Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1195] qer2006-03-15 14:43:59

218.feladatra: Először is legyen F egy tetszőleges felület, és \chi(F)=c-e+l (ahol c a felületen lévő csúcsok, e az élek, l a lapok száma). Nevezzük ezt mondjuk Euler-karakterisztikának. Az Euler-féle poliédertétel nyílván azt jelenti, hogy \chi(gömbfelület)=2.

Ezután vizsgáljuk a körlap Euler-karakterisztikáját. Ez nyílván egy pontból, egy hurokélből és egy lapból áll, azaz \chi(körlap)=1-1+1=1.Az könnyen látható, hogyha egy gömbfelületből kivágunk egy körlapot, akkor egy másik körlap marad.

Tórusz Euler karakterisztikáját (azaz k=1 esetre a kérdésre a választ) ugyanúgy számíthatjuk ki mint a körlapnál, azaz keresünk (egy lehetőleg minél egyszerűbb) felbontást. Vegyünk egy tóruszt, húzzunk be egy délkört, majd ottt vágjuk szét, de jegyezzük meg, hogy azok összetartoznak. Ha kiegyenesítjük, akkor egy hengerpalástot kapunk. Itt egy "magasság" mentén vágjuk szét a felületet, és ha kiegyenesítjük, akkor egy téglalapot kapunk, ahol a szemközti élek összetartoznak (azaz képzeletben összeragasztjuk őket). A két él egy pontban metszi egymást. Így \chi(tórusz)=1-2+1=0.

Hogy meghatározhassuk más k-ra is az értéket, először is vegyünk egy tetszőleges F felületet, majd vágjunk ki belőle egy körlapot, vizsgáljuk, hogyan változik az Euler-karakterisztikája. Nyílván, ha egy lapot távolítunk (ami olyan mintha egy körlapot), akkor eggyel kevesebb lapja lesz az F felületnek, azaz l helyett l-1-et kell venni, azaz eggyel csökken az Euler-karakteriszika.

Ha két felület adott (mondjuk F és G), mindkettőből eltávolítunk egy-egy körlapot, majd a körlapon úgy veszünk fel csúcsokat, hogy mindkettőn ugyanannyi számú legyen (ez nyílván nem változtatja meg az Euler-karakterisztiká, mivel egy új ponttal egy új él is keletkezik), és a csúcsokat és az éleket összeragasztjuk, akkor a keletkező felület Euler-karakterisztikája egyenlő lesz \chi(F)+\chi(G)-2-vel.

Tórsuz úgy kapunk ha egy gömböt és tóruszt összeragasztunk, így \chi(k=1)=2+0-2=0 (persze ez nem újdonság,az eredmény az lett, amit vártunk). k=2 eset a k=1-re kapott felületből származik, ha még egy tóruszt ragasztunk hozzá, így \chi(k=2)=0+0-2=(2+0-2)+0-2=2-2*(-2)=-2. Folytatva, tetszőleges k-ra, azt kapjuk, hogy \chi(k)=2-2k.

Előzmény: [1187] Csimby, 2006-03-13 19:56:42
[1194] Lóczi Lajos2006-03-14 23:58:40

Valóban, úgy tűnik, Volterra csinált először ilyet Riemann integrálra (ami után persze adtak később egyszerűbb példákat is). A konstrukció lényege, hogy a korlátos derivált (mértékelméleti szempontból) túl sok helyen szakad: egy "kövér" Cantor-halmazon, az ilyeneket pedig Riemann nem tudja visszaintegrálni.

A feladatban viszont nem mondtam meg, milyen integrált használjunk.

220. feladat. U. az, mint a 217. feladat, csak az integrált értsük Lebesgue értelemben.

Ez a feladat jóval könnyebb, mint a Riemannos megfelelője, és az előzetes integrálos kérdések pont ezt készítették elő.

Fontos adalék, hogy Lebesgue (1900-as évek eleje) után fél évszázaddal kidolgozták a Henstock-Kurzweil integrált, amelynek definíciója formailag alig különbözik Riemannétól, és azzal a jó tulajdonsággal bír, hogy minden [a,b] intervallumon értelmezett deriváltat vissza tud integrálni (tehát a 217. feladatbeli formulában mindig egyenlőség áll), sőt egyúttal minden, [a,b]-n Lebesgue-integrálható függvényt is tartalmaz. Ezt az integrálfogalmat nyugodtan lehetne Riemann helyett tanítani, mert a bizonyítások csak alig bonyolultabbak és cserébe sokkal többet kapunk.

