Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3369] stray dog

2010-11-26 16:18:14

Köszönöm szépen!

Amúgy anno kihoztam hogy ha létezik vmelyik n-re ellenpélda, akkor minden m>n-re sem lehet igaz az állítás. Jelen esetben n=5, így minden 5-nél nagyobb értékre már nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [3367] Tóbi, 2010-11-23 21:44:13

[3368] jonas

2010-11-23 22:19:07

Ez a feladatcsokor a kedvencem, gonosz módon föladva. Ha így nehéz, kérhettek segítséget, mert tudok olyat mondani, ami még nem lő le mindent.

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre ha n és k paritása azonos, akkor

$c_{n,k} := \left(\binom{n}{(n-k)/2}-\binom{n}{(n-k-2)/2}\right),$

ha viszont n és k paritása különböző, akkor c_n,k:=0. Épüljön fel a C négyzetes mátrix ezekből az elemekből, vagyis valamilyen N méretre legyen

${\bf C} = \left(\matrix{ c_{0,0} & c_{0,1} & c_{0,2} & \dots & c_{0,N-1}\cr c_{1,0} & c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,N-1}\cr :\cr c_{N-1,0} & c_{N-1,1} & c_{N-1,2} & \dots & c_{N-1,N-1}\cr }\right)$

Legyen H=CC^T, azaz a H mátrix elemei

$h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}$

511. feladat Lássuk be, hogy a H visszafele csíkozott, azaz h_m,n függvénye m-n-nek. Például h_7,5=h_8,4=h_9,3=132.

512. feladat Mennyi H determinánsa?

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre U_n(x) az x-nek az az n-edfokú polinomja, amire U_n(cos $\theta$ )=sin ((n+1) $\theta$ )/sin $\theta$ (ezeket másodfajú Csebisev-polinomnak hívják), és legyen u_n,k az x^k együtthatója ebben a polinomban. Képezzük az u_n,k számokból is egy N méretű négyzetes U mátrixot.

513. feladat Számítsuk ki a CU szorzatot.

[3367] Tóbi

2010-11-23 21:44:13

Ez pontosan az egyik kedvenc feladatom, pár éve magamtól vetettem fel, és hosszú agyalás után sikerült megoldani. Egy kis segítség a megoldáshoz:

$\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+3}+\frac{3}{2+2}+\frac{2}{3+1}+\frac{1}{2+1}=\frac{29}{12}<\frac{5}{2}$

Próbálj ellenpéldát találni minden n $\geq$ 5-re és bizonyítani n=3,4-re. Végül határozd meg a kifejezés lehetséges legkisebb értékét (infimum). (Itt nem írok végeredményt, hadd gondolkodjon más is.)

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09

[3366] D. Tamás	2010-11-23 18:11:41
n=3 esetén pont a Nesbitt-egyenlőtlenséget kapjuk, ami nevezetes. Egyébként a feladat igazolható a Titu-lemmával és a Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával.
Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09

[3365] stray dog

2010-11-23 12:56:09

Sziasztok!

Igazából nem tudom hogy ebbe a topicba való-e, de ezt találtam a megfelelőbbnek. Szóval anno még középiskolásként a következő feladattal találkoztam:

Igaz-e, hogy ha x₁,x₂,...,x_n tetsz. poz. valós számok, és n $\geq$ 3, akkor mindig fennáll a köv. egyenlőtlenség:

$\frac{x_1}{x_n + x_2} + \frac{x_2}{x_1 + x_3} \dots + \frac{x_{n-1}}{x_{n-2} + x_n} + \frac{x_n}{x_{n-1} + x_1} \geq \frac{n}{2}$

Az igazsághoz hozzátartozik még, hogy akkor nem tudtam megoldani. Most, hoszzú évek után, ismét kedvet kaptam egy kis matekozáshoz, de sajnos már nem rendelkezem a megfelelő ismerettel. Így a segítségeteket kérem. Az is jó, ha vki már látta a feladatot, és megadja, hogy hol érdemes utánanézni. Nekem úgy rémlik hogy a The American Mathematical Monthly-ban szerepelt még nagyon régen (60-as évek?), és akkor még mint megoldatlan probléma. Előre is köszönöm a segítséget! :)

[3364] Róbert Gida	2010-11-17 23:25:37
Igen, de KÖMAL megoldók (is) olvassák a fórumot. Nem tételeztem fel semmit.
Előzmény: [3363] nadorp, 2010-11-17 21:27:48

[3363] nadorp	2010-11-17 21:27:48
Nyugi, vissza a kardot. Egyrészt már nem vagyok KÖMAL megoldó, Te meg szerencsére nem vagy javító. Másrészt ez csak egy kiinduló ötlet. Valóban még bizonyítani kell, hogy a kapott gyök jó lesz ( bár azt már fel sem tételezted rólam,hogy tudom), amire tényleg jó módszer a konvergencia bizonyítása (pld. $a_1=\sqrt x$ , $a_n=\sqrt{x\cdot a_{n-1}}$ monoton és korlátos)
Előzmény: [3362] Róbert Gida, 2010-11-17 20:59:02

[3362] Róbert Gida	2010-11-17 20:59:02
Ez így elég pongyola. Nem indokoltad, hogy miért is lehet egy végtelen szorzatot csak úgy lecserélni. Négyzetre emeléssel hamis gyök is bejöhetett. De akár megoldást is elveszíthettél. Ha Kömal javító lennék simán kerek nulla pontot adnék egy ilyen megoldásra.
Előzmény: [3360] nadorp, 2010-11-17 15:42:56

[3361] jonas

2010-11-17 16:47:46

Egyetértek. Ugyanis

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x\dots}}} = \dots = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} \dots =$

=x^1/2^.x^1/4^.x^1/8^.x^1/16...=x^{1/2+1/4+1/8+...}=x

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00

[3360] nadorp

2010-11-17 15:42:56

Vagy mindkét oldalt négyzetre emelve

$x\sqrt{2010}=2010$

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?