Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1858] Lóczi Lajos2007-01-31 19:27:30

Ha nem mértékelmélettel fogalakozó könyvet nézel, a Baire-tétel nem a végén lesz. A "Baire category theorem"-re rákeresve meg a neten a bizonyítást is könnyűszerrel felleled.

Előzmény: [1854] jonas, 2007-01-31 15:08:11
[1857] HoA2007-01-31 16:38:22

Azt hiszem jó nyomon járok, ezek nálam is speciális esetek: Hogyan lehet egy biztos halálraitélt szavazatával éppen megúszni?

Ha a kalózhajót egy olyan rendszernek tekintjük, melynek állapotait a kalózok száma szerint A1,A2,..- vel jelöljük, akkor A2-től A204-ig bezárólag A203 az egyetlen instabil állapot: az ajánlattevőt vízbe dobják és A202 lép életbe. Jelöljük a kalózokat a sor végéről számolva K1,K2,...-vel. A204 azért is érdekes állapot, mert itt először nem egyértelmű, ki kap az aranyból. K204 számára az A202-es állapot 102 vesztese közül bármelyik 100 megfelel. Ezekkel, valamint a saját és a halálraítélt K203 szavazatával megvan az 50%-a. A kisebb indexű állapotokban mindig a megelőző állapot veszteseinek kellett adni, hiszen ha valaki csak ugyanannyit kap , mint a kalóz vízbedobása esetén biztosan, akkor a 3) szabály szerint ellenszavazóvá válik. Ha a szabályok pontosak, ez szerintem azt eredményezi, hogy a következő stabil állapotban (A208) - és a nagyobb indexűekben is - az osztó saját magán (K208) és a három "halálraítélten" (K205,K206,K207) kívül bármelyik 100-nak adhat 1-1 aranyat, hiszen A202 nyertesei ( = A204 biztos vesztesei ) valamint K203 és K204 biztosan jobban járnak vele, mint A204-ben; ha pedig A202 egyik vesztese kap, nem lép be a 3) szabály, hiszen ő nem lehet biztos benne, hogy K204 adna-e neki, a biztos esemény áll szemben egy kb. 98%-os valószínűséggel.

Itt abba is hagyom. Nyilván a feladatot már kielemezték, csak azt jelezd, ha valahol tévedek.

Előzmény: [1840] Lacczyka, 2007-01-30 21:50:22
[1856] Csimby2007-01-31 15:28:56

Eredetileg én is derékszögre gondoltam. De valóban jó kérdés, hogy mi van ha nem derékszöget zár be a fej a szárral!

Előzmény: [1854] jonas, 2007-01-31 15:08:11
[1855] Sirpi2007-01-31 15:25:56

Hú, efölött valahogy elsiklottam, szemléletesen bennem egy egyenes rajzszög képe volt, és így hirtelen nem is látom, hogyan javítható a megoldásom. Mert akármennyire el lehet görbíteni. Ráadásul ezek a rajzszögek nem javíthatók úgy, mint az egyenesek, hogy nyesek belőlük, és akkor már csak megszámlálhatóan sok lehet, mert a kör és a szakasz szöge kontinuum értéket felvehet.

Előzmény: [1853] jonas, 2007-01-31 15:05:14
[1854] jonas2007-01-31 15:08:11

A tétel a Baire-féle kategóriatétel volt, a könyv a Járai: Mértékelmélet, az okos ember Garay tanár úr, a verseny pedig, azt hiszem, a BME matematikaverseny két évvel ezelőtt.

A feladat és az állítás már nagyobb gond. Megpróbálok utánanézni.

Előzmény: [1850] Csimby, 2007-01-31 14:25:51
[1853] jonas2007-01-31 15:05:14

Ügyes megoldás. Nem is gondoltam rá, hogy a különböző méretűeket külön vagyük.

Persze úgy, ahogy leírod, csak akkor működik, ha a rajzszögek tűje merőlegesen áll a fejére. Nézd:

Előzmény: [1851] Sirpi, 2007-01-31 14:41:18
[1852] Csimby2007-01-31 15:03:21

Szép megoldás!

Előzmény: [1851] Sirpi, 2007-01-31 14:41:18
[1851] Sirpi2007-01-31 14:41:18

Akkor a rajzszögesre belátom, hogy csak megszámlálható sokat lehet. Tegyük fel, hogy van egy olyan kitöltés, ahol a rajzszögek száma több, mint megszámlálható. Ekkor minden rajzszöget "nyessünk" meg. Vegyük a szár hosszát (l), és a kör sugarát (r), és mindkettőt csökkentsük le 1/n-re, ahol n egész. Ekkor továbbra is jó kitöltést kapunk.

Ezek után elég belátni, hogy minden n-re, ezekből az r=1/n, l=1/n méretű rajzszögekből csak megszámlálható sok fér el, ekkor az összes n-re együttesen is.

Ezt elég n=1-re belátni, a többi n-re csak hasonlóságot kell alkalmaznunk. Vegyük minden rajzszögön a szárnak a körhöz csatlakozó végpontjához közelebbi mondjuk 10-edelőpontját, és rajzoljunk köré 1/10 sugarú gömböt. Nem megyek bele a technikai részletekbe, de "szemléletesen látszik", hogy ezek a gömbök diszjunktak, aki akarja, beláthatja egzaktul. Mindben van rac. pont, így készen vagyunk.

Előzmény: [1842] Csimby, 2007-01-31 12:23:56
[1850] Csimby2007-01-31 14:25:51

Most már kíváncsi vagyok, mi volt ez a dolog? :-)

Előzmény: [1849] jonas, 2007-01-31 14:23:22
[1849] jonas2007-01-31 14:23:22

Hát, a könnyűeket még a gimnáziumban tanultam Tünde nénitől.

