Fórum: Érdekes matekfeladatok

Elírtam: "permutációban hány előző elem kisebb" helyett: permutációban hány előző elem nagyobb

A feladat megtalálható Lovász László Kombinatorikai problémák és feladatok c. könyvében. Itt a megoldást az ún. inverzió vektorok használatával adják meg. Egy n-ed rendű p permutáció inverzió vektora egy n elemű t vektor (tömb), amelynek j-edik eleme azt adja meg, hogy a permutációban hány előző elem kisebb, mint a j-edik elem: t_j=|1<=i<j:p(i)>p(j)|, vagyis rögzített j mellet a kisebb indexekkel képezhető inverziók számát. Világos, hogy 0<=t_j<=j-1, és a t elemeinek összege éppen a p inverzióinak számát adja. Fordítva is igaz: egy feltételeknek megfelelő t vektor egyértelműen meghatározza a p permutációt (ez is egy érdekes kis feladat). Ezért a k=t₁,+t₂+...+t_n egyenlet feltételnek megfelelő (0<=t_j<=j-1) megoldásait kell összeszámolni, vagyis k hányféleképpen írható fel ilyen módon n db. szám összegeként. Ennek az ún. partíciós problémának a megoldását adja a Nadorp által felírt polinom k-ad fokú tagjának együtthatója.

Erre a megoldásra gondoltál?

Félek tőle, hogy erre nincs zárt formula. Ha tévedtem, akkor annál jobb. Az az erős sejtésem ( bár ez is kétséges, úgyhogy ne dobáljatok meg kővel), hogy ha a keresett számot I(n,k)-val jelöljük, akkor az

f_n(x)=(1+x)(1+x+x²)...(1+x+...x^n-1) polinomban x^k együtthatója éppen I(n,k)

Jó, részemről befejezve felejtsük el:)) Itt van egy megint csak érdekes feladat:)) Hány n-edrendű permutáció inverzióinak a száma k???

Egyáltalán nem akartalak megsérteni, szerintem nem is volt rá okod, hogy megsértődj. A véleményemet pedig hadd mondjam már el, én teljesen jószándékúan kérdeztem, hogy mi a feladatban az érdekesség, trükk. Most, hogy már megvilágítottad a feladat hátterét, valóban érdekesebbnek találom, bár még mindíg kicsit "megcsinált" ízű. Egyébként engedd meg, hogy azzal a feladattal foglalkozzak, amelyik nekem tetszik, a versengéssel kapcsolatban meg nem értem mire gondolsz.

Kedves Attila. Eddig mintha starpás és mesterkélt lett volna. hmm:) Amúgy ez csak egy feladat, kitűztem mert reméltem, hogy van akinek örömet okoz a megoldása. Ha neked nem, hát akkor ne foglalkozz vele, ez itt nem verseny, és remélem még csak versengés sem.

A Stieltjes alakot azonnal észrevettem, de biztos voltam benne, hogy van Riemann alak is, csak nem láttam a fától az erdőt.

Lehet, hogy erre gondolt, de ez szerintem kb. ugyanaz mint a stieltjes integrál, csak nem nevezzük nevén. Egyébként gondolom Te már előttem felismerted az integrál közelítő összeget. Te nem Stieltjes integrálra gondoltál?

Szerintem Cckek arra gondol, hogy kár belekeverni a példába a Stieltjes-integrált, mert ha az eredeti szummában észrevesszük a nyilvánvaló összefüggést, akkor mezei Riemann közelítő összeget kapunk, és azonnal adódik a nálam az x=tg y helyettesítés után kapott integrál.

Sőt, az 1495-ös hsz. második integrálja egyenesen ugyanaz, mint amit Cckek említett, szóval én sem értem, mi a probléma.

Kedves Cckek!

Először is maradjunk annyiban, tényleg érdekes a feladatot, csak kicsit másra számítottam. Másrészt nem egészen értem, mit is nem ismertünk fel? Azt, hogy Riemann-Stieltjes integrál közelítő összeg, észrevettük. Nadorp pedig megoldotta az integrálást, vagyis a feladat ezzel megoldódott.

tényleg :) köszi

csak "dobd" rá a tangenst.

Ez az összefüggés hogyan jön ki? Biztos nem olyan bonyolult, de most nem nagyon látom..

Amúgy a feladat főleg középiskolásoknak szól, itt csak azárt tűztem ki, mert már megjelent egy Erdély-i matematikai folyóiratban a MATLAP-ban, és nagyon kevés helyes megoldás érkezett:))

Ami mellesleg egy jólismert cseles integrál :) az helyetesítéssel kiszámítható, és kitűnő példa olyan függvény integráljának a kiszámítására amelyenk nem ismerjük a primitív függvényét:))

Nos a feladat két okból is nagyon érdekes:)) Először mert az én szerzeményem:)), másodszor mert senki sem ismerte fel még - és ezt komolyan mondom-a nagyrabecsült jelenlévők közül sem hogy ez valójában egy Riemann összeg, mégpedig az

függvény es a

felosztáshoz rendelt Riemann integrálösszeg.Tehát egyenlő a integrállal.

Például lehet attól érdekes, hogy ismert konstansokkal egyáltalán ki tudjuk fejezni az eredményét :)

Szép megoldás, de most már kíváncsi lennék, Cckek szerint mitől is olyan érdekes ez a feladat. Nekem inkább kissé mesterkéltnek és "strapásnak" tűnik, hacsak nincs rá egy ettől különböző igazán szellemes megoldás.

Az x=tg y helyettesítéssel

.

Könnyen meggondolható, hogy a cosinus párossága miatt az utolsó két integrál egyenlő, azaz

Te az x-1 helyett x-et írtál, de nekem még mindig elég vad. Szerintem áruld el a "trükköt".

Igen, vagy másképp írva

.

Erre van "trükkös" megoldás is. A végeredmény szerintem

Ezek szerint a határérték (ha létezik):. Nem szeretek integrálni, vagyis még nem sikerült.

Szerintem jó helyen kereskedsz, használd fel a következőt:

Egy kis segítség kéne. Szerintem egy határozott integrál közelítő összege lehet, mégpedig az ln függvény Stieltjes integrálja az [1,2] intervallumon (n egyenlő részre osztva az intervallumot), ami szerint pedig a Stieltjes integrált képezzük, egy olyan g függvény, amelyre g(1+i/n)-g(1+(i-1)/n)=arctg(...).