Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3132] jonas	2009-12-27 21:49:07
Dehát G=(F+G)-G ezért $\lim G = \lim (F + G) - \lim G = 0$ , mivelhogy a jobb oldali két határérték létezik és véges. Az első határértékről a feladat kimondja, hogy véges.
Előzmény: [3131] Lóczi Lajos, 2009-12-27 21:34:18

[3133] Lóczi Lajos	2009-12-27 22:16:59
Persze, igazad van, a 3. és 4. kérdés most ekvivalens, hiszen az összeg limeszének végességét eleve tudjuk. (A hozzászólásodban nyilván az egyik G helyett F áll mindkét képletben.)
Előzmény: [3132] jonas, 2009-12-27 21:49:07

[3134] jonas

2009-12-27 23:31:05

Ha a $\lim_{x\to\infty} f'(x)$ határérték létezik, akkor biztosan nulla.

Bizonyítás indirekt módon. Ha a határérték nem nulla, akkor szimmetria miatt feltehetjük, hogy pozitív, ekkor van olyan 0<c és x₀ hogy minden x₀<x helyen c $\le$ f'(x). Mivel viszont a függvény mindenütt deriválható, a Newton-Leibniz szabály miatt $c (x - x_0) < \int_{x_0}^x f'(x) = f(x) - f(x_0)$ tartana a végtelenhez, ahogy x $\to$ $\infty$ . Az előbb elmondottak miatt viszont $\lim_{x\to\infty} f(x)$ létezik és véges, ami ellentmondás.

Azt azonban még nem tudom, hogy biztosan létezik-e a határérték.

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08

[3135] Lóczi Lajos	2009-12-28 00:03:42
De várj, van itt még más is. Honnan tudod, hogy f deriváltja integrálható?
Előzmény: [3134] jonas, 2009-12-27 23:31:05

[3136] lgdt	2009-12-28 03:10:38
Vegyünk egy olyan helyet, amitől felfelé a derivált legalább egy pozitív konstans. Alkalmazzuk a Langrange-féle középértéktételt a kiválasztott és az összes tőle jobbra lévő helyre: a függvény a kiválasztott ponton átmenő olyan egyenes felett van, melynek meredeksége az említett konstans.
Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42

[3137] jonas	2009-12-28 11:51:19
Igaz, ez tényleg hiányzik.
Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42

[3138] Cogito	2009-12-29 13:18:17


Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08

[3139] jenei.attila	2009-12-29 15:37:00
Hát ez azért így meredek. Szerinted, ha jól értem, lim f=lim f+f', ha f deriválható és x végtelenhez tart. Ezt nem hinném. A számlálóban egyáltalán nem biztos, hogy e^x*f(x) végtelenhez tart (pl. f=sin, vagy f 0-hoz tart, akkor bármi lehet a határérték).
Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17

[3140] Cogito

2009-12-29 16:23:34

A negyedik kérdésre adott "ellenpéldám" nem volt jó, mert ekkor A nem véges. Ez a kérdés tehát még megválaszolatlan.

Jenei Attila felvetésére később térek vissza.

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17

[3141] Lóczi Lajos

2009-12-29 23:39:34

Hármas ciklusra is van példa bőven: az első százezer pozitív egészt, mint kezdőértéket addig iterálva, amíg a C függvény ciklusba nem kerül, azt tapasztaljuk, hogy a 100000 kezdőérték közül 11467 db végződik előbb-utóbb fixpontban, 65638 db 2-es ciklusban, 22895 db pedig 3-as ciklusban.

A legkisebb kezdőérték, amelyből 3-as ciklusban végződik a rekurzió, az n=50.

Az tehát ebből a sejtés, hogy a 4-es és magasabb elemszámú ciklusok elég ritkák (ha egyáltalán vannak??).

Előzmény: [3117] Lóczi Lajos, 2009-12-20 00:57:06

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?