Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[118] Gyuri2003-12-01 04:26:07

Kedves Laszlo!

Bizonyara az ejszakazasnak tudhato be a tevesztese.

A 24.c feladathoz pont az 1. pelda szolgaltat egy megoldast:

A=(1011+1).11-2.102=82644628100.

Hasonloan megoldas meg: (1011+1).11-2.i2 a kovetkezokre: i=4,5,6,7,8,9

A teljes megoldast ilyen koran mar nincs erom leirni...

Udv: Gyuri

Előzmény: [117] lorantfy, 2003-12-01 00:24:24
[117] lorantfy2003-12-01 00:24:24

Kedves Nádor P.!

Jó példát adtál. Remélem jó lesz a megoldás is!

Megoldás a 24.c feladatra: Eredeti szövege: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.

Az A-ból képezett „duplázott” szám: AA=k2. Legyen A „n” jegyű szám a 10-es számrendszerben, ekkor

AA=10nA+A=(10n+1)A=k2

A (10n+1)A minden prímtényezője páros (második) hatványon van és (10n+1)\geA.

Ebből az következik, hogy 10n+1-nek tartalmaznia kell legalább egy prímtényezőt második hatványon: p12, a többi páratlan (1) kitevőjű prímtényezőt pedig az A szám is tartalmazza, igy lesz a szorzat négyzetszám. Gondolnunk kell arra is, hogy A szám n jegyű.

Gyakorlatilag: \frac{10^n+1}{p_1^2}= A vagy 10n+1=p12A

Nézzük mi lehet ez a p1 prímtényező: 2 és 5 nyilván nem lehet, 3 és 9 nem lehet, mert a számjegyek összege 2.

Lehet 7 és 11. Többet nem is keresünk, ugyanis már ezek is túl nagyok.

Hiszen 10n+1-et 49-el vagy 121-el osztva, az A szám csak (n-1) illetve (n-2) jegyű lesz. Ami azt jelenti, hogy egy vagy két 0-t kéne elé írni, hogy „duplázáskor” a négyzetszám létrejöjjön. Ezt a feladat szövege nem engedi meg.

Így NINCS ilyen A szám!

Érthetőbbé válik a dolog, ha megnézünk egy-két példát, amikor a 0 számjegy segítségével teljesül a feltétel.

1.példa:

1011+1=112  23  4093  8779  \implies  A=23  4093  8779  

Szorzatuk:

  112  232  40932  87792

négyzetszám. A=826446281 - 9 jegyű szám, igy a szorzat: 82644628100826446281 – négyzetszám.

2.példa:

1021+1=72  11  13  127  2689  459691  909091

A=11  13  127  2689  459691  909091

Szorzatuk:

72  112  132  1272  26892  4596912  9090912

A=20408163265306122449 – 20 jegyű szám, kell elé egy 0-számjegy:

A négyzetszám: 20408163265306122449020408163265306122449

Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24
[116] Gyuri2003-12-01 00:12:04

Kedves Zoli!

A 25. feladat megoldasa:

ha valamelyik valtozo 0, akkor a tobbi is az. tehat ha valamelyik nem 0, akkor a tobbi sem lehet az. ekkor nyilvan mindegyik pozitiv kell legyen. az egyenletek osszeszorzasabol:

2\cdot2\cdot2=(x+\frac1x)\cdot(y+\frac1y)\cdot(z+\frac1z)

de ez csak x=y=z=1 eseten lehet, hisz a>0 eseten a+\frac1a\ge2 es egyenloseg csak a=1 eseten all fenn.

igy pontosan ket megoldas van.

udv: Gyuri

Előzmény: [111] SchZol, 2003-11-29 21:44:23
[115] Hajba Károly2003-11-30 01:41:05

Kedves Attila!

Abban igazad van, hogy mind 20. mind a 21. feladat megoldása a \sqrt{2} szerkesztése, de a két feladat végeredménye más. Nevezhetjük édestestvéreknek is. Az alábbi ábra mutatja a különbséget és egyben a szerkesztés egyszerűségét is. Nem kell invertálni sem.

HK

Előzmény: [93] jenei.attila, 2003-11-19 13:00:17
[114] SchZol2003-11-29 22:07:26

28.feladat: (A verseny 4. feladata)

Az ABCD húrnégyszögben AB=AD és az A csúcsnál lévő belső szög \alpha. Bizonyítsa be, hogy ha a húrnégyszög terültetét T jelöli, akkor

T=\frac{AC^2\cdot\sin\alpha}2

[113] SchZol2003-11-29 21:55:34

27.feladat: (A verseny 3. feladata)

Az egész együtthatós ax2+bx+c=0 másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van a (0;1) nyílt intervallumban. Bizonyítsa be, hogy akkor |a|\ge5

[112] SchZol2003-11-29 21:46:42

26.feladat (A verseny 2. feladata)

Legfeljebb hány részre oszthatja fel a síkot, a sík egy rögzített pontján áthaladó k darab kör és n darab egyenes, ha k és n pozitív egész szám? Határozza meg a részek maximális számát megadó R(k;n) függvényt!

