Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1131] nadorp2005-11-16 09:14:31

Igen, bocs. q=x+3yi+5yj+7yk

Előzmény: [1130] Lóczi Lajos, 2005-11-15 21:34:44
[1130] Lóczi Lajos2005-11-15 21:34:44

Nem, mindkét megoldás helyes (csak Péternél kimaradtak a bázisvektorok:).

Előzmény: [1129] nadorp, 2005-11-15 20:38:58
[1129] nadorp2005-11-15 20:38:58

Nem számoltad el ( legalábbis ketten vagyunk). Másik kvaterniós példa: q=x+3y+5y+7y, ahol x,y egészek ( ha én sem számoltam el)

Előzmény: [1128] ágica, 2005-11-15 19:28:31
[1128] ágica2005-11-15 19:28:31

Az olyan q=bi+cj+dk alakú kvaterniók a megoldások, melyekre b2+c2+d2=1 (b,c,d tetszőleges valós számok). Legalábbis ha nem számoltam el :)

Előzmény: [1116] Lóczi Lajos, 2005-11-13 14:24:37
[1127] Lóczi Lajos2005-11-14 19:31:31

Ami alatt azt érted nyilván, hogy az ember ilyenekkel nem sokra megy, hiszen az egyik végtelen szorzatot átkonvertálja egy ki nem számítható integrálba, illetve végtelen összegbe. :)

Inkább érdekesebbek pl. a becslések. Hagyjuk el a gyököt az egyszerűség kedvéért. Egy lehetséges approximáció, pl. 5-nél kettébontva:


\prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4^k}\right)=\prod_{k=0}^5 \left(1+\frac{1}{4^k}\right)\cdot \prod_{k=6}^\infty \left(1+\frac{1}{4^k}\right)\le


\frac{1455423125}{536870912}\cdot {\rm{exp}}\left({\sum_{k=6}^\infty \frac{1}{4^k}}\right)=\frac{1455423125}{536870912}\cdot e^{1/3072}<2.7118194,

felhasználva, hogy 1+x\leex minden valós x-re, továbbá a mértani sor összegképletét.

Egy alsó becslés pl.


\prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4^k}\right)>\prod_{k=0}^{11} \left(1+\frac{1}{4^k}\right)=\frac{7382273863761775568111978346806480703125}{2722258935367507707706996859454145691648}>2.7118191,

használva a monoton növekedést.

Előzmény: [1125] Róbert Gida, 2005-11-14 16:50:59
[1125] Róbert Gida2005-11-14 16:50:59

Zsabóka végtelen szorzatos feladatához: Nyilván elég i=1-től menni és a négyzetét vizsgálni, mert ha ez megvan, akkor könnyen megkapható az eredeti szorzat is. De ez éppen http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html oldalon található 43. formula spec. esete n=4-re. Nem tudom erre gondoltál-e. Nem a legszebb formula.

[1124] nadorp2005-11-14 14:33:37

Ezt sajnos elszámoltam, pontosabban az elv volt rossz.Ez a feladat összefügg a számok partícióinak a számával, én meg sajnos csak a kéttagú partíciókat vettem.A végeredmény az enyémnél több lesz.

Előzmény: [1123] Zsabóka, 2005-11-14 13:34:46
[1123] Zsabóka2005-11-14 13:34:46

Itt aztán gyorsan lebukik az ember -), hiba került a feladatba. Igazából:

\prod_{i=0}^\sim\sqrt{1+2^{-2i}}

lett volna a feladat. Ettöl perzse semmi nem lett könnyebb. De hogy jutottál az

\sqrt{\frac{61}{45}}

alakra ? Ez alapján az eredmény

\sqrt{\frac{122}{45}} = 2,71111

lenne.

Előzmény: [1122] nadorp, 2005-11-14 13:17:59
[1122] nadorp2005-11-14 13:17:59

Nálam \sqrt{\frac{61}{45}}=1,16428. Lehet, hogy elszámoltam,de ez durván a Lajos által kapott eredmény ( nem tudom, hány jegyig számolt)

Előzmény: [1120] Zsabóka, 2005-11-14 12:20:17
[1121] Lóczi Lajos2005-11-14 13:03:24

Én nem találtam rá semmilyen más alakot. Nekem a gép kb. 1.16444-et ad ki rá, a négyzete tehát nem nagyon e.

Előzmény: [1120] Zsabóka, 2005-11-14 12:20:17
[1120] Zsabóka2005-11-14 12:20:17

Keresett a következö szorzat értéke:

\prod_{i=1}^\infty\sqrt{1+2^{-2i}}

Van esetleg valami köze PI-hez, e-hez ( a négyzete majdnem e )?

[1119] Lóczi Lajos2005-11-13 17:47:08

Van még bőven megoldás...

Igazán remek kis összefoglalót állítottál össze :)

Előzmény: [1118] lorantfy, 2005-11-13 17:25:49
[1118] lorantfy2005-11-13 17:25:49

\pmi,\pmj,\pmk-n kívül van még megoldás?

Én már majdnem elfelejtettem mik ezek a kvaterniók, így hála Neked, most utána néztem.

A komlex számfogalom 4 dimes kiterjesztéséről van szó:

Ferde testekre ( ferde az olyan test, melyben a szorzás nem kommutatív ) az egyik legfontosabb példa a kvaterniók teste.

Az a+ib+jc+kd alakú kifejezéseket kvaternióknak nevezzük, ahol a,b,c,d tetszőleges valós számokat jelölnek az i,j,k szimbólumokra pedig teljesülnek az alábbi azonosságok

(I) i2=j2=k2=-1,

(II) ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j.

