Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1220] Káli gúla2006-03-23 18:27:56

Szia. Elindulhatsz úgy is, hogy a kitevőbe írod a két kifejezést (a logaritmus oda való):

10lg15.lg15=15lg15=1,5lg15.10lg15=1,5lg15.15>1,5*15>22,5

10lg22=22

Tehát az első a nagyobb (mert 10A>10B-ből mindig következik, hogy A>B).

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1219] Hajba Károly2006-03-23 17:06:45

Üdv photo!

>UI.: megmondaná valaki hogy miért nem lehet hatványkaraktert meg aláhúzásjelet írni a fórumba? Előre is köszi O.F.

Lehet (^ _), csak tanulmányozd át a balra fent a TeX tanfolyamot!

Így kell beírnod:

^ = \ ^

_ = \ _

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1218] phantom_of_the_opera2006-03-23 11:46:01

Köszi, ez tetszett. Bár így tudnám én is megoldani ezeket!

Előzmény: [1217] nadorp, 2006-03-22 16:22:14
[1217] nadorp2006-03-22 16:22:14

lg15=lg\sqrt{225}>lg\sqrt{220}=\frac12lg220=\frac{lg22+1}2\geq\sqrt{lg22}

Az utolsó lépésben felhasználtuk a számtani és mértani közép közti összefüggést. Négyzetre emelve az állítást kapjuk.

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1216] phantom_of_the_opera2006-03-22 15:31:47

Sziaszok!

Van itt egy feladat amit órán nem nagyon tudtunk megoldani (a tanárral egyetemben). Hátha nektek sikerül.

Melyik a nagyobb (számológép nélkül)?

(lg(15))a négyzeten vagy lg22

UI.: megmondaná valaki hogy miért nem lehet hatványkaraktert meg aláhúzásjelet írni a fórumba? Előre is köszi O.F.

[1215] 25012006-03-22 03:50:31

Ha k=1-et k=0-ra javitod (kulonben mar n=1-re sem teljesul), es a 3-as helyebe (1+2)-t irsz, akkor a binomialis tetelbol kovetkezik az allitas. :)

Előzmény: [1214] Mumin, 2006-03-22 00:24:55
[1214] Mumin2006-03-22 00:24:55

224. feladat

\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}2^k=3^n

[1213] nadorp2006-03-21 20:09:06

Szerintem a példát az összes hozzászólásával együtt át kéne tenni a "Nehezebb matematikai problémák" közé ( Géza légy szíves ), de azért itt válaszolok, hogy egyben legyen.

Tekintsük az f(z)=\frac{z}{e^z-1} komplex függvényt. Integráljuk a (0,0),(R,0),(R,i\pi),(0,i\pi) (R>0) téglalap kerületén. A téglalap határán és belsején a függvénynek nincs pólusa ( a 0 sem pólus, mert ott folytonossá tehető), ezért a Cauchy integráltétel miatt az integrál 0. Ha most R\to\infty, akkor az (R,0),(R,i\pi) oldalon vett integrál tart 0-ba (itt felhasználjuk a komplex integrálra érvényes, G görbén vett |\int_Gf(z)dz|\leq|G|\max_G|f(z)| összefüggést). Ha a valós és képzetes részt szétválasztjuk - mindkettő 0 kell hogy legyen -, akkor a képzetes rész éppen \int_0^{\infty}\frac{\pi}{e^x+1}dx-\int_0^{\pi}\frac{x}2ctg\frac{x}2dx lesz. "Melléktermékként" a valós részből adódik, hogy

I_1+I_2=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx+\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x+1}dx=\frac{\pi^2}4. Mivel pedig

I_1-I_2=\frac{I_1}2, ezért I_1=\frac{\pi^2}6.

Az pedig ismert, hogy I_1=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}

Előzmény: [1212] Lóczi Lajos, 2006-03-20 21:33:00
[1212] Lóczi Lajos2006-03-20 21:33:00

Hm, köszönöm a javaslatot, erre eddig nem is gondoltam. Tehát parciális integrálással átírjuk (közben a kiintegrált részben limeszt képzünk, ami ugye 0*végtelen-típus), és marad a kotangenses rész. De ezzel mit csinálsz, milyen integrációs utat választasz?

