Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1250] Lóczi Lajos2006-04-27 12:21:52

Valóban. Amúgy erre japán középiskolások jöttek rá pár éve, miközben Mathematica-val játszottak és sorra nézték, mennyi (a+b)n. Amikor n nagyobb, akkor egy sorba már nem fér ki az eredmény, sőt, kb. egy tag lesz egy sor. A képernyőt lefelé görgetve adódott a sejtésük, tehát igazi kísérleti matematikai eredmény ez :)

Előzmény: [1249] nadorp, 2006-04-26 14:29:38
[1249] nadorp2006-04-26 14:29:38

Először valami Gauss-görbéhez hasonlót vártam, ehelyett az f(x)=-xlgx-(1-x)lg(1-x)függvény jött ki.

Előzmény: [1248] Lóczi Lajos, 2006-04-24 02:40:11
[1248] Lóczi Lajos2006-04-24 02:40:11

231. feladat.

Határértékben milyen alakúak az egymás alá írt binomiális együtthatók 10-es számrendszerben?

Pontosabban fogalmazva: valamely n pozitív egész esetén írjuk egymás alá az (a+b)n kifejtésekor kapott együtthatókat, pl. n=16 esetén

1

16

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

4368

1820

560

120

16

1

(Készítsük ezt el nagyobb és nagyobb n-ekre is.) Ha most fejünket 90 fokkal jobbra döntjük és hunyorítunk, egy lapos oszlopsor rajzolódik ki az ábrán. Adjuk meg ennek a pontos alakját, ha n tart a végtelenbe.

A konkrétság kedvéért még pontosabban fogalmazva ("normálva"): tegyük át az ábrát a szokásos koordinátarendszerbe, úgy, hogy a [0,1] szakaszt n egyenlő részre felosztjuk, majd a k-adik (k=0,1,2,...,n) osztópontnál felmérjük azt a törtet, melynek nevezője éppen n, számlálója pedig \binom{n}{k} 10-es számrendszerbeli jegyeinek száma. Így egy véges ponthalmazt nyerünk [0,1] felett minden egyes n esetén. Kérdés tehát, hogy e ponthalmaznak mi lesz a határértéke. Válaszként egy [0,1]\toR valós függvényt várok.

[1247] Csimby2006-04-22 00:07:26

230. feladat Bizonyítsuk be, hogy:

a.) ha 2p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.

b.) ha 3p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.

(p prím)

[1246] Lóczi Lajos2006-04-08 23:05:50

229. feladat.

a.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett nem létezik az \int\int_{[a,b]\times[c,d]} f kettős Riemann-integrál a téglalapon, de létezik az \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy iterált kétszeres integrál.

b.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett létezik az \int\int_{[a,b]\times[c,d]} f kettős Riemann-integrál a téglalapon, de nem létezik az \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy iterált kétszeres integrál.

c.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett léteznek ugyan az \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy és \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y) dy \right)dx iterált kétszeres integrálok, de nem egyenlőek.

[1245] Lóczi Lajos2006-04-08 22:04:46

Sajnos nem világos még mindig. Veszem az f(x)=1, g(x)=x.arctg(cos x) párt. Felírom: \int f dg=[fg]-\int g df. Itt a jobboldali integrál 0 lesz az \int g df=\int g f' dx azonosság miatt.

Hogyan marad tehát bent a jobb oldalon a bal oldali integrál, honnan jön a többi tag és a 2-es szorzók?

Előzmény: [1244] hobbymatekos, 2006-04-08 18:11:15
[1244] hobbymatekos2006-04-08 18:11:15

Valamint  \int_a^b fdg = \int_a^b f g`dx Az első formula amit felirtál a két fv. felcserélése, ez pedig a d(*) cseréje.

Előzmény: [1243] Lóczi Lajos, 2006-04-08 15:04:38
[1243] Lóczi Lajos2006-04-08 15:04:38

Nem egészen értem, hogyan jöttek ki ezek a formuláid. Gondolom, a parciális integrálás képletét használod benne:

\int_a^b f dg=[f g]_a^b-\int_a^b g df.

