Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1686] Cckek2007-01-04 10:09:57

Ez a feladat az enyém ugyan, de persze nem eredeti ötletből. Én is úgy "kaptam" az u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n},u_1=1, sorozat esetén az u_n-\sqrt{n} határérték kiszámítását. \left(\frac{1}{2}\right). Ezt általánosítottam egy kicsit, persze még rengeteg általánosítás lehetséges. A megoldáshoz viszont gratulálok.

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1685] Lóczi Lajos2007-01-04 00:32:52

Sőt:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+\frac{64}{243 n^2}+\frac{112}{2187 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).

Előzmény: [1684] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:13:59
[1684] Lóczi Lajos2007-01-04 00:13:59

A pontosítás:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1683] Lóczi Lajos2007-01-04 00:00:26

A válasz:

-\frac{19}{12}.

A bizonyításhoz célszerű megsejteni un aszimptotikus sorfejtésének az elejét. Ez némi számítógépes kísérletezést igényelt. Az alábbi állítás igaz:

2n-\frac{4}{3}-\frac{1}{n}\le u_n \le 2n-\frac{4}{3}+\frac{1}{n}.

(Itt a 2n-es nagyságrendet maga a feladat sugallta. A \frac{4}{3}-ot "kézzel" ki lehet találni, ha felveszünk egy alkalmas próba-alakot. A finomabb \frac{1}{n}-hez a számítógépre volt szükségem.) A fenti állítás bizonyítása teljes indukcióval történhet, n\le36-ra direkt látszik, az indukció n\ge36-tól működik (a 36 valójában csak az egyik irányú egyenlőtlenséghez kell, a másik n\ge1 esetén is teljesülni tud az indukció végrehajtása során).

Az állításomból a -\frac{19}{12} már standard módon adódik a közrefogási elv felhasználásával.

Amúgy honnan származik ez a szép feladat? Az általánosítás látszik: folytassuk az aszimptotikus sorfejtést, megkeresve \frac{1}{n} pontos együtthatóját (nekem kb. 0.297351-nek adódott, de ez nem pontos), és \frac{1}{n^2} együtthatóját, stb.

Előzmény: [1681] Cckek, 2007-01-02 21:47:31
[1682] rizsesz2007-01-03 19:24:48

remek időzítés Ákos. :) intuíció nélkül eszembe sem jutott vola elosztani 123456789-et 3607-tal.

Előzmény: [1680] S.Ákos, 2007-01-02 14:38:13
[1681] Cckek2007-01-02 21:47:31

Adott a következő sorozat u_{n+1}=n+\frac{2n^2}{u_n}, u_1=1. Számítsuk ki az u_n-\sqrt{n(4n+1)} sorozat határértékét!

[1680] S.Ákos2007-01-02 14:38:13

304.c) legfeljebb hány azonos számjegyre végződhet egy 3607-hatvány 123456789-es számrendszerben?

Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09
[1678] S.Ákos2007-01-02 13:31:17

Még annyit ki kell kötni, hogy létezzen olyan p prím, amelyre p|n, de p|m nem teljesül.

Előzmény: [1674] S.Ákos, 2007-01-01 19:20:28
[1677] Mumin2007-01-01 20:36:57

Akkor bocsánat, megengedem, hogy az egyszerű megoldást is közölje a szerző.

:))))

Előzmény: [1676] Csimby, 2007-01-01 20:25:49
[1676] Csimby2007-01-01 20:25:49

Szia Márton!

Az előzményre kattintva találhatsz egy linket a témával kapcsolatban.

Előzmény: [526] Csimby, 2004-10-10 01:06:52
[1675] Mumin2007-01-01 20:10:32

Hány SET-kártyát lehet legfeljebb kirakni az asztalra, hogy ne kiálthasson senki Set!-et?

Aki egyszerűnek találja, ne lője le.

[1674] S.Ákos2007-01-01 19:20:28

Érdekes kérdés lenne, hogy ha m|n akkor mk n-es számrendszerbeli alakja legfeljebb hány egyforma jegyre végződhet.

Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09
[1673] S.Ákos2007-01-01 19:11:48

Maradékvizsgálat nélkül: Mivel a 0001;0002;0004;0008;0016 végződések nem felelnek meg, így az utolsó négy számjegyből alkotott szám osztható 16-tal és 1111-gyel, de ezeknek a közös többszörösei 0;17776;... így csak a 0000 jöhet szóba, de ez lehetetlen.

