Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[181] Ratkó Éva2003-12-08 17:17:54

Kedves Mindenki!

Ajánlom figyelmetekbe a 34. feladatot, amit nem én találtam ki, hanem egy valóban létező probléma. (A színházat nem akartam megnevezni, nem az a lényeg.) És kíváncsi vagyok, együttes erővel lehet-e vele valamit kezdeni.

Előzmény: [142] lorantfy, 2003-12-04 00:37:11
[180] Hajba Károly2003-12-08 10:43:39

40. feladat: Tekintsük az ábra szerinti M*N-es lapocskát a kör helyekkel, melynek d szimmetriatengelye van. Képezzük az összes (n) olyan változatot, melyben k szinezett korongot helyeztünk el és sem tüktözéssel, sem forgatással két változatot nem lehet egymásba mozgatni. Mennyi n értéke M, N és k függvényében?

Kedves Topikolók!

Bevallom, a fenti feladatot kitaláltam, de a választ rá nem tudom, még nem találtam meg a pontos összefüggést, így szabad a gazda, a válasz engem is nagyon izgat. :o)

HK

[179] lorantfy2003-12-08 07:49:21

Kedves Károly!

Igazad van. Annyira belelkesedtem, hogy az 5x5-ösből rögtön kijön a 7x7-es, hogy nem olvastam el az eredeti kiírást, miszerint záródnia kell. Majd próbálkozom...

Előzmény: [178] Hajba Károly, 2003-12-07 23:26:47
[178] Hajba Károly2003-12-07 23:26:47

Kedves László!

Elmesélem a feladattal kapcsolatos történetemet. Még elsős gimis lehettem, mikor feladták nekem, a feladója sem ismerte a megoldást. Fél évig görcsöltem rajta és kb. 12 vissza nem záródó megoldást találtam, míg meg nem leltem azt, amelyik az eredeti kiírásban is szerepel. Miszerint vissza kell záródnia a kiindulási pontba.

Tehát eddig a könnyebbik változata lett megoldva és sok sikert kívánok a nehezebbik megoldásához.

HK

Előzmény: [177] lorantfy, 2003-12-07 23:17:49
[177] lorantfy2003-12-07 23:17:49

és a 12. feladat behúzása 12 szakasszal.

Előzmény: [60] Hajba Károly, 2003-11-13 00:31:47
[176] lorantfy2003-12-07 23:11:25

Kedves Károly!

Adom a megoldást a 39. feladatra és így megvan az elmaradt 12. feladat is.

Előzmény: [169] Hajba Károly, 2003-12-06 00:29:36
[175] lorantfy2003-12-07 14:26:31

Kedves Gyuri!

Itt pedig mindhárom pontban egyetértek veled! Kezdem felfogni a lényeget, bár ez a rekurzív gondolkodás nem embernek való. Nem értelmeztem helyesen a szöveg azon részét, miszerint:

"azt csak a kivégzés napján reggel 6 órakor tudhatja meg az elitélt leghamarabb"

Tehát nem is kell megmondani neki előtte, hogy ki fogják végezni.

(A 3. pontból azonban kiderült, hogy nincs technikai akadálya annak a kérésemnek, hogy írj ékezettel! Előre is köszönöm!)

Előzmény: [173] Gyuri, 2003-12-06 01:58:29
[174] lorantfy2003-12-07 13:25:38

Kedves Gyuri!

Egyetértek veled mindkét pontban! (Most nem a kivégzéses példáról beszélek!)

Miért nem nyitottál egy Versenyfeladatok c. témát?

Persze a túl sok téma sem szerencsés, de ez a a téma már olyan gyorsan pörög, hogy sokszor "oldalakat" kell visszamenni egy hivatkozásért.

Aztán arra gondoltam kellene még egy olyan téma, ahol az új emberkéknek tennénk fel példákat, és csak első megoldó fórumosok tehetnének fel megoldást.

Tegnap ugyanis mikor beléptem a fórumba próbáltam elképzelni, hogy még átlagos középiskolás vagyok. Megtetszett egy feladat és próbáltam megoldani, de mire elszántam magam, hogy feltegyem a megoldást már valaki megelőzött. Szóval elment a kedvem az egésztől.

