fedett számot, bn pedig az n-edik sorozat azon legkisebb tagját, amely nem szerepelt egyik eddigi sorozatban sem. Mivel a táblázat a főátlóra szimmetrikus, ezért a_n<\left[\frac{p_n^2}{6}\right]\le{b_n}, ebből következik, hogy an<bn, így soha nem fedheti, mert az an=bn soha nem teljesül.

Jól következtettem? Eléggé tömören fogalmaztam, ha nem érthető, bővebben kifejtem.

A nem fedett számok egy nevezetes számsorozat tagjaival egyértelműen megfeleltethetőek .

Előzmény: [3253] bily71, 2010-02-16 20:04:32

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]