(Én tegnap László példájánál is hasonló "komplex" utat követtem, de sehogyan sem jött ki eleinte a numerikusan megsejtett \pi2/4, aztán jöttem csak rá, hogy a transzformációm után benne maradó komplex arkusz-tangens függvény nem is analitikus a felső félsíkon -- az i-nél szingularitása van, de ez sem segített, mert a reziduuma nulla volt, és csak legvégül jöttem rá, hogy van egy "branch-cut" bemetszése is, ami i-től felfelé halad a képzetes tengelyen...kellemetlen mellékvágány volt.)

Az elemi trükkös megoldás lényege a logaritmusos feladatban pl. az, hogy \sin x=2 \sin \frac{x}{2}\cdot \cos\frac{x}{2}, majd használunk egy szimmetria-érvelést és egy lineáris helyettesítést az integrálban, amiből egy integrálegyenlet adódik a keresett integrálra, és az jön ki, amit írtál.

A vonalintegrálos megoldásod vázlatára kíváncsi vagyok.

Előzmény: [1209] nadorp, 2006-03-20 14:36:24
[1211] nadorp2006-03-20 18:21:05

Kedves Iván88 !

Van egy kis hiányosság. Egyrészt a p=7 nem az egyedüli megoldás. Másrészt a (2) lépésben, nem p=x, hanem p|x következik. Harmadrészt nem egyértelmű, hogy a 7p\equivp3 milyen modulusra vonatkozik.

Előzmény: [1210] Iván88, 2006-03-20 17:02:37
[1210] Iván882006-03-20 17:02:37

Kedves László!

Tetszik a feledat. A kis-Fermat tétel (ha p prím, akkor minden c egészre cp-c osztható p-vel) miatt 7x osztható p-vel.

Ez kétféleképpen lehet.

(1) p=7, ekkor x=361

(2) x=p, ekkor

3p-3=7p-p3

Mivel 7p\equivp3, így p=3.

Ez viszont nem megoldás, tehát p=7 és x=361

Előzmény: [1202] lorantfy, 2006-03-19 15:55:20
[1209] nadorp2006-03-20 14:36:24

Ez végülis a -\int_0^{\frac{\pi}2}xctgxdx integrál. Ezt sajnos csak komplex integrálokkal tudtam meghatározni (-\frac\pi2ln2), de biztos van valamilyen szép helyettesítés, ami gyanítom, hogy összefügg az \int_0^\infty\frac{x}{e^x-1}dx integrállal.

Előzmény: [1205] Lóczi Lajos, 2006-03-19 22:43:26
[1208] nadorp2006-03-20 10:54:50

Kezdők 1. forduló, 5. példa:

Oldjuk meg a következő egyenletet:

pq+qp=r, ahol p,q,r pozitív prímszámok

Előzmény: [1207] lorantfy, 2006-03-20 10:27:12
[1207] lorantfy2006-03-20 10:27:12

Mi volt az? Hol van fenn? Beírnád?

Előzmény: [1206] nadorp, 2006-03-20 08:20:43
[1206] nadorp2006-03-20 08:20:43

Ez a példa nem lehet az elődje a mostani Arany Dani 5-ik példájának ?

Előzmény: [1202] lorantfy, 2006-03-19 15:55:20
[1205] Lóczi Lajos2006-03-19 22:43:26

Erről jut eszembe a következő

223. feladat. Számítsuk ki az


\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)

integrált.

[1204] Lóczi Lajos2006-03-19 22:07:35

Szép feladat. Megoldásvázlat: végezzük el az y=\pi-x helyettesítést. Ekkor egy egyenletet kapunk az ismeretlen integrálra, ahol szerepelni fog egy másik integrál is, ami azonban elemien kiszámolható (egy arkusz tangenses összetettfüggvény-derivált). A végeredmény: \frac{\pi^2}{4}.

Előzmény: [1203] lorantfy, 2006-03-19 16:00:42
[1203] lorantfy2006-03-19 16:00:42

222. feladat: Számítsuk ki a következő határozott integrál értékét:

\int_0^{\pi} \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx

[1202] lorantfy2006-03-19 15:55:20

221. feladat: Oldjuk meg a p3+3p=7x+3 egyenletet, ahol p prímszám és az x egész szám.