Én megnyitom ezt a két témát, aztán az idő majd eldönti, hogy életképesek lesznek-e.

Előzmény: [172] Gyuri, 2003-12-06 00:46:35
[173] Gyuri2003-12-06 01:58:29

Kedves László!

1. Meg ha vasarnap hajnali 2kor is volt a targyalas, a kovetkezo het nem kezdodhet ugyanazon a napon.

2. Ha a het elso napja a vasarnap lenne, akkor az ugyved eszmefuttatasa hallatan az elitelt a hajat tepne, vagy legalabbis sirvafakadna.

3. Fálesz Mihály világított rá legjobban a lényegre [159]-ben.

Udv: Gyuri

Előzmény: [170] lorantfy, 2003-12-06 00:36:46
[172] Gyuri2003-12-06 00:46:35

Kedves Zoli!

Ket megjegyzesem lenne a meghivasos versenyeket illetoen.

1. Azt hiszem ezek a feladatok egy Versenyfeladatok vagy valamilyen hasonlo topicban lennenek igazan megfelelo helyen. Talan attol Erdekes egy feladat, hogy valami szellemesseg, csalafintasag, meglepo eredmeny vagy humor fuszerezi.

2. Nagyra becsulom, hogy megosztod ezeket a feladatokat azokkal, akik ezekre a versenyekre soha nem juthatnak el. Mindig is ugy ereztem, hogy a magyar tehetsegkutatas egy csoppet belterjes. Orulok, hogy ha egy aprosagnak tuno dologgal is, de segitesz valtoztatni ezen.

Udv: Gyuri

Előzmény: [164] SchZol, 2003-12-05 22:05:01
[171] Pach Péter Pál2003-12-06 00:41:47

Megoldás a 26. feladatra

Bontsuk két részre R(k;n)-et! A korlátos tartományok maximális száma legyen S(k;n), a nem korlátos tartományok maximális száma pedig legyen T(k;n). Először határozzuk meg T(k;n)-et! A körök csak a sík korlátos részén „tevékenykednek”, látszik, hogy T(k;n)-et az egyenesek meghatározzák. Ha elég ügyesek vagyunk, és fel tudjuk úgy venni az (0<)n darab egyenest úgy, hogy semelyik kettő ne essen egybe, akkor 2n darab végtelen tartományt kapunk, különben pedig kevesebbet.

Így T(k;n)=2n.

Már csak S(k;n)-et kell meghatároznunk. (Egyelőre feltesszük, hogy a két maximum egyszerre is megvalósulhat.) Tegyük fel, hogy már néhány egyenest és kört megrajzoltunk, és most megrajzolunk még egy kört, ami az eddigi alakzatokat összesen m darab (különböző) pontban metszi. Azt állítjuk, hogy ilyenkor pontosan m új korlátos tartomány keletkezik. Valóban, ha végigmegyünk a körvonalon, akkor két „szomszédos” metszéspontot összekötő ív mindig egy korlátos tartományt oszt két (korlátos) részre, vagy pedig egy végtelenből „vág” le egy korlátos részt.

Ehhez teljesen hasonlóan, ha egy új egyenes összesen m különböző pontban metszi az eddigi alakzatokat, akkor m-1 új korlátos tartomány keletkezik, hiszen a „szomszédos” metszéspontokat összekötő szakaszokkal 1-1 új korlátos tartományt nyerünk, a megmaradó két félegyenessel pedig egyet sem.

Ha van k-1 darab körünk, akkor egy új kör ezeket összesen lf. (legfeljebb) k pontban metszi, mert a feladat feltételei szerint mind a k darab kör áthalad 1 ponton, két (különböző) körnek pedig lf. 2 metszéspontja van. Így S(k;n)=S(k-1;n)+k, azaz S(k;n)=1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.

