Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1706] psbalint2007-01-09 15:38:27

Üdvözlök mindenkit! Egy feladatot szeretnék elmondani, remélem még nem volt, ha volt, elnézést. Nagyon egyszerűnek tűnik mégsem boldogulok vele...

Egy kör alakú kert sugara r, a körvonal egy pontjához belülről hozzákötünk egy kecskét egy kötéllel. Milyen hosszú legyen a kötél, hogy a kecske a kör területének felét tudja lelegelni?

[1705] Cckek2007-01-08 23:04:15

Azt csak azért adtam meg hogy minden valós számra a függvény értelmezett legyen. Mert a funkcionálegyenlet 0- ban nem értelmezett. Ilyen függveny az f(x)=x illetve f(x)=1,x\ne0 és f(x)=-1,x\ne0

Előzmény: [1704] Lóczi Lajos, 2007-01-08 22:59:12
[1704] Lóczi Lajos2007-01-08 22:59:12

Vajon hogyan lehet majd használni az f(0)=0 feltételt, ha bármelyik változó helyébe is írunk 0-t, 0-val osztás lép fel?

Előzmény: [1703] Cckek, 2007-01-08 22:22:19
[1703] Cckek2007-01-08 22:22:19

Ugyan már máshol is kitűztem, de nem érkezett megoldás rá, remélem itt együttesen megoldjuk: Oldjuk meg a következő funkcionálegyenletet

f:R\to R, f(xyz)=f\left(\frac{xf(y)}{z}\right)f\left(\frac{yf(z)}{x}\right)f\left(\frac{zf(x)}{y}\right),f(0)=0.

[1702] magusocska2007-01-08 19:33:53

Egy QBASIC program 2.5 mp alatt kihozta, hogy 48 megoldás van.

A progi lényegében kipróbálta az oszhatósági szabályokat a fokozatosan növelt helyiértékszámú számokra.

Más, "elegánsabb" módszer nem lenne?

Előzmény: [1697] magusocska, 2007-01-08 08:03:44
[1701] bgy672007-01-08 17:49:27

A következő problémám lenne, segítsen, aki tud!

12k+4 embert akarok 4-személyes asztalokhoz leültetni (römi-verseny) 4k+1 fordulóban úgy, hogy mindenki mindenkivel pontosan egyszer játsszon.

Egy órát kerestem google-val, de nem találtam táblázatot, csak azt a tételt, hogy ez mindig megoldható.

16 személyre meg is csináltam, egyszerűen mindig a legkisebb lehetséges sorszámú személyt ültettem le sorban és kijött, lehet hogy ez mindig működne, de programozni annyira nem tudok, hogy megcsináljam, kézzel meg hosszú. "Szép" mintát meg nem találtam, amit általánosítani lehetne.

Aki találkozott a problémával (gráfelmélet, véges testek??), és tud sorsolást leglább 28 és 40 főre, pls szóljon.

[1700] magusocska2007-01-08 09:52:47

Teljesen igazad van - elnézést kérek [ vadidegenül szorri :-)) ]

Csak magyarázatképpen említem meg, hogy

- túlságosan hozzá vagyok (gyunk) szokva az intelligens ellenőrzőrendszerekhez (nincs aláhúzás? akkor mehet)

- egy sort írtam le, a többi másoltam, és csak a számokat javítottam át, a toldalékokat nem

- a gyors kommunikációs kényszer (sms, email,chat) miatt egyre kevesebb jelentőséget tulajdonítunk (és sajnos ezek szerint -tok) a helyesírási konvencióknak

- és Proszékyék még nem publikálták a KÖMAL fórumra is alkalmazható ellenőrző rutincsomagjukat :-)

Előzmény: [1699] BohnerGéza, 2007-01-08 09:02:58
[1699] BohnerGéza2007-01-08 09:02:58

Nagyon örvendetes, ha valaki tisztában van idegen szavak jelentésével. ( politikai publicitás, korifeus, kontextus, konvenció )

De jó lett volna az alapvető magyar szabályokat is betartani az előző hozzászólásban! ( Teljes hasonulás. )

kilenccel 9-cel nyolccal 8-cal ...

a legcsúnyább a 2-el, a 2-vel helyett!