Kvaterniókra az összeadást az alábbi egyenlőség definiálja:

(a+ib+jc+kd)+(a`+ib`+jc`+kd`)=(a+a`)+i(b+b`)+j(c+c`)+k(d+d`).

A szorzást úgy végezzük el mint ahogy több tagot szokás többtaggal szorozni, figyelembe véve a (I),(II)-ben szereplő azonosságokat. Test axiómák teljesülése könnyen igazolható. A multiplikatív inverz létezésének igazolása sem nehéz, ha figyelembe vesszük, hogy:

(a+ib+jc+kd)[a+i(-b)+j(-c)+k(-d)]=a2+b2+c2+d2.

Előzmény: [1116] Lóczi Lajos, 2005-11-13 14:24:37
[1117] Lóczi Lajos2005-11-13 16:09:14

206. feladat. Keressük meg mindazokat a q=a+bi+cj+dk egész kvaterniókat (ahol tehát a,b,c,d valós egészek), melyekre

(2+3i+5j+7k)q=q(2+3i+5j+7k)

teljesül. (Szokás szerint i,j,k jelöli a kvaterniók báziselemeit.)

[1116] Lóczi Lajos2005-11-13 14:24:37

205. feladat. Oldjuk meg a kvaterniók körében a

q2+1=0

egyenletet!

[1115] Lóczi Lajos2005-11-13 14:07:37

Egy régi feladat átfogalmazása következzen:

204. feladat. Jelölje a komplex számok alábbi részhalmazát


H:=\{z\in C : \left|z+\frac{1}{z}\right|=1\}.

Mutassuk meg, hogy H korlátos. Adjuk meg továbbá azt az origó középpontú körgyűrűt, amely befedi a H halmazt és területe minimális.

[1114] Lóczi Lajos2005-11-04 21:55:36

203. feladat. Tekintsük a síkon azt a paraméteres görbét, amelyet a

t\mapsto(2t-sin t,2t+cos t)

hozzárendelés értelmez, ha t\in[0,\pi]. Van-e ennek a görbének inflexiós pontja (azaz olyan görbepont, amelyben a görbe érintője "átmetszi" a görbét)? Ha igen, hol?

[1113] Lóczi Lajos2005-11-03 22:20:08

Ötletes ez a lólépéses feladat. Matematikai tételeket fogalmaz meg az illető a sakktáblán? Izgalmasnak hangzik...

Előzmény: [1111] lorantfy, 2005-11-03 11:36:16
[1112] lorantfy2005-11-03 11:53:11

Már indítanám a programot, hogy megkeressem a többi megoldást, de sajnos Pascalban a longint csak 2 milliárdig bírja, így reménytelen a helyzet! :-)

Azért elég jól megmozgatta az emberek fantáziáját ez a feladat. Vagy 50 hozzászólás jött, ami ezzel kapcsolatos.

A Fermat könyv csak ezt az egy ellenpéldát említi az Euler sejtés cáfolataként.

Előzmény: [1110] Lóczi Lajos, 2005-11-02 20:23:27
[1111] lorantfy2005-11-03 11:36:16

Kedves Lajos!

A megoldásod rendben van. Az én hibám, hogy a feladat kitűzésénél nem fogalmaztam meg, hogy a megoldásnak a sakkal való kapcsolatát keressük.

Írjuk át az egyenletrendszert 2 dimes vektoregyenletre:

x \binom{+2}{+1}+y\binom{-1}{-2}+z\binom{+2}{-1}+t\binom{-1}{+2}=\binom{a}{b}

Egy végtelen sakktáblán a (0,0) mezőről el kell jutnunk az (a,b) pontba lólépésben.

Előzmény: [1108] Lóczi Lajos, 2005-11-02 20:15:53
[1110] Lóczi Lajos2005-11-02 20:23:27

Kedves László!

Még adós vagy az "ujjgyakorlatok" [341]-es hozzászólásában kitűzött egyenleted többi megoldásának közlésével :-) (Ír-e róla valamit a könyv?)

Előzmény: [1107] lorantfy, 2005-11-02 17:03:04
[1109] jonas2005-11-02 20:17:49

Ja, most már értem!

Előzmény: [1106] Káli gúla, 2005-11-02 08:01:59
[1108] Lóczi Lajos2005-11-02 20:15:53

Nem értem.

"Két egyenletünk van és 4 ismeretlen. Hát miért is ne lenne egész megoldás!"

Íme, egy példa, amikor 1 egyenlet és 4 ismeretlen van, mégsincs megoldás:

2x+2y+2z=2t+1.

Az általam felírt megoldások ekvivalensek az eredeti rendszerrel, tehát annak összes megoldása előállítható a megadott képlettel.

De most már én is kíváncsi vagyok a sakk-kapcsolatra :)

Előzmény: [1107] lorantfy, 2005-11-02 17:03:04
[1107] lorantfy2005-11-02 17:03:04

Két egyenletünk van és 4 ismeretlen. Hát miért is ne lenne egész megoldás! Nyugodtan megtehetjük, hogy egyik változót lefixáljuk, még akkor is mindig van egész megoldás a többire.

Végülis az az érdekesség benne, ha rájövünk, mi az összefüggés a feladat és a sakk között.

Káli gúlának sikerült! Grat!

Előzmény: [1104] Lóczi Lajos, 2005-11-01 22:43:28
[1106] Káli gúla2005-11-02 08:01:59

Reggelre rájöttem, hogy milyen könnyen lóvá teheti az embert egy feladat. Gratulálok, nagyon szép kérdés volt! (Mottó: Ha csak kalapácsod van, akkor minden feladat egy szög.)

Előzmény: [1105] Káli gúla, 2005-11-01 23:26:25

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]