A nehéz akkor merült fel, amikor egy versenyen beadtam egy feladatra egy félig jó megoldást, aminek a végén kijött az, hogy az állítás teljesül ha ez és ez a számosságos állítás igaz. Ez a megoldás (mivel csak egyirányú implikáció jött ki) csak akkor ér pontot, ha az a számosságos dolog tényleg igaz, ezért utólag megkérdeztem okos embereket, hogy igaz-e.

Előzmény: [1848] Csimby, 2007-01-31 14:20:44
[1848] Csimby2007-01-31 14:20:44

Hol lehet ilyen számosságos feladatokat találni? (az előző 3-at tegnap este találtam ki bár kétségtelen, hogy ismertem már hasonlókat)

Előzmény: [1847] jonas, 2007-01-31 14:15:33
[1847] jonas2007-01-31 14:15:33

Ilyen számosságos feladatokból találkoztam már olyannal is, aminek a megoldását nem is értettem meg, mert valami tételt használt, ami csak a tankönyvek leghátában van benne, és ott is bizonyítás nélkül.

[1846] Csimby2007-01-31 13:47:29

Hát igen, ez a lényeg. És akkor legalább négy dimenzióban kell, hogy legyünk ahhoz hogy létezhessen kontinuum sok három dimenziós ember.

Előzmény: [1845] jonas, 2007-01-31 13:39:06
[1845] jonas2007-01-31 13:39:06

Aki akar gondolkozni a szállodás feladaton, az ne olvassa el ezt.

Az emberesre valami olyasmi volt a megoldás, hogy veszünk miden ember belsejében egy racionális koordinátájú pontot, és mivel ilyenből csak megszámlálható sok van.

Ilyen pont létezését persze csak akkor könnyű garantálni, ha az emberek tisztességes alakúak, mondjuk Borel-halmazok.

Előzmény: [1844] Csimby, 2007-01-31 13:33:49
[1844] Csimby2007-01-31 13:33:49

Akár mekkorák lehetnek, de nem lehet egyik sem 0 térfogatú. A rajzszögek pedig nem kell hogy hasonlóak legyenek. Jó mókát/munkát :-)

Előzmény: [1843] jonas, 2007-01-31 12:55:12
[1843] jonas2007-01-31 12:55:12

308.-ban egyforma méretűek, vagy lehet mondjuk mindegyik ember feleakkora, mint az előző?

Előzmény: [1842] Csimby, 2007-01-31 12:23:56
[1842] Csimby2007-01-31 12:23:56

307. feladat Hány rajzszög (körlap és középpontjából egy szakasz) fér el a térben?

308.feladat Amennyiben egy szállodához kontinuum sok hús vér három dimenziós ember érkezik, hogy szállásoljuk el őket, hány dimenziós ez a tér?

[1841] Lóczi Lajos2007-01-31 04:32:34

Igen, a feladat pontosan így született, amint a minap böngészés közben ráleltem e képletre.

Előzmény: [1836] Cckek, 2007-01-30 17:45:53
[1840] Lacczyka2007-01-30 21:50:22

Örülök, hogy tetszett a feladat... akkor meg merem kérdezni tőled, hogy mi van, ha 203. darab kalóz van? És ha 204?

Előzmény: [1835] HoA, 2007-01-30 13:09:49
[1839] Cckek2007-01-30 19:58:01

igen ez a copy paste erdemenye:(

x4+4y4=(x2-2xy+2y2)(x2+2xy+2y2)

Előzmény: [1838] HoA, 2007-01-30 19:35:57
[1838] HoA2007-01-30 19:35:57

A híres képletben a jobb oldalon az egyik tényezőben valószínűleg minden előjel pozitív.

Előzmény: [1836] Cckek, 2007-01-30 17:45:53
[1837] Cckek2007-01-30 18:09:49

Írhatjuk: f(1)+2f(2)+...+nf(n)=\frac{n^2(n+1)}{2}f(n)

f(1)+2f(2)+...+nf(n)+(n+1)f(n+1)=\frac{(n+1)^2(n+2)}{2}f(n+1). Kivonva egymásból kapjuk és elvégezve a számításokat:

f(n+1)=\frac{n}{n+3}f(n). n helyett rendre 1,2,...,2005-öt írva majd összeszorozva kapjuk: \frac{f(2006)}{f(1)}=\frac{2005!}{\frac{2008!}{6}}=\frac{6}{2006\cdot 2007\cdot 2008}, tehát f(2006)=\frac{1}{669\cdot 1004}.

Előzmény: [1817] tomii282, 2007-01-26 20:36:12
[1836] Cckek2007-01-30 17:45:53

Nos alkalmazva Sophie Germaine hires képletét kapjuk:

14+4.(2n)4=(22n+1-2n+1+1)(22n+1-2n+1+1) tehát a kifejezés akkor lehet prim ha az egyik tényező öt.

Így n=0 vagy n=1. De az n=0 esetben a kifejezés értéke 1.

Előzmény: [1826] Lóczi Lajos, 2007-01-27 17:28:21
[1835] HoA2007-01-30 13:09:49

Köszönöm, megoldottam. tényleg nagyon jó. Már ha jónak lehet nevezni azt, ha látjuk, hogyan tudja egy valaki sok pénz elvételével az összes többit , minimális pénzük megtartásának reményében, egymás ellen kijátszani. :-)

Előzmény: [1822] Lacczyka, 2007-01-26 21:24:37
[1834] Lóczi Lajos2007-01-27 20:54:57

Azt, hogy hogyan csinálta nem tudjuk, de az ilyen típusú számok több helyen is felbukkannak, lásd pl. ezt a linket és a belőle nyíló hivatkozásokat.

Előzmény: [1828] thukaert, 2007-01-27 18:43:24

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]