Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1232] nadorp2006-04-06 12:56:08

Bocs, most ismerkedek a számokkal. Természetesen a 226.

Előzmény: [1231] Lóczi Lajos, 2006-04-06 12:40:35
[1231] Lóczi Lajos2006-04-06 12:40:35

:-) A 225. feladat vezethető vissza?

Előzmény: [1229] nadorp, 2006-04-06 11:33:45
[1230] Lóczi Lajos2006-04-06 12:39:21

A megoldás (ha létezik, a konvergenciát nem ellenőriztem) csak \frac{\pi}{2} \ln \frac{\alpha}{\beta} lehet.

(Utólag a Gyemidovics-példatárban megkeresve ez a 3792-es feladat, és ő Frullani-formulának hívja az általánosítást.)

Előzmény: [1229] nadorp, 2006-04-06 11:33:45
[1229] nadorp2006-04-06 11:33:45

Erről jutott eszembe a következő.

227.feladat. Adott pozitív \alpha,\beta esetén határozzuk meg az

\int_0^\infty\frac{arc~tg(\alpha{x})-arc~tg(\beta{x})}xdx

integrál értékét. ( A példa még tovább ragozható, az arc tg függvény helyett bizonyos differenciálható f függvényeket véve. A 225. feladat is visszavezethető ilyen típusú integrálra )

Előzmény: [1228] Lóczi Lajos, 2006-04-05 21:12:15
[1228] Lóczi Lajos2006-04-05 21:12:15

226. feladat. Adott nemnegatív \alpha esetén határozzuk meg az

\int_0^1 \frac{x^\alpha -1}{\ln x}dx

integrál értékét.

[1227] Fálesz Mihály2006-04-05 13:30:52

Legyen

 I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x~dx=
\int_0^{\pi/2}\ln\cos x~dx =
\int_0^{\pi/2}\ln\sin 2x~dx.

Akkor

 I = 
\int_0^{\pi/2}\ln\sin 2x~dx =
\int_0^{\pi/2}\ln\big(2\sin x\cos x\big)dx =

=
\int_0^{\pi/2}\big(\ln2+\ln\sin x+\ln\cos x)dx=
\frac\pi2\ln2 + I + I,

vagyis

I=-\frac\pi2\ln2.

Előzmény: [1224] hobbymatekos, 2006-04-02 16:56:40
[1226] hobbymatekos2006-04-02 20:27:12

Azaz adott speciálisan n db 1 es. Ebből kell sorrend nem számit az összes k adrendű k=0,....,n ismétléses kombinációk számát felirni. Akkor generátorfüggvény 
F(s)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}s^{k}=1\prod_{k=1}^{n}(1+s)=(1+s)^{n} Azaz:F(2)=3n

Előzmény: [1214] Mumin, 2006-03-22 00:24:55
[1225] hobbymatekos2006-04-02 17:07:21

1203 helyett 1206

Előzmény: [1224] hobbymatekos, 2006-04-02 16:56:40
[1224] hobbymatekos2006-04-02 16:56:40

Sziasztok

röviden 1203, 1210, 1213,1214 re:

Azt kell belátni, \int_0^{\pi/2}ln(\sin x)dx = \int_0^{\pi/2}ln(\cos x)= -{\frac{\pi}{2}}\ln 2

[1223] Káli gúla2006-03-30 00:29:20

Második megoldás: Az a+\frac1b =t-t átírjuk b=\frac1{t-a} alakba. Ugyanígy a=\frac1{t-c} és c=\frac1{t-b}. Ezeket az elsőbe beírva azt kapjuk, hogy b=\frac1{t-\frac1{t-\frac1{t-b}}}.

Másik kiindulást választva ugyanezt kapnánk a-ra is és c-re is. Ezeket olvashatjuk úgy, hogy az f(x)=\frac1{t-x} függvény harmadik iteráltjának három különböző fixpontja van. Mivel ez egy tört-lineáris függvény, ez csak úgy lehet, ha minden x-re f(f(f(x)))=x. Ebből azt kapjuk, hogy t-\frac1{t-\frac1{t-x}}=\frac1x. Az x=0-nál nézve a bal oldalon is a tört nevezőjének 0-nak kell lenni, azaz t=1/t. Tehát t=\pm1. Innen már egyszerű. Feltehetjük, hogy t pozitív (ha nem, akkor mindent a (-1)-szeresére cserélünk), tehát t=1. Vegyük pl. a két a-t tartalmazó eredeti egyenletet, szorozzuk a-val a c+1/a=1 mindkét oldalát: 1=a-ac, és ezt írjuk be a másikba: a+1/b=1=a-ac, ami átrendezve: 1 = -abc.