Sajnos rengeteg helyen látni rosszul írva ezeket a sajtóban!

Előzmény: [1698] magusocska, 2007-01-08 08:20:32
[1698] magusocska2007-01-08 08:20:32

Érdekes is, matematika is, de kérdés, hogy feladat-e, mindenesetre túl vagyok rajta.

Peano politikai publicitásáról hallottatok-e? (Összerugtam a port a lányom matektanárjával - így derült ki az ellentmondás.)

A természetes számok Peano féle meghatározása tartalmazta a nullát, az én egyetemi jegyzeteimben a természetes számok pozitív egészként szerepeltek, ma ismét az eredeti halmaz a hivatalos. A Lomonoszov korifeusaival lehet kapcsolatban az ügylet...

Tehát a kérdés (feladat): a magyar matematikaoktatásban mely években tanították a természetes számok halmazát az eredeti Peano-axiómától eltérően?

Megjegyzés:

A Wikipédia a következőt írja a "Természetes számok"-nál :

Vigyázat! Tekintve, hogy egyes matematikai tárgyú könyvek a természetes számok közé sorolják a nullát, mások nem, így minden esetben figyelmet kell fordítanunk arra, hogy utánanézzünk, az adott kontextusban a szerzők melyik konvenciót alkalmazzák.

[1697] magusocska2007-01-08 08:03:44

Mellyek az a 9 jegyű számok, amire igazak az alábbiak:

a 9 jegyű szám osztható 9-el,

ha elhagyjuk az utolsó jegyét, akkor az így kapott 8 jegyű szám osztható 8-al,

ha elhagyjuk az utolsó jegyét, akkor az így kapott 7 jegyű szám osztható 7-el,

. . .

ha elhagyjuk az utolsó jegyét, akkor az így kapott 2 jegyű szám osztható 2-el.

Elég könnyű legalább egyet találni (pl. 13694729) a jegyenkénti szabályalkalmazással, de az összes megtalálására a brutal force-n kívül van -e módszer?

[1696] Lóczi Lajos2007-01-07 14:29:20

Köszönöm, ezzel a kiegészítéssel már én is látom minden alesetben, hogy hogy mehet a sorozat -- szép gondolatmenet.

Előzmény: [1695] Sirpi, 2007-01-07 07:11:10
[1695] Sirpi2007-01-07 07:11:10

Igaz, hogy már elhangzott egy sokkal frappánsabb megoldás (grat érte), de azért ha már kérdés, válaszolok:

Mivel |bn/2-bn+1|<\varepsilon minden n>N-re a folytonosság miatt, ezért bn/2-\varepsilon\leqbn+1\leqbn/2+\varepsilon. Vagyis ha bn\geq3\varepsilon, akkor (3/2-1)\varepsilon\leqbn+1, tehát nem válthat előjelet (a bal oldali egyenlőtlenséget felhasználva), másrészt bn+1\leqbn/2+\varepsilon\leqbn/2+bn/3\leqbn, tehát a sorozat monoton is.

Azt hittem, hogy ezek teljesen nyilvánvalónak látszanak az egyenlőtlenségből, azért nem részleteztem a dolgot ennyire.

Ha bn<0, akkor ugyanez elmondható, csak akkor a sorozat alulról, szintén monoton módon megy be a [-3\varepsilon;3\varepsilon] intervallumba.

Előzmény: [1693] Lóczi Lajos, 2007-01-07 02:55:59
[1694] Lóczi Lajos2007-01-07 03:23:19

Köszönöm a megoldásokat, az állítás igazsága viszont azt jelenti, hogy most van egy sokkal kevesebb számolást igénylő megoldásunk az [1681]-es hozzászólás feladatára, az ugyanis alig igényel számolást belátni, hogy

un=2n-4/3+an

alakú, ahol an+2an+1 nullához tart és korlátos, tehát most már valóban tudjuk, hogy maga an is nullához tart, ez pedig elég ahhoz, hogy a -19/12-et kihozzuk.