[111] SchZol2003-11-29 21:44:23

November 28-án és 29-én került megrendezésre Zalaegerszegen az Izsák Imre Gyula komplex verseny. Íme a matematika példák a versenyről:

25.feladat: (A verseny 1. feladata)

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:

\frac{2x^2}{1+x^2}=y

\frac{2y^2}{1+y^2}=z

\frac{2z^2}{1+z^2}=x

[110] lorantfy2003-11-29 00:33:28

Kedves Nádor P. és Károly!

Köszönet a megoldásokért! Természetesen A=0, C=0 nem megengedett, mint az az ilyen feladatoknál lenni szokott. Gyakorlatilag megvan a megoldás - persze nem ártana ha valaki szépen összefoglalná. Külön köszönet a 24.c-ért. Én úgy gondoltam a további általánosítást, hogy a "tengelyesen szimmetrikus" számok 7-tel való oszthatóságát kellene vizsgálni, csak még nem volt időm rá.

Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24
[109] Hajba Károly2003-11-28 13:14:36

Kedves László!

A 24/a feladattal foglalkoztam egy kicsit, s mivel találtam rá példát, így a válasz: lehetséges (pl.: 168 - 861). Ha ragaszkodunk a háromjegyű számhoz, akkor |A-C|=7, tehát a számokpárok 1 és 8-cal ill. 2 és 9-cel kezdődhetnek.

(1) ABC -> 100*A+10*B+C=7*N

(2) CBA -> 100*C+10*B-C=7*M

(2)-(1) 99*(A-C)=7*(M-N)

Mivel 99 nem osztható 7-tel, továbbá M-N oszthatósága jelen esetben közömbös, így A-C mindenképpen osztható 7-tel. Ebből az is következik, hogy M-N osztható 99-cel.

Más a helyzet a 24/b feladattal. Ha a fenti levezetést minden n-re elvégezzük, találunk 7-tel osztható első számot pl.: 9009. Ekkor egyéb vizsgálatok is szükségesek, de most nincs időm rá.

HK

Ui.: A CBA egyes kis- és középboltok egyfajta országos tömörülése, felénk is van(/volt?).

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[108] nadorp2003-11-28 12:24:24

Kedves László !

Gondolom, a 24.b feladatban a kérdést úgy értetted, hogy bármely n-re léteznek-e megfelelő A,B,C számjegyek. Én arra jutottam, hogy ha megengeded az A=0 vagy C=0 eseteket, akkor csak n=6k+4 esetén nincs megoldás, ha nem, akkor n=6k és n=6k+4 esetén nincsenek megfelelő számok. A megoldás leírásával még várnék. Viszont csatlakoznék egy hasonló feladattal:

24.c feladat: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[107] lorantfy2003-11-28 00:45:42

24.a feladat: Legyenek ABC és CBA tizes számrendszerbeli számok, ahol A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy mindkét szám osztható 7-tel?

24.b feladat: Legyenek ABB...BBC és CBB...BBA tizes számrendszerbeli számok, ahol "A" és "C" számjegyek között n darab "B" számjegy áll és A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy bármely n-re mindkét szám osztható 7-tel?

Megjegyzés1: Sajnos felülvonást nem tudok húzni, ha valaki tud, kérem írja be a TeX témába!

Megjegyzés2: Mifelénk az ABC áruházakból CBA-k lesznek. Erről jutott eszembe ez a feladat.:-)

[106] Lóczi Lajos2003-11-25 19:14:24

Kedves Oroszgy,

Attila olyan kérdésre válaszolt (lásd lejjebb), ahol csak körző használata megengedett, tehát az "átló behúzása" nem, lévén, hogy nincs vonalzónk.

Előzmény: [105] oroszgy, 2003-11-25 15:09:39
[105] oroszgy2003-11-25 15:09:39

Kedves Jenei Attila!

gyök2(TeX még folyamatban...) hosszúságú szakaszt lehet kapni ha egy 1 egység oldalú négyzetnek behúzzuk az átlóját.

[104] lorantfy2003-11-24 12:00:57

Kedves Károly!

Köszönet a kimerítő megoldásért! Szépen rámutattál miért nem lehet 45 fokkal forgatni - minthogy a sarkokban csak páros számok állhatnak. (Én a tükrözésről megfeledkeztem.)

Előzmény: [103] Hajba Károly, 2003-11-24 10:08:25
[103] Hajba Károly2003-11-24 10:08:25

Megoldás a 23. feladatra:

Legyen (S) a négyzetbe írandó számok összege és (K) az egy sor-oszlop-átló összege. Végezzük el a következő műveletet:

A két átló kétszereséhez adjuk hozzá a középső oszlop és sort és vonjuk ki belőle a szélső oszlopokat és sorokat. Így egyrészről a középső elem 6-szorosát, mésrészről 2*K-t kaptunk. Tehát a középső elem \frac K3 ill. \frac S9 -cel egyenlő.