Előzmény: [1221] [evilcman], 2006-03-28 13:17:21
[1222] Lóczi Lajos2006-03-29 00:54:17

Egyszerűen adódik, hogy a=b-1/b+1/c=1/(b+1/c-c). Ezt tovább helyettesítve, valamint felhasználva az

(b-1/b+1/c)(b+1/c-c)-1=(b-c)(1-c+bc)(1+c+bc)/(bc2)

azonosságot b\nec figyelembevételével kapjuk, hogy b=(-1-c)/c vagy b=(-1+c)/c. Ki van tehát fejezve a és b mindegyike c-vel; mindkét esetben egyszerűen ellenőrizhető, hogy a+1/b=-abc\in{-1,+1}.

Előzmény: [1221] [evilcman], 2006-03-28 13:17:21
[1221] [evilcman]2006-03-28 13:17:21

225. feladat Az a,b,c különböző valós számokról tudjuk, hogy t=a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a Bb.: t=-abc

[1220] Káli gúla2006-03-23 18:27:56

Szia. Elindulhatsz úgy is, hogy a kitevőbe írod a két kifejezést (a logaritmus oda való):

10lg15.lg15=15lg15=1,5lg15.10lg15=1,5lg15.15>1,5*15>22,5

10lg22=22

Tehát az első a nagyobb (mert 10A>10B-ből mindig következik, hogy A>B).

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1219] Hajba Károly2006-03-23 17:06:45

Üdv photo!

>UI.: megmondaná valaki hogy miért nem lehet hatványkaraktert meg aláhúzásjelet írni a fórumba? Előre is köszi O.F.

Lehet (^ _), csak tanulmányozd át a balra fent a TeX tanfolyamot!

Így kell beírnod:

^ = \ ^

_ = \ _

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1218] phantom_of_the_opera2006-03-23 11:46:01

Köszi, ez tetszett. Bár így tudnám én is megoldani ezeket!

Előzmény: [1217] nadorp, 2006-03-22 16:22:14
[1217] nadorp2006-03-22 16:22:14

lg15=lg\sqrt{225}>lg\sqrt{220}=\frac12lg220=\frac{lg22+1}2\geq\sqrt{lg22}

Az utolsó lépésben felhasználtuk a számtani és mértani közép közti összefüggést. Négyzetre emelve az állítást kapjuk.

Előzmény: [1216] phantom_of_the_opera, 2006-03-22 15:31:47
[1216] phantom_of_the_opera2006-03-22 15:31:47

Sziaszok!

Van itt egy feladat amit órán nem nagyon tudtunk megoldani (a tanárral egyetemben). Hátha nektek sikerül.

Melyik a nagyobb (számológép nélkül)?

(lg(15))a négyzeten vagy lg22

UI.: megmondaná valaki hogy miért nem lehet hatványkaraktert meg aláhúzásjelet írni a fórumba? Előre is köszi O.F.

[1215] 25012006-03-22 03:50:31

Ha k=1-et k=0-ra javitod (kulonben mar n=1-re sem teljesul), es a 3-as helyebe (1+2)-t irsz, akkor a binomialis tetelbol kovetkezik az allitas. :)

Előzmény: [1214] Mumin, 2006-03-22 00:24:55
[1214] Mumin2006-03-22 00:24:55

224. feladat

\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}2^k=3^n

[1213] nadorp2006-03-21 20:09:06

Szerintem a példát az összes hozzászólásával együtt át kéne tenni a "Nehezebb matematikai problémák" közé ( Géza légy szíves ), de azért itt válaszolok, hogy egyben legyen.

