Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[111] SchZol2003-11-29 21:44:23

November 28-án és 29-én került megrendezésre Zalaegerszegen az Izsák Imre Gyula komplex verseny. Íme a matematika példák a versenyről:

25.feladat: (A verseny 1. feladata)

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:

\frac{2x^2}{1+x^2}=y

\frac{2y^2}{1+y^2}=z

\frac{2z^2}{1+z^2}=x

[110] lorantfy2003-11-29 00:33:28

Kedves Nádor P. és Károly!

Köszönet a megoldásokért! Természetesen A=0, C=0 nem megengedett, mint az az ilyen feladatoknál lenni szokott. Gyakorlatilag megvan a megoldás - persze nem ártana ha valaki szépen összefoglalná. Külön köszönet a 24.c-ért. Én úgy gondoltam a további általánosítást, hogy a "tengelyesen szimmetrikus" számok 7-tel való oszthatóságát kellene vizsgálni, csak még nem volt időm rá.

Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24
[109] Hajba Károly2003-11-28 13:14:36

Kedves László!

A 24/a feladattal foglalkoztam egy kicsit, s mivel találtam rá példát, így a válasz: lehetséges (pl.: 168 - 861). Ha ragaszkodunk a háromjegyű számhoz, akkor |A-C|=7, tehát a számokpárok 1 és 8-cal ill. 2 és 9-cel kezdődhetnek.

(1) ABC -> 100*A+10*B+C=7*N

(2) CBA -> 100*C+10*B-C=7*M

(2)-(1) 99*(A-C)=7*(M-N)

Mivel 99 nem osztható 7-tel, továbbá M-N oszthatósága jelen esetben közömbös, így A-C mindenképpen osztható 7-tel. Ebből az is következik, hogy M-N osztható 99-cel.

Más a helyzet a 24/b feladattal. Ha a fenti levezetést minden n-re elvégezzük, találunk 7-tel osztható első számot pl.: 9009. Ekkor egyéb vizsgálatok is szükségesek, de most nincs időm rá.

HK

Ui.: A CBA egyes kis- és középboltok egyfajta országos tömörülése, felénk is van(/volt?).

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[108] nadorp2003-11-28 12:24:24

Kedves László !

Gondolom, a 24.b feladatban a kérdést úgy értetted, hogy bármely n-re léteznek-e megfelelő A,B,C számjegyek. Én arra jutottam, hogy ha megengeded az A=0 vagy C=0 eseteket, akkor csak n=6k+4 esetén nincs megoldás, ha nem, akkor n=6k és n=6k+4 esetén nincsenek megfelelő számok. A megoldás leírásával még várnék. Viszont csatlakoznék egy hasonló feladattal:

24.c feladat: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[107] lorantfy2003-11-28 00:45:42

24.a feladat: Legyenek ABC és CBA tizes számrendszerbeli számok, ahol A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy mindkét szám osztható 7-tel?

24.b feladat: Legyenek ABB...BBC és CBB...BBA tizes számrendszerbeli számok, ahol "A" és "C" számjegyek között n darab "B" számjegy áll és A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy bármely n-re mindkét szám osztható 7-tel?

Megjegyzés1: Sajnos felülvonást nem tudok húzni, ha valaki tud, kérem írja be a TeX témába!

Megjegyzés2: Mifelénk az ABC áruházakból CBA-k lesznek. Erről jutott eszembe ez a feladat.:-)

[106] Lóczi Lajos2003-11-25 19:14:24

Kedves Oroszgy,

Attila olyan kérdésre válaszolt (lásd lejjebb), ahol csak körző használata megengedett, tehát az "átló behúzása" nem, lévén, hogy nincs vonalzónk.

Előzmény: [105] oroszgy, 2003-11-25 15:09:39
[105] oroszgy2003-11-25 15:09:39

Kedves Jenei Attila!

gyök2(TeX még folyamatban...) hosszúságú szakaszt lehet kapni ha egy 1 egység oldalú négyzetnek behúzzuk az átlóját.

[104] lorantfy2003-11-24 12:00:57

Kedves Károly!

Köszönet a kimerítő megoldásért! Szépen rámutattál miért nem lehet 45 fokkal forgatni - minthogy a sarkokban csak páros számok állhatnak. (Én a tükrözésről megfeledkeztem.)

