Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1453] Cckek2006-10-30 14:19:43

Ez egy nagyon érdekes következtetés. Ugyanis én valójában az (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)funkcionálegyenletet alakítottam-nem egészen ortodox módon:)-ezzé a differenciálegyenletté. S valóban ennek a funkcionálegyenletnek ezek a függvények a megoldásai.Hogy van-e más is? Jó kérdés:)

Előzmény: [1451] nadorp, 2006-10-30 08:56:12
[1451] nadorp2006-10-30 08:56:12

Nyilván f(0)=0. Ha f(x) hatványsora ( meggondolandó, hogy ilyen van !!) f(x)=\sum_{n=1}^\infty{a_n}x^n, akkor az együtthatók összehasonlításából azt kapjuk, hogy

\sum_{n=1}^\infty(2^n-2n)a_nx^n=0, azaz n\geq3 esetén an=0. Innen f(x)=ax2+bx alakú lehet, ez pedig mindig jó.

Előzmény: [1450] Cckek, 2006-10-29 18:41:57
[1450] Cckek2006-10-29 18:41:57

A következő "differenciálegyenlethez" kellene egy kis segítség: 2xf'(x)=f(2x). Az f(x)=ax illetve f(x)=ax2 függvények megoldások. Van más is?

[1449] nadorp2006-10-29 11:26:36

Igazad van,nem mehet n-ig, az alábbi szummát kell "elvágni":

\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(n-i)!\sum_{k=0}^{n-i}(-1)^k\frac1{k!}

Előzmény: [1448] Cckek, 2006-10-29 07:55:26
[1448] Cckek2006-10-29 07:55:26

Nos, nagyon szép bizonyítás, a képletek levezetése nekekem napokba telt.Egy kis korekció, remélem nem fogsz megsértődni érte, az első szumma nem mehet n-ig: \sum_{i=0}^{n-2}{C_n^i(n-i)!\sum_{k=2}^{n-i}{(-1)^k\frac{1}{k!}}}+0+1=n!

Ahol 0 az n-1 fixponttal rendelkező permutációk száma-tudjuk, hogy ilyen nincs:), 1 az n fixpontal rendelkező permutációk száma, tudjuk hogy ilyen csak egy van az identikus permutáció. Amúgy találtam rá egy egyszerű bizonyítást:

\sum_{i=0}^{n-2}{C_n^i(n-i)!\sum_{k=2}^{n-i}{(-1)^k\frac{1}{k!}}}=n!\sum_{m=2}^{n}\left(\sum_{i+k=m,k\ge 2}{\frac{(-1)^k}{i!k!}}\right)=...=n!\left(1-\frac{1}{n!}\right)

Előzmény: [1447] nadorp, 2006-10-29 01:29:11
[1447] nadorp2006-10-29 01:29:11

A szita formula egy ismert alkalmazása a következő: Egy színházi előadáson a ruhatárba n darab ernyőt adtak le. Az előadás után senki sem a saját ernyőjét kapta meg. Hányféleképpen történhet meg ez ?

Az eredmény n!\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac1{k!}=n!\sum_{k=2}^{n}(-1)^k\frac1{k!}

A fenti alapján az \binom{n}{i}(n-i)!\sum_{k=2}^{n-i}(-1)^k\frac1{k!} képlet az (1,2,...n) azon permutációinak a száma, amikor pontosan i darab elem van a saját helyén. Ha i=n-1, akkor az összeg 0, hiszen nincs olyan eset, amikor n-1 elem a saját helyén van és 1 meg nem. Ha i=n, a kkor a fenti összeg 1, hiszen minden elem a saját helyén van. Az összes esetek száma az n darab elem permutációinak a száma, azaz n!. Tehát

\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(n-i)!\sum_{k=2}^{n-i}(-1)^k\frac1{k!}=n!

Előzmény: [1442] Cckek, 2006-10-27 22:25:21
[1446] Lóczi Lajos2006-10-28 18:39:31

Ebben a formában ez egy kellemes négysoros indukciós gyakorlófeladat.

Előzmény: [1442] Cckek, 2006-10-27 22:25:21
[1445] Lóczi Lajos2006-10-28 18:37:19

A (-1)kkm-es verzió eredménye 0. A k2-es verziónak az eredményét nem tudod még :)

Előzmény: [1444] phantom_of_the_opera, 2006-10-28 10:07:20
[1444] phantom_of_the_opera2006-10-28 10:07:20

A km-es verzióra gondol(sz?), vagy a k2-esre, esetleg mindkettőre?

Előzmény: [1441] Lóczi Lajos, 2006-10-27 20:57:52
[1443] Lóczi Lajos2006-10-27 23:42:26

Olyan alakú lesz.

Előzmény: [1441] Lóczi Lajos, 2006-10-27 20:57:52
[1442] Cckek2006-10-27 22:25:21

A következő érdekes azonosság, permutációk fixpontjainak a kiszámolásánál jött elő:

\sum_{i=0}^{n-2}\left(C_n^i(n-i)!\sum_{k=2}^{n-i}(-1)^k\frac{1}{k!}\right)=n!-1

Lehet adni rá egy egyszerű bizonyítást?