Előzmény: [1692] nadorp, 2007-01-07 00:32:48
[1693] Lóczi Lajos2007-01-07 02:55:59

Nyilván azzal kell kezdeni a bizonyítást, hogy a b sorozat bemegy a [-3\varepsilon,3\varepsilon] intervallumba.

"Az pedig, hogy valóban be is megy, következik abból, hogy ha nem menne be, akkor végig 3\varepsilon felett maradna, valamint monoton módon csökkenne (ezt is könnyű látni), tehát konvergens lenne, de 2-nál nagyobb értékhez nem tud konvergálni."

De ha nem menne be, miért maradna 3\varepsilon felett? Miért ne ugrálhatna (pozitív és negatív értékekre) és főleg, miért kellene, hogy monoton legyen a b sorozat?

Előzmény: [1688] Sirpi, 2007-01-04 23:47:54
[1692] nadorp2007-01-07 00:32:48

Bocs, elírtam a becslés második tagját, helyesen:

\frac{N}{2^{n-N+1}}K

Előzmény: [1691] nadorp, 2007-01-06 12:56:32
[1691] nadorp2007-01-06 12:56:32

Legyen bn=an+2an+1. Ekkor

a_2=\frac{b_1-a_1}2

a_3=\frac{b_2-a_2}2=\frac{b_2}2-\frac{b_1-a_1}4

a_4=\frac{b_3-a_3}2=\frac{b_3}2-\frac{b_2}4+\frac{b_1-a_1}8

...

a_{n+1}=\frac{b_n-a_n}2=\frac{b_n}2-\frac{b_{n-1}}4+\frac{b_{n-2}}8-...(-1)^n\frac{b_2}{2^{n-1}}+(-1)^{n+1}\frac{b_1-a_1}{2^n}.

Mivel \lim_{n\to\infty}b_n=0, ezért n>N esetén |bn|<\epsilon, azaz

|a_{n+1}|\leq\epsilon\left(\frac12+\frac14+...\frac1{2^{n-N}}\right)+\frac1{2^{n-N+1}}K<\epsilon+\frac1{2^{n-N+1}}K, ahol K a |b1-a1|,|b2|,|b3|... egy közös felső korlátja. ( Ez létezik, mert bn konvergens). Innen már látszik, hogy \lim_{n\to\infty}a_n=0

Előzmény: [1687] Lóczi Lajos, 2007-01-04 22:25:16
[1690] Sirpi2007-01-06 01:17:04

Nem feltételezek ilyet. Mindössze annyit, hogy van egy bm\neq0, ahol m>N, ahol N az \varepsilon-hoz tartozó korlát (azaz |bn/2-bn+1|<\varepsilon minden n>N-re). Ekkor beláttam, hogy m-et növelve bm előbb-utóbb bemegy a [-3\varepsilon;3\varepsilon] intervallumba (vagyis lehet bármilyen előjelű, megfelelően kis abszolútértékű szám), és utána viszont már nem megy ki belőle. Azaz minden \varepsilon-ra van olyan N' index, hogy |bn|<\varepsilon minden n>N'-re. Tehát bn\to0 és így an\to0.

Várom a következő kérdést :-).

Előzmény: [1689] Lóczi Lajos, 2007-01-06 00:20:29
[1689] Lóczi Lajos2007-01-06 00:20:29

Sajnos nem értem a bizonyításod.

Számomra úgy tűnik, mintha azt feltételeznéd, hogy a bn sorozat állandó előjelű már. Ha tévedek, akkor mondom a következő kérdésem :)

Előzmény: [1688] Sirpi, 2007-01-04 23:47:54
[1688] Sirpi2007-01-04 23:47:54

Igaznak tűnik :-)

Tegyük fel, hogy an nem azonosan 0 egy adott indextől kezdve, és teljesül rá a feltétel. Cseréljük ki an-et egy bn sorozatra úgy, hogy bn=an, ha n páros, és bn=-an, ha n páratlan. Ekkor a feltétel ekvivalens bn/2-bn+1 konvergenciájával (ezzel egyszerűbb talán dolgozni, mert nem "oszcillál").

Legyen \varepsilon>0. Ekkor a konvergencia miatt van olyan N, hogy minden n>N-re |bn/2-bn+1|<\varepsilon.