Ha van k-1 darab körünk, akkor egy egyenes ezeket összesen lf. k pontban metszi, hiszen a feladat kikötése szerint át kell haladnia a közös metszésponton. A már meglévő egyeneseket csak a közös metszéspontban metszi, de azt már számoltuk. Ez azt jelenti, hogy S(k;n)=S(k;0)+nk=\frac{k(k+1)}{2}+nk.

Az eddigiek alapján R(k;n)=S(k;n)+T(k;n)= \frac{k(k+1)}{2}+nk+2n. Az pedig könnyen végiggondolható, hogy létezik konstukció. (Pl.: úgy vegyük fel a k darab kört, hogy ne essenek egybe, de sugaruk egyezzen. Nem lehetséges, hogy a közös ponton kívül is van olyan pont, amelyen három kör is áthalad, mert ezen és a közös ponton keresztül adott sugárral csak két különböző kör rajzolható. Az egyenesek felvételénél csak véges sok irányt kell kizárni: ne essen egybe az előzőekkel, ne haladjon át a körök metszéspontjain, ne érintse a köröket. Ilyenkor kívánt számú metszéspont, és így kívánt számú tartomány keletkezik.)

Megjegyzés:

Úgy is megoldhatjuk a feladatot, hogy invertálunk egy olyan körre, aminek a közös pont a középpontja. Ekkor k+n darab egyenest kapunk, azonban közülük n darab egy ponton megy át.

Előzmény: [112] SchZol, 2003-11-29 21:46:42
[170] lorantfy2003-12-06 00:36:46

Kedves Gyuri!

Kínomban már nem tudok jobbat kitalálni:

Ha már vasárnap volt a tárgyalás - amikor ugye nem nagyon szoktak dolgozni a bírák - akkor mért ne lehetett volna az ítélet kihirdetése mondjuk reggel 5-kor. Így ettől kezdve ketyeg az 1 hét. Tehát akár aznap - vasárnap - reggel 6-kor már közölhetik is vele, hogy ma kivégzik.

Vagy ha a hetet szigorúan napokban számoljuk, akkor legyen olyan országban a tárgyalás, ahol a hét első napja a vasárnap és így a "következő hét" majd a következő vasárnappal kezdődik és szombattal ér véget.

Előzmény: [158] Gyuri, 2003-12-05 19:00:06
[169] Hajba Károly2003-12-06 00:29:36

Mivel eddig senki nem írt a 12. feladatról, ezért hozok néhány könnyebbet e műfajból.

39/A feladat: Kössük össze egy 6 egymásba kapcsolódó szakaszokból álló hurokkal az A szerint 4*4-es rácspontokat. (Azaz a kindulási pontba vissza kell érni!)

39/B feladat: Kössük össze egy 8 egymásba kapcsolódó szakaszokból álló lánccal a B szerinti 5*5-ös rácspontokat úgy, hogy a külső 4 sorból nem lóghat ki.

HK

[168] Ki2003-12-06 00:03:02

Ki tette fel ezt a feladatot?

Hát mostmár tudjátok! MiKi tette fel. A Mikulás.

Annyira el vagytok foglalva a feladatokkal, hogy azt sem tudjátok milyen nap van ma?

Előzmény: [137] Ki, 2003-12-03 13:54:07
[167] lorantfy2003-12-05 23:10:34

Kedves Péter, Károly és Fórumosok!

Azt hiszem a feladat szövegéből (az 5-ből 3 sapkásról van szó!) nem derült ki, hogy a börtönigazgató véletlenszerűen választ-e a sapkák közül, vagy a 7 féle minta valamelyike szerint rak fel 3-at a fejekre. (Hajlok rá, hogy ha nagy sorozatban játszaná ezt a játékot Péternek lenne igaza, hacsak nincs egy kis naptárja, amibe be van jegyezve aznap melyik mintát teszi fel a 7 közül.)

Így azt hiszem Károlynak megadhatjuk a megoldási útmutató szerinti, maximális 3-3 pontot. Péter pedig dícséretet kap "értékes megjegyzéséért"! :-)

Legközelebb beleírom az igazgató monológjába: "Most becsukott szemmel választok 3 sapkát az 5 közül, és véletlenszerűen teszem fel a fejetekre." - ,hogy pontos legyen a szöveg. (Így meg túl tudálékos lesz.)