A mi esetünkben a középső szám 5 és K=15. Mivel mindkét szám páratlan, így az egy sor-oszlop-átlóba írandó másik két szám vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan. Továbbá az oszlopok és sorok szélső elemeinek összege páratlan, ez vagy 3 páratlan, vagy 2 páros és 1 páratlan szám összege. Ebből következik, hogy a 4 páros szám csak a sarkokba kerülhet.

A bűvös négyzetnél a nem egy sor-oszlop-átlóba írt 3 szám, mely egyéb keretfeltételeknek is megfelel, egyértelműen meghatározza a többi számot. Így a négy sarokszámot kétféle irányultsággal tudom beírni, hogy ne lehessen egymásba forgatni. Ha a tükrözéssel kialakult állapotot is azonosnak tekintjük, csak egy megoldás létezik. Tehát a megoldás az alábbi és a tükörképe:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Hajba Károly

Előzmény: [102] lorantfy, 2003-11-23 09:15:26
[102] lorantfy2003-11-23 09:15:26

23.a) feladat Írd be az 1,2,3,4,5,6,7,8,9 számokat egy 3x3 bűvös négyzetbe!

(Úgy, hogy a sorok, oszlopok és átlók összege is azonos legyen.)

.... . .
. .... .
. . ....

23.b) feladat Hányféle beírás lehetséges, ha az egymásba forgathatókat nem tekintjük különbözőnek?

(Elemi forgatás (45 fok): amikor a főátló (....) oszlopba, a másik sorba megy át.)

[101] Hajba Károly2003-11-21 13:46:46

Kedves Lajos!

A pozitív egész számok tartományában értelmeztem és a 2. sor első számának 1-gyel kell kezdődnie és legalább 2 jegyű. Továbbá mind a 8 összeg egyenlő.

László pontosítása után természetesen csak egy létezik. A középső száma: 107, összege: 321

Hajba Károly

Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19
[100] lorantfy2003-11-21 11:28:15

Kedves Lajos és Károly!

Elnézést, de elfelejtettem írni a BŰVÖS NÉGYZET-hez, hogy a pontok csak helykitöltő szerepet játszanak, különben összeesik a TeX tábla. Szóval gondom volt az üres rekeszekkel és így tudtam gyorsan megoldani. A beírt számok: 1, 19, 98. (Az 1 számjegy mellett szintén csak "helynövelő" a pont.)

Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19
[99] Lóczi Lajos2003-11-21 11:06:19

Kedves Onogur!

Attól függ, hogyan értjük a kérdést.

Pontosan milyen feltételekkel kaptál kilenc megoldást? Gondolom, a négyzet sor- és oszlopösszegei ugyanaz a szám, de a fő- és mellékátlók összege is ez? A pontok egy számjegyet jelölnek? Negatív értékek megengedettek?

Előzmény: [98] Hajba Károly, 2003-11-21 10:21:01
[98] Hajba Károly2003-11-21 10:21:01

Kedves László!

9 megoldás létezik rá, de hagyok mást is gondolkodni.

HK

Előzmény: [95] lorantfy, 2003-11-19 22:39:21
[97] SchZol2003-11-20 16:23:38

Kedves Suhanc!

Igen a nehezítésben meghagytam a feltételt, és van rá megoldásom! Egyébként, ha benézel a Biliárdgolyók és más méricskélős feladatok című téma alá, ott megtalálod Lorantfy megoldását.

Üdv, Zoli

Előzmény: [96] Suhanc, 2003-11-20 14:54:09
[96] Suhanc2003-11-20 14:54:09

Üdvözlet! Ha jól láttam, a 15. feladatra még senki nem írt megoldást. Van egy ötletem, de az megszegi azt a kikötést,ami még az 5. feladatban szerepelt, névszerint: minden ládában 1000 pénzérme van. Sch Zolitól kérdezném: a nehezítésben meghagytad ezt a feltételt? Ha igen, van megoldásod rá?

[95] lorantfy2003-11-19 22:39:21

Egy könnyed kis feladat. A 7. osztályos fiamnak volt valamelyik versenyen.

Töltsétek ki a bűvös négyzetet!

. 19 98
1 . . .
. . .
[94] jenei.attila2003-11-19 16:34:26

A \sqrt2 szerkesztésére egy egyszeű módszer: nyilvánvaló, hogy tetszőleges szakasznak könnyen tudjuk szerkeszteni egész számú többszörösét, \sqrt3-szorosát, és az inverz pont szerkesztésével egész hányadát. Tetszőleges r hosszúságú szakasz \sqrt{\frac{3}{2}}-szeresét a következőképpen szerkesztjük. O pontból r sugárral kört szerkesztünk, és O-tól r távolságra felvesszük az M pontot, valamint ugyanebben az irányban 2r-re felvesszük a P pontot. P középpontból 2r sugárral kört szerkesztünk, amely az előző kört Q pontban metszi. Könnyen kiszámolható, hogy QM=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot r. A megfelelő szerkesztésekkel \sqrt2=\sqrt3\cdot 2\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{3}.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]