Előzmény: [1191] nadorp, 2006-03-14 20:43:23
[1193] Lóczi Lajos2006-03-14 23:38:41

Pont ezekre a kis átalakítgatásokra gondoltam :)

Előzmény: [1192] ágica, 2006-03-14 22:50:28
[1192] ágica2006-03-14 22:50:28

Vagy pedig, mivel g(x) csupán egy 1/\pi-s szorzóban különbözik az n-edik Bessel-függvénytől, melyre szintén teljesül ugyanez a differenciálegyenlet, így megoldható a feladat a Bessel-függvényekre vonatkozó bizonyítással teljesen analóg módon is (g(x) deriváltját számolva, majd parciálisan integrálva egy kis alakítgatás után kijön az egyenlet).

Előzmény: [1189] Lóczi Lajos, 2006-03-13 22:50:30
[1191] nadorp2006-03-14 20:43:23

Két helyen is találtam példát, mindkettő Volterra konstrukcióját közli. Azt látja be, hogy létezik olyan [0,1]-en mindenhol differenciálható függvény, melynek derivált függvénye korlátos, de nem Riemann integrálható.

Előzmény: [1188] Lóczi Lajos, 2006-03-13 22:41:14
[1190] lgdt2006-03-14 02:02:55

kiegészítés: azt észreveszed, ha kinyírtad, végtelen sok időd van a lövöldözésre/csapkodásra.

Előzmény: [1183] lgdt, 2006-03-10 19:19:16
[1189] Lóczi Lajos2006-03-13 22:50:30

A deriválásokat elvégezve, ebben a feladatban nyilván csak annyit kell bizonyítani, hogy az y-szerinti integrálja 0-tól \pi-ig az alábbi kifejezésnek

\left( -n^2 + x^2 \right) \cos (ny - x\sin y) - 
x^2\cos (ny - x\sin y)\sin^2 y + 
  x\sin y\cdot  \sin (ny - x\sin y)

éppen nulla, ha n egész szám és x valós szám.

Előzmény: [1184] Lóczi Lajos, 2006-03-10 23:10:59
[1188] Lóczi Lajos2006-03-13 22:41:14

Trükkös. Akkor a következő kérdés természetesen az, hogy

Van-e példa vajon olyan F függvényre, ami a zárt [0,1] intervallumon mindenhol értelmezve van, mindenhol deriválható, de az idézett Newton-Leibniz-formula nem igaz rá?

Előzmény: [1186] ágica, 2006-03-13 19:39:06
[1187] Csimby2006-03-13 19:56:42

218. feladat Az Euler-féle poliéder-tétel ugyenbár csak "nem lyukas" testekre igaz. Hogy-néz ez ki "k lyukú testek" (k=1: tórusz, k=2: kengyel-felület) esetében?

219. feladat Adott a gömbön egy térkép országokkal és a fővárosaikkal. Vegyük azt a gráfot, aminek csúcsai a fővárosok, és két csúcsot pontosan akkor kötünk össze, ha a nekik megfelelő fővárosok országai határosak. Mondjunk olyan testet minden k-ra, hogy a testre lehessen olyan térképet rajzolni, amihez az előbbi módon definiált gráf a teljes k csúcsú gráf.

[1186] ágica2006-03-13 19:39:06

Hát, ha ér olyan példát mondani amire az egyenlőség már csak azért sem teljesülhet, mert a függvény nincs értelmezve nullában, akkor pl F(x)=ln x. :)

Előzmény: [1185] Lóczi Lajos, 2006-03-12 01:59:04
[1185] Lóczi Lajos2006-03-12 01:59:04

217. feladat. Adjunk példát (ha van) olyan F valós függvényre, amely deriválható az egész (0,1) intervallumon, de \int_0^1 f(x) dx\ne F(1)-F(0), ahol f=F'.

[1184] Lóczi Lajos2006-03-10 23:10:59

216. feladat. Legyen n egész szám, x pedig valós szám. Igazoljuk, hogy az

x2g''(x)+xg'(x)+(x2-n2)g(x)=0

(differenciál)egyenlet egy megoldása a

g(x):=\int_0 ^\pi \cos(n y-x \sin y) dy függvény.

[1183] lgdt2006-03-10 19:19:16

1. egy koordinátarendszerben egy láthatatlanul kicsi bolha minden másodperc elején mindig ugyanazzal az egész koordinátájú vektorral ugrik odébb (az origóból indul). tetszőleges egész koordinátájú pontjára lőhetsz minden másodperc végén.