Namost aki csak utólag olvassa a megoldást, azért érdemes átgondolni a poént. Akinek látszólag legkevesebb információja van a sapkákról - az 1. rab - annak legvalószinűbb a szabadulása. Tehát ebben az esetben, ha nincs információ (nem szólnak a hátam mögötti rabok) az is információ.

Előzmény: [161] Pach Péter Pál, 2003-12-05 21:40:50
[166] Hajba Károly2003-12-05 23:06:35

Kedves Péter Pál!

Valóban e "súlyos" hibát elkövettem. :o)

Tehát a végmegállapítás javított változata:

Tehát mindkét esetben 1 - 0,6 | 2 - 0,3 | 3 - 0,1, holott 1 nem lát senkit.

HK

Előzmény: [161] Pach Péter Pál, 2003-12-05 21:40:50
[165] SchZol2003-12-05 22:13:28

A Cornides versenyt 9.,10.,11. és 12.évfolyamosoknak szervezik. Iskolánként minden évfolyamról két embernek.

Üdv, Zoli

Előzmény: [162] lorybetti, 2003-12-05 21:50:00
[164] SchZol2003-12-05 22:05:01

Kedves Betti!

Az Iszák Imre Gyula Komplex versenyt a zalaegerszeg Zrínyi Miklós Gimnázium szervezi idén 12.alkalommal. Mindig ősszel szokott lenni. Résztvenni meghívás útján lehet. Általában 15 iskolát hívnak meg, iskolánként két 11-es vagy 12-es tanulót. A verseny két napos. Első napon van egy két órás fizika és egy két órás számtech verseny, és másnap egy két órás matek verseny. A verseny régebbi feladatait itt érheted el.

A Cornides István Matematika - Fizika versenyt a komárnoi Selye János Gimnázium szervezi, ha jól tudom 12.éve. Általában december első hetében. Ez is meghívásos verseny. Ez egy napos. Másfél-másfél óra áll rendelkezésre a feladatok megoldására.

Üdv, Zoli

Előzmény: [162] lorybetti, 2003-12-05 21:50:00
[163] lorantfy2003-12-05 21:51:29

Megoldás a 37. feladatra:

Toljuk el a CDS\Delta-et DA vektorral. S képe T pont nyilván az AB feletti a Thálesz körre kerül.

SDC\angle=TAB\angle az eltolás miatt és TSB\angle=SBC\angle, mert váltószögek.

AB feletti Thálesz körben TAB\angle=TSB\angle mert TB húrhoz tartozó kerületi szögek.

Tehát SDC\angle=SBC\angle.

Előzmény: [148] SchZol, 2003-12-04 20:09:45
[162] lorybetti2003-12-05 21:50:00

Szia Zoli!

Nem hallottam még erről a Cornides-matekversenyről.Nemrég tetted fel az Izsák Imre Gyula versenyfeladatokat. Honnan tudsz ezekről a versenyekről? Mikor és kiknek rendezik ezeket a versenyeket?

Előzmény: [148] SchZol, 2003-12-04 20:09:45
[161] Pach Péter Pál2003-12-05 21:40:50

Kedves Károly!

Szerintem van egy kis probléma a megoldással. Én úgy értelmezem a feladatot, hogy a börtönigazgató az öt sapka közül véletlenszerűen választ ki hármat, s ezeket szintén véletlenszerű sorrendben teszi a három fegyenc fejére. (Összesen 60 eset van.) Vagyis a 7 esethez tartozó valószínűségeket még súlyozni kell az esetek valószínűségével.

Természetesen ennek a megoldás lényegi részéhez semmi köze, de a végeredményen változtat.

Előzmény: [152] Hajba Károly, 2003-12-05 00:31:47
[160] Fálesz Mihály2003-12-05 19:28:42

Kedves László,

Íme itt vagyok és itt is voltam, de szeretnék csak egy néven írni. Rosszul esik, és másokkal szemben sem tisztességes, ha két különböző személynek tartanak.

