Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1490] jenei.attila2006-11-12 22:21:29

Egy kis segítség kéne. Szerintem egy határozott integrál közelítő összege lehet, mégpedig az ln függvény Stieltjes integrálja az [1,2] intervallumon (n egyenlő részre osztva az intervallumot), ami szerint pedig a Stieltjes integrált képezzük, egy olyan g függvény, amelyre g(1+i/n)-g(1+(i-1)/n)=arctg(...).

Előzmény: [1489] Cckek, 2006-11-11 13:10:18
[1489] Cckek2006-11-11 13:10:18

Nagyon érdekes kis határértékfeladat:)

\lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^{n}ln{\frac{n+i}{n}}arctg{\frac{n}{n^2+i^2-i}}}

[1488] jenei.attila2006-11-09 11:36:17

Valóban, n=kk2-1,m=kk2+1. Azt hiszem más megoldás nincs.

Előzmény: [1487] Cckek, 2006-11-08 21:51:11
[1487] Cckek2006-11-08 21:51:11

Helyes, de még vannak megoldások:)

Előzmény: [1486] jenei.attila, 2006-11-07 13:56:09
[1486] jenei.attila2006-11-07 13:56:09

n=(2k+1)k,m=(2k+1)k+1, ahol k tetszőleges természetes szám.

Előzmény: [1480] Cckek, 2006-11-01 20:47:53
[1485] nadorp2006-11-05 10:31:19

Lásd "Érdekes metekfeladatok" [342] hozzászólás (77. feladat). Megoldás [349] hozzászólás.

Előzmény: [1484] tommyk, 2006-11-05 09:53:33
[1484] tommyk2006-11-05 09:53:33

Sziasztok!

Van egy feladat ,melyhez kérném a segítségeteket! A feladat a következő: Van egy pásztor, annak meg van egy tökéletesen kör alakú mezeje K1 sugarú. A mi pásztorunk megegyezik a szomszéd pásztorral, hogy használhatja az ő mezejét. A szomszéd pásztor egyetlen egy birkát legeltethet ezen a kör alakú mezőn úgy, hogy annak PONTOSAN csak a felét eheti meg a birka. Továbbá a birka csak a körmező szélén egy póznához kikötve mozoghat. Kérdés: mekkora sugarú körön K2 kell mozogni a birkának ahhoz, hogy pontosan a felét legelje le a körmezőnek? K1/K2=?

[1483] Python2006-11-02 16:46:02

240.feladat

 7   8   9 
 4   5   6 
 1   2   3 
 0   

Ezeken a számológépgombkon beütünk egy tízjegyű számot (x) úgy, hogy minden jegye pontosan egyszer szerepel, és két egymás utáni jegy gombja oldalszomszédos (tehát pl.: 7 előtt/után lehet 4 vagy 8).

a)Hányféleképpen üthetjük be?

b)Mennyi sin xo (x fok szinusza)?

[1482] kdano2006-11-01 22:04:15

Hát igen, ha kikötjük, hogy a tört értéke kisebb, mint egy, s a letörlendő számjegyek pozitívak, akkor kész vagyunk, a feladat megfogalmazását befejeztük :D

Előzmény: [1481] jonas, 2006-11-01 21:47:32
[1481] jonas2006-11-01 21:47:32

Valóban. Így még mindig van egy csomó olyan, mint 38/38=3/3 meg olyan hogy 30/70=3/7. Ha ezeket leszámítjuk, akkor tényleg csak ez a négy megoldás van, meg uganezek fejenállva.

Előzmény: [1479] Python, 2006-11-01 18:51:05
[1480] Cckek2006-11-01 20:47:53

Oldjuk~ meg ~N^*xN^*-ban:~\left(\frac{m}{n}\right)^m=(mn)^n

[1479] Python2006-11-01 18:51:05

Bocs!!!

Kifelejtettem, hogy az elhagyott két számjegy ugyanaz!! Még így is van rengeteg 'felesleges' megoldás pl.: \frac{44}{55}, \frac{40}{30}.

Kiköthetjük továbbá, hogy 0\le a tört <1, így a megoldások száma lefeleződik...

Korlátozási javaslatokat várok...

(Ahol olvastam 4 megoldás volt: \frac{16}{64}=\frac14, \frac{19}{95}=\frac15, \frac{26}{65}=\frac25, \frac{49}{98}=\frac48, de egy picit(?) általánosítottam...)

[1478] jonas2006-11-01 17:45:29

238. Ez a feladat azért nem jó, mert túl sok megoldása van. Mondj még valami információt, különben nem tudunk választani.