[1441] Lóczi Lajos2006-10-27 20:57:52

Próbáld megsejteni az eredményt: egy exponenciális függvény (pl. 2n) és egy (max. másodfokú) polinom (an2+bn+c) szorzataként. (Valami ilyesmire emlékszem legalábbis, hogy ilyen alakú lesz.)

Előzmény: [1440] phantom_of_the_opera, 2006-10-27 15:43:15
[1440] phantom_of_the_opera2006-10-27 15:43:15

Viszont helyette feladtatok nekem egy olyan feladatot, amit mégannyira se tudok megcsinálni, mint eddig az eredetit. Ami pont annyira zavar, mint az előző esetében :)

Előzmény: [1439] nadorp, 2006-10-26 21:30:16
[1439] nadorp2006-10-26 21:30:16

Nem akartalak megsérteni, az a hozzászólás félig "poén" volt, ha nem úgy tűnt, akkor ezúton kérek elnézést minden érintettől. Különben valószínűleg nem "akadt ki", ahogy a válaszából ez ki is derült.

Előzmény: [1438] phantom_of_the_opera, 2006-10-26 21:03:52
[1438] phantom_of_the_opera2006-10-26 21:03:52

Kedves nadorp! Azért mertem csak meghúzni, mert tudom, hogy olvassa a fórumot, meg nem is szoktam ilyen módszerekkel pluszpontot szerezni. Csak nem bírtam ki... Azért a másikkal is megpróbálkozom :)

Előzmény: [1432] nadorp, 2006-10-22 22:55:30
[1437] Hajba Károly2006-10-24 13:31:52

1x 1-t visszavisz.

Előzmény: [1434] djlado, 2006-10-24 08:31:04
[1436] jonas2006-10-24 10:49:50

Egyszerű. Az öt alkalommal rendre ötöt, ötöt, hármat, hármat, és hármat visz ki. Utána felszámláz húsz pálinkát.

Előzmény: [1434] djlado, 2006-10-24 08:31:04
[1435] Sirpi2006-10-24 10:21:46

Pl. kivisz minden alkalommal 4 pálinkát meg egy sört :-)

Előzmény: [1434] djlado, 2006-10-24 08:31:04
[1434] djlado2006-10-24 08:31:04

Erdekes feladat:

Hogyan visz ki a pincerno 20 palinkat 5x re ugy , hogy mind az 5x parantlant vigyen?

[1433] Lóczi Lajos2006-10-23 15:56:23

:-)

E szép hozzászólásokból tehát az látszik, hogy ha m tetszőleges pozitív egész, akkor n\gem+1 esetén


\sum_{k=0}^n (-1)^k k^m \binom{n}{k}=0.

Előzmény: [1432] nadorp, 2006-10-22 22:55:30
[1432] nadorp2006-10-22 22:55:30

Kedves phantom_of_the_opera !

Utólag olvasva [1429] hozzászólásod végét, nem volt "szép dolog" Lóczi Lajossal szemben, hogy megoldottuk a szorgalmi példádat. Álljon itt egy hasonló, hátha mégis kaphatsz plusz pontot :-)

\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}= ?

Előzmény: [1431] phantom_of_the_opera, 2006-10-22 14:04:51
[1431] phantom_of_the_opera2006-10-22 14:04:51

Hát ha ezt a k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} azonosságot tudtam volna... így már valamivel barátságosabb. Köszönöm szépem.

Előzmény: [1430] nadorp, 2006-10-22 12:22:47
[1430] nadorp2006-10-22 12:22:47

Ha k>0, akkor k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}-ből következik, hogy

\sum_{k=0}^{n}(-1)^kk\binom{n}{k}=n\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom{n-1}{k-1}=n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k}=0, mert

0=(1-1)n-1, ha n\geq2

Előzmény: [1428] phantom_of_the_opera, 2006-10-21 23:10:52
[1429] Cckek2006-10-22 08:05:52

Megint egy szép deriváltas bizonyítás:

(1-x)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^kx^k

Deriválva kapjuk:

n(-1)(1-x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^kkx^{k-1}

Ha x=1 megkapjuk a kívánt egyenlőséget.

Előzmény: [1428] phantom_of_the_opera, 2006-10-21 23:10:52
[1428] phantom_of_the_opera2006-10-21 23:10:52

Megint én.

A következő feladat okoz igen nagy gondot:

Bizonyítsuk be, hogy \sum_{k=0}^nk(-1)^k\binom{n}{k}=0. Egyébként n\ge2-től igaz csak...

Állítólag indukcióval kéne, addig jutok, hogy megpróbálom párosítani a szélső tagokat, hogy bele lehessen keverni a binomiális tételt, de igen körülményes, és máshogy se akar kijönni. Tudnátok segíteni?

Előre is köszönöm.

(Lóczi Lajos: ha kapok rá plusz pontot, ha nem, megőrülök hogy nem tudom megcsinálni és nem bírom ki a következő gyakig (nov 6))

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]