Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1515] Cckek2006-11-16 15:40:11

Nos, ilyen messzire nem jutottam, és azt sem tudtam, hogy ezzzel már foglalkoztak, épp csak felvetődött bennem.:)

Előzmény: [1514] jenei.attila, 2006-11-15 19:34:03
[1514] jenei.attila2006-11-15 19:34:03

Elírtam: "permutációban hány előző elem kisebb" helyett: permutációban hány előző elem nagyobb

Előzmény: [1513] jenei.attila, 2006-11-15 19:27:32
[1513] jenei.attila2006-11-15 19:27:32

A feladat megtalálható Lovász László Kombinatorikai problémák és feladatok c. könyvében. Itt a megoldást az ún. inverzió vektorok használatával adják meg. Egy n-ed rendű p permutáció inverzió vektora egy n elemű t vektor (tömb), amelynek j-edik eleme azt adja meg, hogy a permutációban hány előző elem kisebb, mint a j-edik elem: tj=|1<=i<j:p(i)>p(j)|, vagyis rögzített j mellet a kisebb indexekkel képezhető inverziók számát. Világos, hogy 0<=tj<=j-1, és a t elemeinek összege éppen a p inverzióinak számát adja. Fordítva is igaz: egy feltételeknek megfelelő t vektor egyértelműen meghatározza a p permutációt (ez is egy érdekes kis feladat). Ezért a k=t1,+t2+...+tn egyenlet feltételnek megfelelő (0<=tj<=j-1) megoldásait kell összeszámolni, vagyis k hányféleképpen írható fel ilyen módon n db. szám összegeként. Ennek az ún. partíciós problémának a megoldását adja a Nadorp által felírt polinom k-ad fokú tagjának együtthatója.

Erre a megoldásra gondoltál?

Előzmény: [1511] Cckek, 2006-11-14 19:03:42
[1512] nadorp2006-11-15 17:03:41

Félek tőle, hogy erre nincs zárt formula. Ha tévedtem, akkor annál jobb. Az az erős sejtésem ( bár ez is kétséges, úgyhogy ne dobáljatok meg kővel), hogy ha a keresett számot I(n,k)-val jelöljük, akkor az

fn(x)=(1+x)(1+x+x2)...(1+x+...xn-1) polinomban xk együtthatója éppen I(n,k)

Előzmény: [1511] Cckek, 2006-11-14 19:03:42
[1511] Cckek2006-11-14 19:03:42

Jó, részemről befejezve felejtsük el:)) Itt van egy megint csak érdekes feladat:)) Hány n-edrendű permutáció inverzióinak a száma k???

[1510] jenei.attila2006-11-14 16:29:21

Egyáltalán nem akartalak megsérteni, szerintem nem is volt rá okod, hogy megsértődj. A véleményemet pedig hadd mondjam már el, én teljesen jószándékúan kérdeztem, hogy mi a feladatban az érdekesség, trükk. Most, hogy már megvilágítottad a feladat hátterét, valóban érdekesebbnek találom, bár még mindíg kicsit "megcsinált" ízű. Egyébként engedd meg, hogy azzal a feladattal foglalkozzak, amelyik nekem tetszik, a versengéssel kapcsolatban meg nem értem mire gondolsz.

Előzmény: [1509] Cckek, 2006-11-14 15:49:20
[1509] Cckek2006-11-14 15:49:20

Kedves Attila. Eddig mintha starpás és mesterkélt lett volna. hmm:) Amúgy ez csak egy feladat, kitűztem mert reméltem, hogy van akinek örömet okoz a megoldása. Ha neked nem, hát akkor ne foglalkozz vele, ez itt nem verseny, és remélem még csak versengés sem.

Előzmény: [1504] jenei.attila, 2006-11-14 11:32:30
[1508] nadorp2006-11-14 13:23:10

A Stieltjes alakot azonnal észrevettem, de biztos voltam benne, hogy van Riemann alak is, csak nem láttam a fától az erdőt.

Előzmény: [1507] jenei.attila, 2006-11-14 12:25:38
[1507] jenei.attila2006-11-14 12:25:38

Lehet, hogy erre gondolt, de ez szerintem kb. ugyanaz mint a stieltjes integrál, csak nem nevezzük nevén. Egyébként gondolom Te már előttem felismerted az integrál közelítő összeget. Te nem Stieltjes integrálra gondoltál?

Előzmény: [1506] nadorp, 2006-11-14 12:19:34
[1506] nadorp2006-11-14 12:19:34

Szerintem Cckek arra gondol, hogy kár belekeverni a példába a Stieltjes-integrált, mert ha az eredeti szummában észrevesszük a \ln(1+\frac{i}n)=\ln(1+\tg{arc}\tg\frac{i}n) nyilvánvaló összefüggést, akkor mezei Riemann közelítő összeget kapunk, és azonnal adódik a nálam az x=tg y helyettesítés után kapott integrál.

Előzmény: [1505] Sirpi, 2006-11-14 11:40:26
[1505] Sirpi2006-11-14 11:40:26

Sőt, az 1495-ös hsz. második integrálja egyenesen ugyanaz, mint amit Cckek említett, szóval én sem értem, mi a probléma.

Előzmény: [1504] jenei.attila, 2006-11-14 11:32:30
[1504] jenei.attila2006-11-14 11:32:30

Kedves Cckek!