A lehetséges megoldások:

20/10=2/1, 22/11=2/1, 24/12=2/1, 24/12=4/2, 26/13=2/1, 26/13=6/3, 28/14=2/1, 28/14=8/4, 30/10=3/1, 30/20=3/2, 32/16=2/1, 33/11=3/1, 33/22=3/2, 36/12=3/1, 36/12=6/2, 36/24=3/2, 36/24=6/4, 39/13=3/1, 39/13=9/3, 39/26=3/2, 39/26=9/6, 40/10=4/1, 40/20=4/2, 40/30=4/3, 42/21=4/2, 42/21=2/1, 44/11=4/1, 44/22=4/2, 44/33=4/3, 46/23=4/2, 46/23=6/3, 48/12=4/1, 48/12=8/2, 48/24=4/2, 48/24=8/4, 48/36=4/3, 48/36=8/6, 50/10=5/1, 50/20=5/2, 50/30=5/3, 50/40=5/4, 54/27=4/2, 55/11=5/1, 55/22=5/2, 55/33=5/3, 55/44=5/4, 60/10=6/1, 60/20=6/2, 60/30=6/3, 60/40=6/4, 60/50=6/5, 62/31=6/3, 62/31=2/1, 63/21=6/2, 63/21=3/1, 63/42=6/4, 63/42=3/2, 64/16=4/1, 64/32=6/3, 64/32=4/2, 65/13=5/1, 65/26=5/2, 65/39=5/3, 66/11=6/1, 66/22=6/2, 66/33=6/3, 66/44=6/4, 66/55=6/5, 68/34=6/3, 68/34=8/4, 69/23=6/2, 69/23=9/3, 69/46=6/4, 69/46=9/6, 70/10=7/1, 70/20=7/2, 70/30=7/3, 70/40=7/4, 70/50=7/5, 70/60=7/6, 75/15=5/1, 76/38=6/3, 77/11=7/1, 77/22=7/2, 77/33=7/3, 77/44=7/4, 77/55=7/5, 77/66=7/6, 80/10=8/1, 80/20=8/2, 80/30=8/3, 80/40=8/4, 80/50=8/5, 80/60=8/6, 80/70=8/7, 82/41=8/4, 82/41=2/1, 84/21=8/2, 84/21=4/1, 84/42=8/4, 84/42=4/2, 84/63=8/6, 84/63=4/3, 85/17=5/1, 86/43=8/4, 86/43=6/3, 88/11=8/1, 88/22=8/2, 88/33=8/3, 88/44=8/4, 88/55=8/5, 88/66=8/6, 88/77=8/7, 90/10=9/1, 90/20=9/2, 90/30=9/3, 90/40=9/4, 90/50=9/5, 90/60=9/6, 90/70=9/7, 90/80=9/8, 93/31=9/3, 93/31=3/1, 93/62=9/6, 93/62=3/2, 95/19=5/1, 96/16=6/1, 96/32=9/3, 96/32=6/2, 96/64=9/6, 96/64=6/4, 98/49=8/4, 99/11=9/1, 99/22=9/2, 99/33=9/3, 99/44=9/4, 99/55=9/5, 99/66=9/6, 99/77=9/7, 99/88=9/8,

Ezen kívül mindegyik megoldás úgy is, ha a számlálókat és nevezőket felcseréljük, van továbbá egy csomó olyan megoldás is, amikor a számláló egyenlő a nevezővel.

Előzmény: [1477] Python, 2006-11-01 15:17:36
[1477] Python2006-11-01 15:17:36

Bemutatkozásul egy, feladat, ma olvatam:

238. feladat Gondoltam egy törtre, a számlálója és a nevezője is kétjegyű. A számlálónak és a nevezőnek egy-egy jegyét elhagyva (pl.: 56-ból a hatost elhagyva 5-öt kapunk) a tört egyszerűsített alakját kapjuk. Melyik lehet ez a tört?

Meg egy saját:

239. feladat

Négyzetrácsos terepen él a matekkígyó. A négyzetrács minden mezőjén vagy nincs semmi, vagy élelem van, vagy fal, vagy a kígyó feje, vagy a kígyó testének egy szakasza. A kígyó (nem sárkány, így a) testén nincs elágazás. Egy időegységen belül:

I. Ha nincs élelem a terepen, valahonnan egy véletlenszerűen kiválasztódott üres mezőre egy adag élelem kerül.

II. Mozog a kígyó:

   1. A kígyó feje elmozdul egy oldalszomszédos mezőre, amelyen élelem van. Ekkor a kígyó feje helyén testszakasz jelenik meg, nyúlik a kígyó.

   2. A kígyó feje elmozdul egy oldalszomszédos üres mezőre. Ekkor mozog, minden testszakasza előrébb mozdul, az utolsó helyén üres hely alakul ki.