Tekintsük az f(z)=\frac{z}{e^z-1} komplex függvényt. Integráljuk a (0,0),(R,0),(R,i\pi),(0,i\pi) (R>0) téglalap kerületén. A téglalap határán és belsején a függvénynek nincs pólusa ( a 0 sem pólus, mert ott folytonossá tehető), ezért a Cauchy integráltétel miatt az integrál 0. Ha most R\to\infty, akkor az (R,0),(R,i\pi) oldalon vett integrál tart 0-ba (itt felhasználjuk a komplex integrálra érvényes, G görbén vett |\int_Gf(z)dz|\leq|G|\max_G|f(z)| összefüggést). Ha a valós és képzetes részt szétválasztjuk - mindkettő 0 kell hogy legyen -, akkor a képzetes rész éppen \int_0^{\infty}\frac{\pi}{e^x+1}dx-\int_0^{\pi}\frac{x}2ctg\frac{x}2dx lesz. "Melléktermékként" a valós részből adódik, hogy

I_1+I_2=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx+\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x+1}dx=\frac{\pi^2}4. Mivel pedig

I_1-I_2=\frac{I_1}2, ezért I_1=\frac{\pi^2}6.

Az pedig ismert, hogy I_1=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}

Előzmény: [1212] Lóczi Lajos, 2006-03-20 21:33:00
[1212] Lóczi Lajos2006-03-20 21:33:00

Hm, köszönöm a javaslatot, erre eddig nem is gondoltam. Tehát parciális integrálással átírjuk (közben a kiintegrált részben limeszt képzünk, ami ugye 0*végtelen-típus), és marad a kotangenses rész. De ezzel mit csinálsz, milyen integrációs utat választasz?

(Én tegnap László példájánál is hasonló "komplex" utat követtem, de sehogyan sem jött ki eleinte a numerikusan megsejtett \pi2/4, aztán jöttem csak rá, hogy a transzformációm után benne maradó komplex arkusz-tangens függvény nem is analitikus a felső félsíkon -- az i-nél szingularitása van, de ez sem segített, mert a reziduuma nulla volt, és csak legvégül jöttem rá, hogy van egy "branch-cut" bemetszése is, ami i-től felfelé halad a képzetes tengelyen...kellemetlen mellékvágány volt.)

Az elemi trükkös megoldás lényege a logaritmusos feladatban pl. az, hogy \sin x=2 \sin \frac{x}{2}\cdot \cos\frac{x}{2}, majd használunk egy szimmetria-érvelést és egy lineáris helyettesítést az integrálban, amiből egy integrálegyenlet adódik a keresett integrálra, és az jön ki, amit írtál.

A vonalintegrálos megoldásod vázlatára kíváncsi vagyok.

Előzmény: [1209] nadorp, 2006-03-20 14:36:24
[1211] nadorp2006-03-20 18:21:05

Kedves Iván88 !

Van egy kis hiányosság. Egyrészt a p=7 nem az egyedüli megoldás. Másrészt a (2) lépésben, nem p=x, hanem p|x következik. Harmadrészt nem egyértelmű, hogy a 7p\equivp3 milyen modulusra vonatkozik.

Előzmény: [1210] Iván88, 2006-03-20 17:02:37
[1210] Iván882006-03-20 17:02:37

Kedves László!

Tetszik a feledat. A kis-Fermat tétel (ha p prím, akkor minden c egészre cp-c osztható p-vel) miatt 7x osztható p-vel.

Ez kétféleképpen lehet.

(1) p=7, ekkor x=361

(2) x=p, ekkor

3p-3=7p-p3

Mivel 7p\equivp3, így p=3.

Ez viszont nem megoldás, tehát p=7 és x=361

Előzmény: [1202] lorantfy, 2006-03-19 15:55:20
[1209] nadorp2006-03-20 14:36:24

Ez végülis a -\int_0^{\frac{\pi}2}xctgxdx integrál. Ezt sajnos csak komplex integrálokkal tudtam meghatározni (-\frac\pi2ln2), de biztos van valamilyen szép helyettesítés, ami gyanítom, hogy összefügg az \int_0^\infty\frac{x}{e^x-1}dx integrállal.

Előzmény: [1205] Lóczi Lajos, 2006-03-19 22:43:26
[1208] nadorp2006-03-20 10:54:50

Kezdők 1. forduló, 5. példa:

Oldjuk meg a következő egyenletet:

pq+qp=r, ahol p,q,r pozitív prímszámok

Előzmény: [1207] lorantfy, 2006-03-20 10:27:12

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]