Előzmény: [103] Hajba Károly, 2003-11-24 10:08:25
[103] Hajba Károly2003-11-24 10:08:25

Megoldás a 23. feladatra:

Legyen (S) a négyzetbe írandó számok összege és (K) az egy sor-oszlop-átló összege. Végezzük el a következő műveletet:

A két átló kétszereséhez adjuk hozzá a középső oszlop és sort és vonjuk ki belőle a szélső oszlopokat és sorokat. Így egyrészről a középső elem 6-szorosát, mésrészről 2*K-t kaptunk. Tehát a középső elem \frac K3 ill. \frac S9 -cel egyenlő.

A mi esetünkben a középső szám 5 és K=15. Mivel mindkét szám páratlan, így az egy sor-oszlop-átlóba írandó másik két szám vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan. Továbbá az oszlopok és sorok szélső elemeinek összege páratlan, ez vagy 3 páratlan, vagy 2 páros és 1 páratlan szám összege. Ebből következik, hogy a 4 páros szám csak a sarkokba kerülhet.

A bűvös négyzetnél a nem egy sor-oszlop-átlóba írt 3 szám, mely egyéb keretfeltételeknek is megfelel, egyértelműen meghatározza a többi számot. Így a négy sarokszámot kétféle irányultsággal tudom beírni, hogy ne lehessen egymásba forgatni. Ha a tükrözéssel kialakult állapotot is azonosnak tekintjük, csak egy megoldás létezik. Tehát a megoldás az alábbi és a tükörképe:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Hajba Károly

Előzmény: [102] lorantfy, 2003-11-23 09:15:26
[102] lorantfy2003-11-23 09:15:26

23.a) feladat Írd be az 1,2,3,4,5,6,7,8,9 számokat egy 3x3 bűvös négyzetbe!

(Úgy, hogy a sorok, oszlopok és átlók összege is azonos legyen.)

.... . .
. .... .
. . ....

23.b) feladat Hányféle beírás lehetséges, ha az egymásba forgathatókat nem tekintjük különbözőnek?

(Elemi forgatás (45 fok): amikor a főátló (....) oszlopba, a másik sorba megy át.)

[101] Hajba Károly2003-11-21 13:46:46

Kedves Lajos!

A pozitív egész számok tartományában értelmeztem és a 2. sor első számának 1-gyel kell kezdődnie és legalább 2 jegyű. Továbbá mind a 8 összeg egyenlő.

László pontosítása után természetesen csak egy létezik. A középső száma: 107, összege: 321

Hajba Károly

Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19
[100] lorantfy2003-11-21 11:28:15

Kedves Lajos és Károly!

Elnézést, de elfelejtettem írni a BŰVÖS NÉGYZET-hez, hogy a pontok csak helykitöltő szerepet játszanak, különben összeesik a TeX tábla. Szóval gondom volt az üres rekeszekkel és így tudtam gyorsan megoldani. A beírt számok: 1, 19, 98. (Az 1 számjegy mellett szintén csak "helynövelő" a pont.)

Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19
[99] Lóczi Lajos2003-11-21 11:06:19

Kedves Onogur!

Attól függ, hogyan értjük a kérdést.

Pontosan milyen feltételekkel kaptál kilenc megoldást? Gondolom, a négyzet sor- és oszlopösszegei ugyanaz a szám, de a fő- és mellékátlók összege is ez? A pontok egy számjegyet jelölnek? Negatív értékek megengedettek?

Előzmény: [98] Hajba Károly, 2003-11-21 10:21:01
[98] Hajba Károly2003-11-21 10:21:01

Kedves László!

9 megoldás létezik rá, de hagyok mást is gondolkodni.

HK

Előzmény: [95] lorantfy, 2003-11-19 22:39:21
[97] SchZol2003-11-20 16:23:38

Kedves Suhanc!

Igen a nehezítésben meghagytam a feltételt, és van rá megoldásom! Egyébként, ha benézel a Biliárdgolyók és más méricskélős feladatok című téma alá, ott megtalálod Lorantfy megoldását.

Üdv, Zoli

Előzmény: [96] Suhanc, 2003-11-20 14:54:09
[96] Suhanc2003-11-20 14:54:09

Üdvözlet! Ha jól láttam, a 15. feladatra még senki nem írt megoldást. Van egy ötletem, de az megszegi azt a kikötést,ami még az 5. feladatban szerepelt, névszerint: minden ládában 1000 pénzérme van. Sch Zolitól kérdezném: a nehezítésben meghagytad ezt a feltételt? Ha igen, van megoldásod rá?