   3. Ha nem tud mozogni (1. v. 2.), rövidül, elveszti az utolsó testtáját.

a) Egy ilyen terepen:

 #   #   #   # 
 #           # 
 #  :)      # 
 #   #   #   # 

, ahol '#'=fal; ':)'=kígyó feje; ' '(space)=üres mező (A kígyónak még nincs teste, de tfh túléli...) elérheti-e a kígyó a 3 testszakasz+fej hosszt, és ha igen, optimális stratégia mellett legfeljebb hány időegység alatt? (Hányadik időegység végére eszi meg az utolsó élelmet?)

b) Terep:

 #   #   #   #   # 
 #   #       #   # 
 #      :)      # 
 #   #       #   # 
 #   #   #   #   # 

Kérdés ugyanaz, de itt csak 2 testszakasz+fej kell.

[1476] phantom_of_the_opera2006-11-01 11:52:35

Ezt én is felírtam, mikor próbálkoztam. Csak át kellett volna rendeznem az egyenletet?!?! El sem hiszem.

Előzmény: [1475] nadorp, 2006-11-01 09:21:25
[1475] nadorp2006-11-01 09:21:25

Ha pedig n\geq, akkor ...

Előzmény: [1474] nadorp, 2006-11-01 09:14:36
[1474] nadorp2006-11-01 09:14:36

Ha n=2, akkor a^2+\frac1{a^2}=\left(a+\frac1a\right)^2-2

Ha pedig n\geq3 ,akkor

a^{n+1}+\frac1{a^{n+1}}=\left(a^n+\frac1{a^n}\right)\left(a+\frac1a\right)-\left(a^{n-1}+\frac1{a^{n-1}}\right)

Előzmény: [1473] phantom_of_the_opera, 2006-10-31 23:28:19
[1473] phantom_of_the_opera2006-10-31 23:28:19

Tehát ha jól sejtem, akkor a jobb oldalon: \binom{k+1}{0}a^{k+1}+\binom{k+1}{k+1}\frac{1}{a^{k+1}} áll, a bal oldalon pedig \binom{k+1}{1}a^{k-1}+\binom{k+1}{k}a^{1-k}+\binom{k+1}{2}a^{k-3}+\binom{k+1}{k-1}a^{3-k} stb. Bakker. Végül is miután rájöttem, hogy a^{k-3}+\frac{1}{a^{k-3}} azért kell hogy egész legyen, mert k-3<k, és k-ig az indukciós feltétel miatt igaz, innen már rendben van. Csak mire ez eljutott a tudatomig...

Köszönöm szépen a szíves felvilágosítást.

Előzmény: [1472] Cckek, 2006-10-31 23:03:18
[1472] Cckek2006-10-31 23:03:18

Tehát ez az indukció egy formája. Az állítás igaz 1,2,..k-ra és ezekből kóvetkezik, hogy igaz k+1 re akkor igaz minden n-re P(k):a^k+\frac{1}{a^k}\in Z igaz \left(a+\frac{1}{a}\right)^{k+1}=\sum_{p=0}^{k+1}{C_{k+1}^pa^{k+1-2p}} Ebben a szélektől egyenlő távolságra levő tagokat csoportosítod majd az a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}} tagon kivül átviszed a baloldalra.A baloldal egész lesz:)

Előzmény: [1471] phantom_of_the_opera, 2006-10-31 22:45:38
[1471] phantom_of_the_opera2006-10-31 22:45:38

Azzal próbálkoztam, ilyen (a+\frac1a)^n-szerű képletekkel, és meg is jelenik a keresendő tag, de nem csak n-nel, hanem az összes 1..n-ig terjedő hatvánnyal... ha tényleg olyan egyszerű, nem írnád le 1-2 sorban?

Előzmény: [1470] Cckek, 2006-10-31 22:36:37
[1470] Cckek2006-10-31 22:36:37

Egyszerűen indukcióval és a binomális képlettel. A megfelelő tagokat csoportosítsd.

Előzmény: [1469] phantom_of_the_opera, 2006-10-31 22:26:19
[1469] phantom_of_the_opera2006-10-31 22:26:19

Ismét a segítségeteket kérném a következő feladattal kapcsolatban: tegyük fel, hogy a valós, és a+\frac{1}{a} egész. Bizonyítsuk be, hogy ekkor bármely n természetes számra a^n+\frac{1}{a^n} is egész.

[1468] Cckek2006-10-31 22:06:02

x=1

Előzmény: [1467] Lóczi Lajos, 2006-10-31 21:50:29
[1467] Lóczi Lajos2006-10-31 21:50:29

Adjuk meg mindazokat az x>0 valós számokat, melyekre fennáll, hogy

xx2+1=e1-x3.

[1466] Lóczi Lajos2006-10-31 21:07:22

Egy jópofa feladat:

Adott \alpha valós szám esetén számítsuk ki a \lim_{n\to \infty} \cos(n \alpha) határértéket.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]