Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1080] Lóczi Lajos2005-10-18 22:42:07

Kíváncsi vagyok, hogy csináltad abban az esetben, ha pl. f nem folytonos, mondjuk, megszámlálhatóan végtelen sok pontban szakad (persze szigorúan monoton növő).

Előzmény: [1079] nadorp, 2005-10-18 15:31:05
[1079] nadorp2005-10-18 15:31:05

Sőt,akkor is jó marad, ha f-ről csak annyit teszünk fel, hogy monoton [0,1]-en ( tehát semmi folytonosság,netán differenciálhatóság).

Előzmény: [1077] Lóczi Lajos, 2005-10-17 17:22:21
[1078] Sirpi2005-10-18 10:29:55

Na, ez a feladat nagyon tetszett, nem hallottam még korábban, csak mindenféle elcsépelt egyféle bábos felpakolásokat.

8x8-asra k=5, 10x10-re k=7 (tovább még nem volt időm vizsgálódni), mindkettőre van konstrukcióm, és könnyű látni, hogy többet nem lehet felrakni. Utóbbinak leírom a bizonyítását, ábrát egyelőre nem teszek fel.

Szóval ha egy nxn-es sakktáblára fel lehet tenni k db bástyát és futót egyszerre, akkor teljesülnie kell az (n-k)2\geqk egyenlőtlenségnek. Ez úgy jön ki, hogy a k db bástya mind külön sort és oszlopot kell, hogy elfoglaljon, így a futóknak már csak egy (nem feltétlen egybefüggő) (n-k)x(n-k)-s részrácson marad hely. Itt el kell férnie mind a k futónak, innen jön, hogy (n-k)2\geqk, ahonnan viszont adódik, hogy k \leq \frac{2n+1-\sqrt{4n+1}}2, ez pedig n=8-ra k \leq \frac{17-\sqrt{33}}2 < \frac{17-5}2 = 6, tehát ekkor k<6, vagyis k\leq5. Hasonlóan adódik n=10-re, hogy k\leq7.

Ez utóbbi nehezebb különben, mert míg 8-ra 5 db futónak kell elférnie egy 3x3-as területen, addig 10-re ugyanígy egy 3x3-as részre 7 futót kell bepréselni.

Előzmény: [1073] rizsesz, 2005-10-17 00:28:27
[1077] Lóczi Lajos2005-10-17 17:22:21

Ami jó is egyelőre :)

Előzmény: [1075] nadorp, 2005-10-17 14:08:39
[1075] nadorp2005-10-17 14:08:39

Egyelőre csak a végeredmény: p=f(\frac12)

Előzmény: [1072] Lóczi Lajos, 2005-10-16 23:36:48
[1074] rizsesz2005-10-17 00:30:35

Köszönöm, kijött időközben, és 109 :)

Előzmény: [1066] nadorp, 2005-09-14 16:19:56
[1073] rizsesz2005-10-17 00:28:27

201. feladat.

Adott egy 8*8-as sakktábla, és a k pozitív egész. Mekkora k maximális értéke, ha létezik hozzá olyan elrendezése k darab futónak és k darab bástyának egyazon sakktáblán, hogy egyik bábu sem üti a másikat?

[1072] Lóczi Lajos2005-10-16 23:36:48

200. feladat. Adjuk meg azt a p valós számot, amelyre az


\int_0^1 |f(x)-p|dx

integrál értéke minimális, ha

f(x)=1-e-x2.

[1071] jonas2005-09-14 21:38:33

Ezt véletlenül ismerem, mert egyszer javítottam a megoldásait.

a: Nem.

b: Csak a c3, f3, c6, f6 mezők valamelyikét hagyhatjuk el.

Három színnel átlósan kell színezni a sakktáblát (vagy lehet nem átlósan, hanem soronként is, úgy, hogy minden dominó alatt hárommal osztható összeg álljon).

Előzmény: [1065] Csimby, 2005-09-14 00:03:02
[1070] nadorp2005-09-14 20:50:04

Lehet, hogy több is van,nem gondoltam utána, de én "egy olyan ..."-t írtam és nem " pontosan egy olyan"-t.

Előzmény: [1069] hobbymatekos, 2005-09-14 20:20:12
[1069] hobbymatekos2005-09-14 20:20:12

Csak egy n és több nem?

Előzmény: [1066] nadorp, 2005-09-14 16:19:56
[1068] nadorp2005-09-14 16:46:49

Bocs: {...}-t akartam írni

[1067] nadorp2005-09-14 16:45:54

Lehet, hogy félreérthető a megfogalmazás:

a ... tört részt jelent.

[1066] nadorp2005-09-14 16:19:56

Szia Rizsesz !

A b) verziót szerintem a következőképpen lehetne értelmezni:

Legyenek n és k pozitív egészek és legyen

G_k=\frac{F_1}{10^n}+\frac{F_2}{10^{n-1}}+...F_k10^{k-n-1}=\sum_{i=1}^{k}F_i10^{i-n-1}

Bizonyítsuk be, hogy létezik egy olyan n pozitív egész és egy k1<k2<... indexsorozat, hogy a

\left\{\frac{G_{k_i}}{10^{k_i-n}}\right\} sorozat konvergens és határértéke egy prím reciproka.