(Műszaki főiskolák Hajós György matematika versenye 2003.)

[1201] lgdt2006-03-18 20:27:57

úgy látom, senkit sem hozott lázba a feladat, pedig érdekes. :-/ leírom a megoldást.

1. ki lehet nyírni, mert Zk (a k-dimenziós egész koordinátájú vektorok halmaza, ezek lehetnek a bolha stratégiái) és N között van egyértelmű megfeleltetés, és minden lövéssel ki tudunk zárni egy vektort, ha az n-edik másodpercben az n-edik vektor n-szeresére lövünk.

2. ki lehet nyírni, mert a stratégiák számegyeneséről az n-edik csapással egy \frac{1}{n} hosszúságú intervallumot zárunk ki, és \sum{\frac{1}{n}} nem konvergens.

3. megúszhatja, mert a stratégiák síkjáról az n-edik csapással egy \frac{1}{n^2} nagyságú területet zárunk ki, és \sum{\frac{1}{n^2}} konvergens.

Előzmény: [1183] lgdt, 2006-03-10 19:19:16
[1200] jonas2006-03-18 19:00:58

Másrészt 7-ig egy közönséges tórusz is megfelel.

Előzmény: [1199] qer, 2006-03-15 18:11:53
[1199] qer2006-03-15 18:11:53

Ezt nagyon elnéztem, k=5,6,7-re mind megfelel az egyoldalú, 0 Euler-karakterisztikájú felület (két projektív sik összege).

Előzmény: [1196] qer, 2006-03-15 16:13:23
[1198] Lóczi Lajos2006-03-15 17:51:28

Szép. Az \frac{1}{\pi} tényezőnek amúgy semmi más szerepe nincs, csak egy normáló tényező, hogy a Bessel-függvények integrálja 0-tól \infty-ig 1 legyen.

Előzmény: [1197] ágica, 2006-03-15 16:34:26
[1197] ágica2006-03-15 16:34:26

:)

g'(x)=\int_0^{\pi}\sin{(ny-x\sin{y})}\sin{y}dy

ez parciálisan integrálva:

[-\cos{y}\sin{(ny-x\sin{y})}]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}(n-x\cos{y})\cos{(ny-x\sin{y})}\cos{y}dy

itt az első tag nulla, a második tagot pedig felbonthatjuk két integrál különbségére:

n\int_0^{\pi}\cos{(ny-x\sin{y})}\cos{y}dy-x\int_0^{\pi}(1-\sin^2{y})\cos{(ny-x\sin{y})}dy

ennek második tagját még tovább bontva kapjuk:

n\int_0^{\pi}\cos{(ny-x\sin{y})}\cos{y}dy-xg(x)-xg''(x)

szorozzuk végig x-szel az egyenletet:

xg'(x)=nx\int_0^{\pi}\cos{(ny-x\sin{y})}\cos{y}dy-x^2g(x)-x^2g''(x)

az integrálos tagról könnyen belátható, hogy n2g(x)-el egyenlő, ugyanis:

nx\int_0^{\pi}\cos{(ny-x\sin{y})}\cos{y}dy-n^2g(x)=

=-n\int_0^{\pi}(n-x\cos{y})\cos{(ny-x\sin{y})}dy=

=-n[\sin{(ny-x\sin{y})}]_0^{\pi}=0

innen pedig már csak át kell rendezni.

Egyébként, lehet hogy hülye kérdés, de mi indokolta a Bessel-függvények definiálásakor azt az 1/\pi-s szorzót? (Mondjuk gondolom más "hasznuk" is van azon túl, hogy többek között ők is megoldják ezt a differenciálegyenletet.:)

Előzmény: [1193] Lóczi Lajos, 2006-03-14 23:38:41
[1196] qer2006-03-15 16:13:23

219.feladatra:

Ez csak egy sejtés, de talán jó. k=1,2,3-ra (szerintem érdektelen) de nyílván jó a gömbfelület. k=4-re is a gömbfelület jön ki, elég egy tetraédert vizsgálni. k=5,6,... értékekre szerintem egy egyoldalú rendre 0,-2,... Euler-karakterisztikájú felület a megfelelő.

Előzmény: [1187] Csimby, 2006-03-13 19:56:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]