Először is maradjunk annyiban, tényleg érdekes a feladatot, csak kicsit másra számítottam. Másrészt nem egészen értem, mit is nem ismertünk fel? Azt, hogy Riemann-Stieltjes integrál közelítő összeg, észrevettük. Nadorp pedig megoldotta az integrálást, vagyis a feladat ezzel megoldódott.

Előzmény: [1498] Cckek, 2006-11-13 18:16:57
[1503] ágica2006-11-13 20:33:56

tényleg :) köszi

Előzmény: [1502] Cckek, 2006-11-13 19:41:26
[1502] Cckek2006-11-13 19:41:26

csak "dobd" rá a tangenst.

Előzmény: [1501] ágica, 2006-11-13 19:01:20
[1501] ágica2006-11-13 19:01:20

Ez az összefüggés hogyan jön ki? Biztos nem olyan bonyolult, de most nem nagyon látom..

Előzmény: [1491] nadorp, 2006-11-13 08:17:08
[1500] Cckek2006-11-13 18:37:41

Amúgy a feladat főleg középiskolásoknak szól, itt csak azárt tűztem ki, mert már megjelent egy Erdély-i matematikai folyóiratban a MATLAP-ban, és nagyon kevés helyes megoldás érkezett:))

Előzmény: [1499] Cckek, 2006-11-13 18:25:05
[1499] Cckek2006-11-13 18:25:05

Ami mellesleg egy jólismert cseles integrál :) az x=\frac{\pi}{4}-t helyetesítéssel kiszámítható, és kitűnő példa olyan függvény integráljának a kiszámítására amelyenk nem ismerjük a primitív függvényét:))

Előzmény: [1498] Cckek, 2006-11-13 18:16:57
[1498] Cckek2006-11-13 18:16:57

Nos a feladat két okból is nagyon érdekes:)) Először mert az én szerzeményem:)), másodszor mert senki sem ismerte fel még - és ezt komolyan mondom-a nagyrabecsült jelenlévők közül sem hogy ez valójában egy Riemann összeg, mégpedig az

f:[0,\frac{\pi}{4}]\to R, f(x)=ln(1+tgx)

függvény es a

\Delta=\{0=arctg\frac{0}{n}<arctg\frac{1}{n}<...<arctg\frac{n}{n}=\frac{\pi}{4}\} felosztáshoz rendelt Riemann integrálösszeg.Tehát egyenlő a \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ln(1+tgx)dx} integrállal.

Előzmény: [1496] jenei.attila, 2006-11-13 13:54:16
[1497] Lóczi Lajos2006-11-13 15:58:01

Például lehet attól érdekes, hogy ismert konstansokkal egyáltalán ki tudjuk fejezni az eredményét :)

Előzmény: [1496] jenei.attila, 2006-11-13 13:54:16
[1496] jenei.attila2006-11-13 13:54:16

Szép megoldás, de most már kíváncsi lennék, Cckek szerint mitől is olyan érdekes ez a feladat. Nekem inkább kissé mesterkéltnek és "strapásnak" tűnik, hacsak nincs rá egy ettől különböző igazán szellemes megoldás.

Előzmény: [1495] nadorp, 2006-11-13 13:31:54
[1495] nadorp2006-11-13 13:31:54

Az x=tg y helyettesítéssel

I=\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tg{y})dy=\int_0^{\frac\pi4}\ln(\sin{y}+\cos{y})dy-\int_0^{\frac\pi4}\ln(\cos{y})dy

I=\int_0^{\frac\pi4}\ln(\sqrt2\cos(y-\frac\pi4))-\int_0^{\frac\pi4}\ln(\cos{y})dy=\frac\pi8\ln2+\int_0^{\frac\pi4}\ln(cos(y-\frac\pi4))-\int_0^{\frac\pi4}\ln(\cos{y})dy.

Könnyen meggondolható, hogy a cosinus párossága miatt az utolsó két integrál egyenlő, azaz I=\frac\pi8\ln2

Előzmény: [1494] jenei.attila, 2006-11-13 12:32:44
[1494] jenei.attila2006-11-13 12:32:44

Te az x-1 helyett x-et írtál, de nekem még mindig elég vad. Szerintem áruld el a "trükköt".

Előzmény: [1493] nadorp, 2006-11-13 12:27:23
[1493] nadorp2006-11-13 12:27:23

Igen, vagy másképp írva

\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx.

Erre van "trükkös" megoldás is. A végeredmény szerintem \frac\pi8\ln2

Előzmény: [1492] jenei.attila, 2006-11-13 11:39:06
[1492] jenei.attila2006-11-13 11:39:06

Ezek szerint a határérték (ha létezik):\int_1^2 ln(x)\frac{1}{1+(x-1)^2}dx. Nem szeretek integrálni, vagyis még nem sikerült.

Előzmény: [1491] nadorp, 2006-11-13 08:17:08
[1491] nadorp2006-11-13 08:17:08

Szerintem jó helyen kereskedsz, használd fel a következőt:

arc\tg\frac{n}{n^2+i^2-i}=arc\tg\frac{i}{n}-arc\tg\frac{i-1}{n}

Előzmény: [1490] jenei.attila, 2006-11-12 22:21:29

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]