[95] lorantfy2003-11-19 22:39:21

Egy könnyed kis feladat. A 7. osztályos fiamnak volt valamelyik versenyen.

Töltsétek ki a bűvös négyzetet!

. 19 98
1 . . .
. . .
[94] jenei.attila2003-11-19 16:34:26

A \sqrt2 szerkesztésére egy egyszeű módszer: nyilvánvaló, hogy tetszőleges szakasznak könnyen tudjuk szerkeszteni egész számú többszörösét, \sqrt3-szorosát, és az inverz pont szerkesztésével egész hányadát. Tetszőleges r hosszúságú szakasz \sqrt{\frac{3}{2}}-szeresét a következőképpen szerkesztjük. O pontból r sugárral kört szerkesztünk, és O-tól r távolságra felvesszük az M pontot, valamint ugyanebben az irányban 2r-re felvesszük a P pontot. P középpontból 2r sugárral kört szerkesztünk, amely az előző kört Q pontban metszi. Könnyen kiszámolható, hogy QM=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot r. A megfelelő szerkesztésekkel \sqrt2=\sqrt3\cdot 2\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{3}.

[93] jenei.attila2003-11-19 13:00:17

Úgy gondolom, ez a feladat nem különbözik a négyzet szerkesztésétől, ugyanis mindkét esetben adott egység mellett a négyzetgyök(2) hosszúságú szakaszt kell megszerkeszteni csak körző segítségével. Bármelyik feladat megoldása megoldja a másikat is.

Előzmény: [92] Hajba Károly, 2003-11-19 00:54:04
[92] Hajba Károly2003-11-19 00:54:04

Nekem is van egy ehhez hasonló feladatom:

21. feladat: Adott egy kör, egyetlen körző segítségével negyedeljük el.

HK

Előzmény: [84] SchZol, 2003-11-17 17:14:16
[91] Kós Géza2003-11-18 22:50:54

A 18-szöges megoldást is nézzük meg, szerintem nagyon tanulságos.

A szabályos 18-szögnek két nagy előnye van. Az egyik, hogy az átlók és oldalak közötti szögek mindig a 10o többszörösei, ezért esélyünk van megtalálni a feladat ábráját az átlók között. A másik, hogy sok olyan pont van a belsejében, ahol nagyon sok átló megy át. Az ábrán az E egy ilyen pont.

Legyen E először csak az AM átmérő és DJ metszéspontja. A DJ tükörképe az AM egyenesre KG, tehát KG is átmegy E-n. A KG egy nagyon speciális átló, a hozzá tartozó középponti szög éppen 120o. Ebből következik, hogy az O és F pontok egymás tükörképei a KG átlóra. Az OM egyenes tükörképe a KG átlóra éppen FB, mert O tükörképe F, és az irányok is stimmelnek. Tehát FB is átmegy E-n. Végül HL az FB tükörképe az AM átmérőre, tehát ez is átmegy E-n.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[90] lorantfy2003-11-18 20:45:43

Kedves Péter Pál!

Gratulálok! Jó a megoldás. Annyi vari lehet, hogy az első menetben egy kannibál és egy fehérember megy át és a fehérember hozza vissza a csónakot. Én már előre megcsináltam táblázatban, hogy gyakoroljam a TeX táblát:

3K 3F
2K 2F F,K >
2K 2F < F K
3F K,K > K
3F < K 2K
K F F,F > 2K
K F < K,F K F
2K F,F> K F
2K < K 3F
K K,K > 3F
K < K K 3F
K,K > K 3F
3K 3F
Előzmény: [89] Pach Péter Pál, 2003-11-17 21:37:15
[89] Pach Péter Pál2003-11-17 21:37:15

Megoldást írok a 18. feladatra:

1. lépés: Átmegy két kannibál, egyikük a túlparton marad, másikuk visszahozza a csónakot.

2. lépés: Ugyanez még egyszer.

3. lépés: Átmegy két fehérember, egyikük ott marad, másikuk viszont egy kannibál társaságában visszatér.

4. lépés: Átkel a még hátralévő két fehérember, a túlparti kannibál visszaviszi a csónakot.

5-6. lépés: Most már csak az van hátra, hogy a kannibálok is átkeljenek. Először átkelnek ketten, majd egyikük visszmegy a harmadikért.

Könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kannibálok az átkelés során sosem kerültek többségbe. Ez azt jelenti, hogy mindannyiukat sikerült – épségben – átjuttatnunk a túlpartra.

Előzmény: [79] lorantfy, 2003-11-16 17:50:10
[88] Pach Péter Pál2003-11-17 21:34:00

Trükkös a megoldásod, BrickTop. Egyébként nem szükséges, hogy a két ponton átmenő egyenes is adott legyen. Leírok egy megoldást, ami csak a két pont (és természetesen a körző megfelelő használatának) ismeretét feltételezi

A 20. feladat II. megoldása következik: Könnyen bizonyítható, hogy körző segítségével (vonalzó nélkül) tudunk invertálni egy pontot egy olyan körre, aminek a középpontját is ismerjük. (Ezt először külső pontra érdemes belátni.) Aki nem ismeri, gondolkozzon el rajta.

A két pont, amihez négyzetet akarunk rajzolni, legyen A és B!(A keresett négyzet ABCD.) AB-hez háromszögrácsot rajzolva megkapjuk A tükörképét B-re: E-t. Most E-t invertáljuk az A középpontú, AB sugarú körre, a képe az AB szakasz felezőpontja, O lesz. Az O középpontú, \frac{AB}{2} sugarú kör legyen k. C-t megkaphatjuk a B középpontú, AB sugarú kör, és a B-ben AB egyenesére állított merőleges egyenes (egyik) metszéspontjként. Ha ezt a két alakzatot invertáljuk k-ra, akkor az egyenesből is kör lesz, és így már meg tudjuk szerkeszteni metszéspontjukat. A körünk képe az AE’ átmérőjű kör, ahol E’ az E pont képe, ugyanis O illeszkedik AE-re. (Ezt a kört meg tudjuk rajzolni, hiszen felezőpontját megszerkeszthetjük ugyanúgy, ahogy AB felezőpontját megszerkesztettük. Az egyenesünk képe a BO átmérőjű kör.

A két kapott kör metszéspontjai közül az egyik C’, vagyis C képe. Ha C’-t invertáljuk k-ra, akkor megkapjuk a keresett C pontot. Természetesen D ugyanígy kapható meg.

A 20. feladat speciális esete a Mohr-Mascheroni-tételnek, ami a következő állítást bizonyítja: „Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körző segítségével is.” Erről, és még számos híres matematikai problémáról olvashatunk Heinrich Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvében. (Szóval ez most egyben könyvajánlás is!) A könyvet egyébként az egyik matektanárunk, Hraskó András ajánlotta.

Előzmény: [87] BrickTop, 2003-11-17 20:48:41
[87] BrickTop2003-11-17 20:48:41

20. feladat, megoldás: Adott A és B pont.

1) A-ból és B-ből körívezünk AB-vel --> C metszéspont.

2) A-ból és C-ből körívezünk AB-vel --> D metszéspont.

3) A-ból és D-ből körívezünk AB-vel --> E metszéspont.

4) E-ből körívezünk BD-vel --> F metszéspont az AB szakaszon.

5) B-ből körívezünk BE-vel, D-ből körívezünk FB-vel --> G a két körív metszéspontja (a két körív valójában érinti egymást).

6) F-ből körívezünk EG-vel --> a keletkezett körív és a B középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet harmadik pontja, H.

7) H-ből körívezünk AB-vel :) --> a keletkezett körív és az A középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet negyedik pontja.

Kicsit több, mint egy éve jöttem rá erre a megoldásra. Most megprobáltam szerkesztéssel ellenőrizni, nem nagyon jött ki, de biztos azért, mert bénán szerkesztek. Elméletileg szerintem jó. Bizonyítást nem írtam, mert ha megvan az ábra, már nagyon egyszerű belátni, hogy a négyzet pontjait kapjuk. Ábrát nem készítettem, mert lusta voltam (órákig tartana egy ilyen ábrát megcsinálni az én programarzenálommal), és mert az ábra lelövi a poént. Így aki meg akarja oldani a feladatot, egyszerűen nem olvassa el a szerkesztés menetét.

Remélem nem néztem el semmit és nem vesztegettem el negyed órát egy hibás szerkesztés leírásával :)

Előzmény: [86] SchZol, 2003-11-17 20:07:20

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]