2. a számegyenesen az origóból kiindulva mindig ugyanakkora valós számmal ugrik odébb. egy egységnyi szélességű vonalzóval csapkodhatsz minden ugrás után.

3. a síkon az origóból indulva mindig ugyanazzal a valós koordinátájú vektorral ugrik odébb, és egy négyzet alakú pecsét áll a rendelkezésedre.

Melyik esetben tudod kinyírni a bolhát és ha igen, hogyan?

Sorry a megfogalmazásért, valahogy így hangzott el előadáson is. Esetleg valaki átfogalmazhatná.

[1182] Lóczi Lajos2006-03-09 10:50:41

Én is így gondolom.

Előzmény: [1180] nadorp, 2006-03-09 00:11:07
[1181] Fálesz Mihály2006-03-09 10:15:52

A (c) feladatban nem nehéz felírni a primitív függvényt.

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21
[1180] nadorp2006-03-09 00:11:07

Csatlakozom Jonashoz. Ha egy függvény Lebesgue-integrálható, akkor ha jól tudom, az abszolútértéke is az. Ezért, ha k>0 egész és a<\frac\pi2 valós szám, akkor

\int_{\frac1{k\pi}}^{\frac1{(k+1)\pi}}\left|\frac1xsin\frac1x\right|dx=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\left|\frac{sin~x}x\right|dx>\int_{k\pi+a}^{(k+1)\pi-a}\left|\frac{sin~x}x\right|dx>(\pi-2a)\frac{|sin~a|}{(k+1)\pi-a}.

Ebből már "látszik", hogy a Lebesgue szerinti integrál nem létezhet, mert a harmonikus sor divergens. Visszatérve még az eredeti példára, az \int_0^1\frac1{x^\alpha}sin\frac1xdx Riemann improprius integrál - ha el nem számoltam - pontosan \alpha<2 esetén létezik

Előzmény: [1178] Lóczi Lajos, 2006-03-08 21:20:15
[1179] jonas2006-03-08 21:46:15

Gondolom, akkor a (b) sem létezik.

Előzmény: [1178] Lóczi Lajos, 2006-03-08 21:20:15
[1178] Lóczi Lajos2006-03-08 21:20:15

215. feladat. A kérdés ugyanaz, mint a 214-esben, csak az integrálokat ne improprius Riemann, hanem Lebesgue értelemben értsük.

[1177] lgdt2006-03-08 20:32:35

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1176] Lóczi Lajos2006-03-08 18:36:33

Persze, hogy jó, hiszen az abszolút konvergencia az improprius integrálok esetén is maga után vonja a konvergenciát (Cauchy-kritérium).

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1175] nadorp2006-03-08 16:17:05

b) Az y=\frac1x helyettesítéssel az integrál a következő alakú lesz

\int_1^{\infty}\frac{sin~y}ydy. Nyilván elég az \int_{2\pi}^{\infty}\frac{sin~y}ydy integrállal foglalkozni. Ezt a következőképpen érdemes felírni:

\sum_{k=1}^{\infty}\int_{2k\pi}^{(2k+2)\pi}\frac{sin~y}ydy=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}ydy+\int_{(2k+1)\pi}^{(2k+2)\pi}\frac{sin~y}ydy\right)=

=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}ydy-\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin~y}{y+\pi}dy\right).

Innen már sejthető, hogy a fenti összeg becsülhető a \sum\frac1{n^2} sorral, ami konvergens

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21
[1174] hobbymatekos2006-03-08 14:07:19

Vagyis én tévedtem el.

Előzmény: [1173] hobbymatekos, 2006-03-08 11:57:01
[1173] hobbymatekos2006-03-08 11:57:01

Rendben. Akkor egyetlen mondattal megjavitom azt a bizonyitást. Bizonyitás: kontradikció .... Qed A pontok közötti rész jó.

Előzmény: [1170] jenei.attila, 2006-03-07 11:15:33
[1172] nadorp2006-03-08 08:43:34

Szerintem jó ( bár ez nem jelent semmit). Sajnos b) és c) esetekre nem alkalmazható.

Előzmény: [1171] ágica, 2006-03-07 21:49:49
[1171] ágica2006-03-07 21:49:49

a)-ra egy ötlet, de nem tudom, hogy jó-e: mivel

\big|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x}\big|\le\frac{1}{\sqrt{x}},

és

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2,

ezért az eredeti integrál is véges.

Előzmény: [1169] Lóczi Lajos, 2006-03-07 00:25:21

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]