Előzmény: [1671] jonas, 2007-01-01 17:32:26
[1672] jonas2007-01-01 17:34:18

Jaj bocs.

Persze 239=549755813888 meg 2504\equiv24\equiv16mod 10000

Előzmény: [1671] jonas, 2007-01-01 17:32:26
[1671] jonas2007-01-01 17:32:26

(a) 239=549755813888

(b) Ehhez elég a 2-hatványok 10000-es maradékát megvizsgálni. Ez persze ciklikus, hiszen 2504\equiv24\equiv16mod 10000. A maradékok 2503-ig sorban könnyen kiszámolhatóak (nem másolom ide az összeset):

0001 0002 0004 0008 0016 0032 0064 0128 0256 0512 1024 2048 4096 8192 6384 2768 5536 1072 2144 4288 8576 7152 4304 8608 7216 4432 8864 7728 ... 8752 7504 5008

Ezek között pedig nincs 1111-gyel osztható.

Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09
[1670] Lóczi Lajos2007-01-01 17:23:17

Remélem, ez alapján vki hamarosan talál egy bizonyítást is a sejtéseimre. :)

Előzmény: [1669] Lóczi Lajos, 2007-01-01 17:21:13
[1669] Lóczi Lajos2007-01-01 17:21:13

a.) Az első 1600 kitevő átvizsgálása az alábbi eredményt adja: 2n pontosan akkor végződik 3 egyforma számjegyre, ha n az alábbi:

n=39,139,239,339,439,.... Ekkor amúgy mindig 888-ra végződik 2n.

b.) A számítógép 85 másodperc gondolkodás után nem tudott olyan 2-hatványt mondani, ami 4 egyforma számjegyre végződne. Az átvizsgált n kitevők tartománya: n=1-től egészen n=107-ig.

Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09
[1668] jonas2007-01-01 17:09:21

Kettőhatvány, nem négyzetszám.

Előzmény: [1667] Matthew, 2007-01-01 16:29:14
[1667] Matthew2007-01-01 16:29:14

a)1,492=2,22

Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09
[1666] Python2007-01-01 15:29:09

304. feladat

a)Végződhet-e egy kettőhatvány 3 egyforma számjegyre? (10-es számrendszer)

b)Végződhet-e egy kettőhatvány 4 egyforma számjegyre? (10-es számrendszer)

[1665] Lóczi Lajos2006-12-31 14:00:09

Számunkra már több, mint egy éve nyitott az alábbi ártatlannak tűnő kérdés: oldjuk meg a valós számok halmazán a

\left(\frac{3^x-2^x}{2^x-1}\right)^2\ge 3^{x-1}

egyenlőtlenséget. Az eredményt persze tudjuk, csak a bizonyítást nem. Hátha valaki talál egy ügyes utat...

[1664] Cckek2006-12-31 11:19:02

Köszi.:)

Előzmény: [1663] Lóczi Lajos, 2006-12-30 19:43:10
[1663] Lóczi Lajos2006-12-30 19:43:10

Itt van egy KöMaL-cikk erről például.

Előzmény: [1662] Cckek, 2006-12-30 17:53:39
[1662] Cckek2006-12-30 17:53:39

Jólismert egyenlőtlenségek a G<L<A ahol

G=\sqrt{ab},

L=\frac{b-a}{lnb-lna},

A=\frac{a+b}{2}, 0<a<b.

Tud rájuk valaki egy egyszerű bizonyítást?

[1661] HoA2006-12-29 16:40:53

A képlet bizonyítása: Rakjunk le egy sorba s + n - 1 ( 222 + 4 - 1 = 225 ) fehér korongot. Közülük n-1 (3) tetszőlegeset takarjunk le egy-egy fekete koronggal. Minden ilyen lefedés a le nem takart s (222) korongot n (4) csoportra bontja, melyek közt 0 elemszámúak is lehetnek. Feleltessük meg, mondjuk balról jobbra az egyes csoportok elemszámát az ai (x,y,z,t) változóknak, ekkor egyenletünk egy megoldását kapjuk. Így kölcsönösen egyértelmű leképezést kapunk a lefedések és a megoldások között, tehát megoldás is ponosan annyi van, mint lefedés. Ezek száma pedig a képlet szerinti.

Előzmény: [1660] Cckek, 2006-12-29 10:33:28

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]