Szóval Fálesz Mihály visszavonul Csicsigin A számtantanítás módszertana c. könyvébe, és a jövőben csak néha-néha fog feltűnni egy kis humor kedvéért.

Előzmény: [150] lorantfy, 2003-12-04 23:01:54
[159] Fálesz Mihály2003-12-05 19:15:15

A T. Bíróság egy jó kis gödeli problémát (Gödel rulez!) adott az elítéltnek, amire az ügyvéd még rá is tett egy lapáttal. Ha éppenséggel már vasárnap reggel 7:59 van, akkor is őrjítő bizonytalanságban marad szegény(?)...

Tudom... nem tudom ... tudom, hogy nem ... nem tudom, hogy igen vagy nem ... nem tudom, hogy mit is tudok ... az a gyanús, ami nem gyanús ...

[158] Gyuri2003-12-05 19:00:06

Kedves László!

Az ugyved gondolatmenetenek elso resze a vasarnapi kivegzes lehetosegenek kizarasara iranyul. Azaz, indirekt felteszi, hogy a kivegzes vasarnap lesz. Ez esetben azonban biztositva van, hogy az elitelt meg eljen szombat este. Ebben semmi helytelen nincs! (Ha holnaputan fogok meghalni, akkor holnap meg elek. Az tuti.) Eddig van igaza az ugyvednek. Ezutan azt allitja, hogy ez esetben az elitelt mar tudna, hogy vasarnap vegzik ki. Hosszabban irva: ha az elitelt meg szombat este el, akkor tudja, hogy vasarnap vegzik ki. Nos, ez az, ami nem igaz. Ha ezt elfogadnank, akkor ugyanilyen alapon zarhatnank ki a tobbi napot is. A dog ott van elhantolva, hogy miert is vegezhetik ki vasarnap is az eliteltet.

Tehat az ugyved nem ugy gondolkodik, hogy Ha szombat estig eletben hagynak, hanem ugy, hogy Ha vasarnapra terveznek a kivegzest. Mivel ebbol ellentmondasra jut (helytelen gondolatsorral), ezert az eredeti feltevese hamis volt, azaz nem lehet vasarnap a kivegzes.

Megjegyzes: Kepzeljuk el, hogy ket minden hajjal megkent bunozo pokerezik. Az egyik bejelenti, hogy Royal Flush-e van. Mire tud ebbol kovetkeztetni a masik? (ha profik, akkor semmire)

Előzmény: [157] lorantfy, 2003-12-05 18:27:14
[157] lorantfy2003-12-05 18:27:14

Kedves Károly, Gyuri és Fórumosok!

Az ügyvédeknek nem szabad bedőlni és persze az ügyvédes feladatoknak sem!

Az egész megoldás csak ennyi (próbálom részletezni amit [143]-ban leírtam):

Amikor az ügyvéd azt mondja: Ha szombat estig életben hagynak, akkor már vasárnap nem végezhetnek ki… akkor valójában a következő feltételre támaszkodik: Ha szombat estig nem végeznek ki, akkor vasárnap már nem végezhetnek ki. Ezzel mindenki egyet is ért és nem is gondol arra, hogy a kiinduló feltétel hamis, hiszen bármelyik napon kivégezhetik vasárnap előtt. Csakhogy most ebből a hamis feltételbők kapott „igazságból” (mármint, hogy vasárnap nem végezhetik ki) kiindulva következtet visszafelé.

Valójában az ügyvéd csak ennyit állít: Ha szombat estig nem végeznek ki, akkor sem hétfőn, sem kedden, sem …szombaton nem végeztek ki és vasárnap már nem fognak. De ha szombatig kivégeznének (I’m sorry!) akkor az egész következtetés alapját vesztett hülyeség.

A megfogalmazásban (aláhúzott rész) direkt nem szerepel a kivégzés szó, helyette: életben hagynak! Az is mindegy melyik nap végzik ki. Akár hétfőn is kivégezhették volna.

Előzmény: [153] Hajba Károly, 2003-12-05 01:04:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]