Előzmény: [1060] rizsesz, 2005-09-11 16:52:33
[1065] Csimby2005-09-14 00:03:02

199.feladat A 8×8-as sakktábla egyik sarkából kivágunk egy 1×1-es négyzetet.

a. Lefedhető-e a megmaradt sakktábla 3×1-es téglalapokkal?

b. Ha a teljes sakktáblából akárhonnan kivághatunk egy 1×1-es négyzetet, honnan tegyük ezt meg ahhoz, hogy a megmaradt tábla lefedhető legyen 3×1-es téglalapokkal?

[1064] Sirpi2005-09-13 15:44:55

198. feladat: Mely pozitív egészek egyeznek meg 4 legkisebb pozitív osztójuk négyzetösszegével? Mi a helyzet 4 helyett 3-ra?

[1063] Káli gúla2005-09-12 22:06:21

Igen. Bár úgy talán szebb, ha az előállításhoz először két pozítív,

P = \frac{P^2 + P + 1}2 - \frac{P^2 - P + 1}2

aztán két monoton, aztán két konvex polinom különbségét mondunk.

Előzmény: [1062] jonas, 2005-09-12 21:42:51
[1062] jonas2005-09-12 21:42:51

Szerintem igen.

Ugyanis a polinom deriváltja is polinom, tehát folytonos, tehát lokálisan korlátos változású, tehát felírható két monoton növő függvény különbségeként. Ezeket tagonként határozatlanul integráljuk (a konstansra is vigyázva), és megkapjuk a polinomot két konvex függvény különbségeként.

Előzmény: [1061] Káli gúla, 2005-09-12 20:54:13
[1061] Káli gúla2005-09-12 20:54:13

Véges halmazokhoz:

197/a feladat. Igaz-e, hogy minden polinom felírható két konvex függvény különbségeként?

Előzmény: [1059] Lóczi Lajos, 2005-09-10 23:51:47
[1060] rizsesz2005-09-11 16:52:33

Kedves Lorantfy! A tesztversenyen volt az a Fibonacci számos feladat. annak van egy b., verziója, amibe még régebben ütköztem bele, de valahogy nem volt se füle, se farka :) Az a feladat, hogyha a Fibonacci sorozat elemeit egy-egy tizedeshellyel eltolva (akár balról jobbra, akár jobbról balra haladva) egymás alá írjuk és összeadjuk, akkor a sok szám összege végül ismétlődő szakaszokból fog állni, tehát olyan lesz, mint a végtelen szakaszos tizedestörtek. Sőt, nem csak olyan, hanem az is! Ha megfelelő helyre tesszük a tizedesvesszőt, akkor a két összeg éppen 1/A, illetve 1/B értékű lesz, ahol A és B prímszámok. Mennyi A értéke, ha jobbra tolva írjuk egymás alá az elemeket és mennyi B értéke, ha balra? A balra irány így néz ki valahogy:

00001

0001

002

03

5

Előzmény: [1050] lorantfy, 2005-09-02 16:35:32
[1059] Lóczi Lajos2005-09-10 23:51:47

197. feladat. Legyenek f és g az egész számegyenesen értelmezett konvex függvények, amelyek semelyik intervallumon sem esnek egybe. Legfeljebb hány megoldása lehet az f(x)=g(x) egyenletnek?

[1058] qer2005-09-10 14:15:30

Ez adta az ötletet: Bármely poliéderbe beirt gömb sugara: R=\frac{3V}A. Picit átrendezve: V=\frac{AR}3.

Van egy ehhez hasonló tétel a síkban is: Egy kör köré írt sokszög területe feleakkora, mint a sokszög kerületének és a kör sugarának a szorzata. Azaz: T=\frac{Kr}2.

Az analóg n dimenziós tételek igazak-e?

Előzmény: [1010] xviktor, 2005-08-13 01:19:00
[1057] Lóczi Lajos2005-09-05 22:24:07

Az ilyen típusú feladatoknál jól használható az alábbi azonosság (a megfelelő értelmezési tartományok figyelembe vételével):


{\sqrt{a \pm {\sqrt{b}}}}=\frac{{\sqrt{a +{\sqrt{a^2 - b}}}}}{{\sqrt{2}}} \pm 
  \frac{{\sqrt{a -{\sqrt{a^2 - b}}}}}{{\sqrt{2}}},

tehát ha a2-b négyzetszám, a dupla gyök mindig kiküszöbölhető.

Előzmény: [1056] Csimby, 2005-09-05 20:53:00
[1056] Csimby2005-09-05 20:53:00

196. feladat: Állítsuk elő két négyzetgyök összegeként:

\sqrt{17+\sqrt{240}}

[1055] CsG2005-09-04 12:43:29

Arra a feladatra amit küldtél:

4.:zöld, német, kávé, Princet, hal

Előzmény: [1051] Peti123, 2005-09-03 21:18:43

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]