Hogyan lesz ebből az, amit írtál?

Amúgy ezzel a gondolatmenettel a Riemann-Stieltjes integrál teljesen kiküszöbölhető, a közönséges Riemann-integrál parciális integrálási képletét alkalmazzuk az f(x)=x és g(x)=arctg(cos x) párra, és használjuk fel, hogy a tükörszimmetria miatt \int_0^\pi {\rm{arctg}}(\cos x)=0.

Előzmény: [1242] hobbymatekos, 2006-04-08 10:13:01
[1242] hobbymatekos2006-04-08 10:13:01

persze elirás nélkül:

\int_0^\pi 1 d(x arc~\tan(\cos(x))) = 2 
[x arc ~\tan(\cos(x))] + 2I + \int_0^\pi 1 d(x arc~\tan(\cos(x)))

 I= -[x arc ~\tan(\cos(x))]_0^\pi = \frac {\pi^2}{4}

Előzmény: [1241] hobbymatekos, 2006-04-08 09:59:17
[1241] hobbymatekos2006-04-08 09:59:17

Én arra jutottam: ha a kérdéses határozott integrált I jelöli,

\int_0^\pi 1 d(xarc~\tan(\cos(x)))
= [xarc~\tan(\cos(x))]_0^\pi +2I +\int_0^\pi 1 d(xarc~\tan(\cos(x)))

I=-[xarc~\tan(\cos(x))]_0^\pi = \frac {\pi^2}{4}

Előzmény: [1240] Lóczi Lajos, 2006-04-07 17:52:00
[1240] Lóczi Lajos2006-04-07 17:52:00

Egy válasz: mivel nincs megmondva, mi a másik g függvény, ami generálja a Riemann-Stieltjes integrált, ezért vehetjük azt, hogy g(x)=x. Ekkor az \int_a^b f dg Riemann-Stieltjes integrál a közönséges Riemann-integrál lesz, és az [1205]-ben leírt megoldásom megoldja a 228-as feladatot.

Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57
[1239] Lóczi Lajos2006-04-07 11:33:09

Kíváncsi vagyok erre. (Mit választasz a másik g függvénynek, ami a mértéket generálja \int f dg-ben? És vajon milyen formula az, ami ki tudná hozni az eredményt... Sem a helyettesítéses integrálás, sem a parciális integrálás képletét Riemann-Stiletjes integrálokra nem látom, hogy miért segítene itt.)

Előzmény: [1238] hobbymatekos, 2006-04-07 09:38:41
[1238] hobbymatekos2006-04-07 09:38:41

Igen.

Előzmény: [1236] Lóczi Lajos, 2006-04-07 00:38:51
[1237] Lóczi Lajos2006-04-07 05:16:17

"Valahogy úgy érzem, a határozott integrálok nem igazán érdekesek, mint számértékek" -- ennek az érzésnek ellentmond például a valószínűségszámításbeli bolyongás különböző dimenziókban. Pólya óta tudjuk, hogy 1 és 2 dimenzióban 1 valószínűséggel visszatér a bolyongó részecske a kiindulási pontba. 3 dimenzióban viszont pozitív valószínűséggel nem tér vissza a részecske a kiiindulási pontba. Ezek a tények pedig bizonyos (többszörös) határozott integrálok értékén múlnak.

Eléggé meglepő, hogy míg

\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1-\cos x} dx=\infty,

illetve

\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2-\cos x-\cos y} dx dy=\infty,

addig

\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{3-\cos x-\cos y-\cos z} dx dy dz\approx 125.378,

és emiatt viselkedik másképp a részecske 1 és 2 dimenzióban. Itt nem utolsó szempont kifejezni tudni a harmadik integrál pontos értékét "elemibb" kifejezések segítségével.

Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57
[1236] Lóczi Lajos2006-04-07 00:38:51

Mármint úgy érted a 228-as feladatot, hogy hozzuk ki a 222-es feladatban a \pi2/4 eredényt Riemann-Stieltjes-integrálok felhasználásával?

Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57
[1235] nadorp2006-04-06 23:29:47

Nem tudom, mert én sem találtam meg. A dolog fordítva történt. Még régebben, megpróbáltam meghatározni komplex integrálokkal az \int_0^\infty\frac{x}{e^x-1}dx értékét, és a melléktermék volt az \int_0^{\pi/2}xctgxdx

Előzmény: [1234] hobbymatekos, 2006-04-06 22:34:37
[1234] hobbymatekos2006-04-06 22:34:37

Kedves Nadorp, meg szeretnélek kérni, röviden leirnád magát a transzformációt, amivel ez a komplex fv. adódott integrandusként?

Előzmény: [1213] nadorp, 2006-03-21 20:09:06
[1233] hobbymatekos2006-04-06 22:25:57

Sziasztok Valahogy úgy érzem, a határozott integrálok nem igazán érdekesek, mint számértékek. Hiszen azt manapság könnyedén numerikus módszerekkel a szükséges pontosságig meg tudjuk határozni. Tanulságosabb az integrál létezése bizonyitása és a primitiv fv. meghatározása (hacsak zárt alakban megadható.) 222.feladat nagyon "szép".

228. feladat: a 222. feladat Riemann-Stieltjes integrálként

[1232] nadorp2006-04-06 12:56:08

Bocs, most ismerkedek a számokkal. Természetesen a 226.

Előzmény: [1231] Lóczi Lajos, 2006-04-06 12:40:35
[1231] Lóczi Lajos2006-04-06 12:40:35

:-) A 225. feladat vezethető vissza?

Előzmény: [1229] nadorp, 2006-04-06 11:33:45
[1230] Lóczi Lajos2006-04-06 12:39:21

A megoldás (ha létezik, a konvergenciát nem ellenőriztem) csak \frac{\pi}{2} \ln \frac{\alpha}{\beta} lehet.

(Utólag a Gyemidovics-példatárban megkeresve ez a 3792-es feladat, és ő Frullani-formulának hívja az általánosítást.)

Előzmény: [1229] nadorp, 2006-04-06 11:33:45
[1229] nadorp2006-04-06 11:33:45

Erről jutott eszembe a következő.

227.feladat. Adott pozitív \alpha,\beta esetén határozzuk meg az

\int_0^\infty\frac{arc~tg(\alpha{x})-arc~tg(\beta{x})}xdx

integrál értékét. ( A példa még tovább ragozható, az arc tg függvény helyett bizonyos differenciálható f függvényeket véve. A 225. feladat is visszavezethető ilyen típusú integrálra )

Előzmény: [1228] Lóczi Lajos, 2006-04-05 21:12:15
[1228] Lóczi Lajos2006-04-05 21:12:15

226. feladat. Adott nemnegatív \alpha esetén határozzuk meg az

\int_0^1 \frac{x^\alpha -1}{\ln x}dx

integrál értékét.

[1227] Fálesz Mihály2006-04-05 13:30:52

Legyen

 I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x~dx=
\int_0^{\pi/2}\ln\cos x~dx =
\int_0^{\pi/2}\ln\sin 2x~dx.

Akkor

 I = 
\int_0^{\pi/2}\ln\sin 2x~dx =
\int_0^{\pi/2}\ln\big(2\sin x\cos x\big)dx =

=
\int_0^{\pi/2}\big(\ln2+\ln\sin x+\ln\cos x)dx=
\frac\pi2\ln2 + I + I,

vagyis

I=-\frac\pi2\ln2.

Előzmény: [1224] hobbymatekos, 2006-04-02 16:56:40
[1226] hobbymatekos2006-04-02 20:27:12

Azaz adott speciálisan n db 1 es. Ebből kell sorrend nem számit az összes k adrendű k=0,....,n ismétléses kombinációk számát felirni. Akkor generátorfüggvény 
F(s)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}s^{k}=1\prod_{k=1}^{n}(1+s)=(1+s)^{n} Azaz:F(2)=3n

Előzmény: [1214] Mumin, 2006-03-22 00:24:55

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]