Mivel bn nem azonosan nulla valamilyen indextől, ezért van olyan m>N, amire bm\neq0 (feltehetjük, hogy pozitív, különben a bn sorozat helyett vegyük az ellentettjét). Ekkor bm/2-\varepsilon\leqbm+1\leqbm/2+\varepsilon, vagyis (és ez a lényeg) a sorozot bm-től kezdve előbb-utóbb bemegy a [-3\varepsilon;3\varepsilon] intervallumba, és onnan már nem is tud kijönni, így 3\varepsilon-hoz van megfelelő N' korlát.

Az, hogy ha bemegy, akkor nem tud kijönni, triviális, hiszen 0/2-\varepsilon\leqbn+1\leq3/2\varepsilon+\varepsilon, azaz a következő elem abszolútértéke 5/2\varepsilon lesz maximum. Az pedig, hogy valóban be is megy, következik abból, hogy ha nem menne be, akkor végig 3\varepsilon felett maradna, valamint monoton módon csökkenne (ezt is könnyű látni), tehát konvergens lenne, de 2\varepsilon-nál nagyobb értékhez nem tud konvergálni.

Tudom, ez így kicsit kusza, meg hosszú volt, de már kezd késő lenni. Nem tudom, van-e sokkal egyszerűbb(en leírható) megoldás.

Előzmény: [1687] Lóczi Lajos, 2007-01-04 22:25:16
[1687] Lóczi Lajos2007-01-04 22:25:16

Bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg az alábbi állítást:

"Ha an egy olyan korlátos valós számsorozat, amelyre an+2an+1 nullához tart, akkor an konvergens" (és ekkor persze maga is nullsorozat).

[1686] Cckek2007-01-04 10:09:57

Ez a feladat az enyém ugyan, de persze nem eredeti ötletből. Én is úgy "kaptam" az u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n},u_1=1, sorozat esetén az u_n-\sqrt{n} határérték kiszámítását. \left(\frac{1}{2}\right). Ezt általánosítottam egy kicsit, persze még rengeteg általánosítás lehetséges. A megoldáshoz viszont gratulálok.

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1685] Lóczi Lajos2007-01-04 00:32:52

Sőt:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+\frac{64}{243 n^2}+\frac{112}{2187 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).

Előzmény: [1684] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:13:59
[1684] Lóczi Lajos2007-01-04 00:13:59

A pontosítás:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1683] Lóczi Lajos2007-01-04 00:00:26

A válasz:

-\frac{19}{12}.

A bizonyításhoz célszerű megsejteni un aszimptotikus sorfejtésének az elejét. Ez némi számítógépes kísérletezést igényelt. Az alábbi állítás igaz:

2n-\frac{4}{3}-\frac{1}{n}\le u_n \le 2n-\frac{4}{3}+\frac{1}{n}.

(Itt a 2n-es nagyságrendet maga a feladat sugallta. A \frac{4}{3}-ot "kézzel" ki lehet találni, ha felveszünk egy alkalmas próba-alakot. A finomabb \frac{1}{n}-hez a számítógépre volt szükségem.) A fenti állítás bizonyítása teljes indukcióval történhet, n\le36-ra direkt látszik, az indukció n\ge36-tól működik (a 36 valójában csak az egyik irányú egyenlőtlenséghez kell, a másik n\ge1 esetén is teljesülni tud az indukció végrehajtása során).

Az állításomból a -\frac{19}{12} már standard módon adódik a közrefogási elv felhasználásával.

Amúgy honnan származik ez a szép feladat? Az általánosítás látszik: folytassuk az aszimptotikus sorfejtést, megkeresve \frac{1}{n} pontos együtthatóját (nekem kb. 0.297351-nek adódott, de ez nem pontos), és \frac{1}{n^2} együtthatóját, stb.

Előzmény: [1681] Cckek, 2007-01-02 21:47:31
[1682] rizsesz2007-01-03 19:24:48

remek időzítés Ákos. :) intuíció nélkül eszembe sem jutott vola elosztani 123456789-et 3607-tal.

Előzmény: [1680] S.Ákos, 2007-01-02 14:38:13

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]